На етапа на подготовка за финалния тест учениците от гимназията трябва да подобрят знанията си по темата „Експоненциални уравнения“. Опитът от минали години показва, че подобни задачи създават определени трудности за учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва да овладеят напълно теорията, да запомнят формулите и да разберат принципа на решаване на такива уравнения. След като са се научили да се справят с този тип проблеми, завършилите могат да разчитат на високи резултати при полагане на Единния държавен изпит по математика.

Пригответе се за изпитно тестване с Школково!

Когато преглеждат материалите, които са покрили, много ученици се сблъскват с проблема да намерят формулите, необходими за решаване на уравнения. Училищният учебник не винаги е под ръка и изборът на необходимата информация по дадена тема в Интернет отнема много време.

Образователният портал Школково кани учениците да използват нашата база от знания. Внедряваме изцяло нов метод за подготовка за финалния тест. Като изучавате на нашия уебсайт, ще можете да идентифицирате пропуски в знанията и да обърнете внимание на онези задачи, които причиняват най-много трудности.

Учителите в Школково събраха, систематизираха и представиха целия материал, необходим за успешното полагане на Единния държавен изпит в най-простата и достъпна форма.

Основните дефиниции и формули са представени в раздела „Теоретична основа”.

За да разберете по-добре материала, ви препоръчваме да се упражнявате да изпълнявате задачите. Внимателно прегледайте примерите на експоненциални уравнения с решения, представени на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисление. След това продължете да изпълнявате задачи в раздела „Директории“. Можете да започнете с най-лесните задачи или да преминете направо към решаване на сложни експоненциални уравнения с няколко неизвестни или . Базата данни с упражнения на нашия уебсайт непрекъснато се допълва и актуализира.

Тези примери с индикатори, които са ви затруднили, могат да бъдат добавени към „Любими“. По този начин можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с вашия учител.

За да преминете успешно Единния държавен изпит, учете на портала Школково всеки ден!

Примери:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Как да решаваме експоненциални уравнения

Когато решаваме всяко експоненциално уравнение, ние се стремим да го доведем до формата \(a^(f(x))=a^(g(x))\ и след това да направим прехода към равенство на степените, т.е.

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Например:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

важно! От същата логика следват две изисквания за такъв преход:
- номер в ляво и дясно трябва да са еднакви;
- градусите отляво и отдясно трябва да са „чисти“, тоест да няма умножение, деление и т.н.

Например:

За да се намали уравнението до формата \(a^(f(x))=a^(g(x))\) и се използват.

Пример . Решете експоненциалното уравнение \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Решение:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Знаем, че \(27 = 3^3\). Като вземем това предвид, трансформираме уравнението.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Чрез свойството на корена \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) получаваме, че \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). След това, използвайки свойството степен \((a^b)^c=a^(bc)\), получаваме \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Знаем също, че \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Прилагайки това към лявата страна, получаваме: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Сега запомнете, че: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Тази формула може да се използва и в обратна посока: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Тогава \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Прилагайки свойството \((a^b)^c=a^(bc)\) към дясната страна, получаваме: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		И сега основите ни са равни и няма смущаващи коефициенти и т.н. Така че можем да направим прехода.
		Пример . Решете експоненциалното уравнение \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Решение: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Отново използваме свойството степен \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) в обратна посока. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Сега помнете, че \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Използвайки свойствата на градусите, трансформираме: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Разглеждаме внимателно уравнението и виждаме, че замяната \(t=2^x\) се предполага сама. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Ние обаче намерихме стойностите на \(t\) и имаме нужда от \(x\). Връщаме се към X, като правим обратна замяна. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Нека трансформираме второто уравнение, използвайки свойството за отрицателна степен... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...и решаваме до отговора. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Отговор : \(-1; 1\). Остава въпросът - как да разберете кога кой метод да използвате? Това идва с опита. Докато не го развиете, използвайте общата препоръка за решаване на сложни проблеми - „ако не знаете какво да правите, направете каквото можете“. Тоест, потърсете как можете да трансформирате уравнението по принцип и се опитайте да го направите - какво ще стане, ако стане? Основното нещо е да се правят само математически базирани трансформации. Експоненциални уравнения без решения Нека да разгледаме още две ситуации, които често объркват учениците: - положително число на степен е равно на нула, например \(2^x=0\); - положително число е равно на степен на отрицателно число, например \(2^x=-4\). Нека се опитаме да решим с груба сила. Ако x е положително число, тогава с нарастването на x цялата степен \(2^x\) само ще нараства: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Също така от. Отрицателните X остават. Спомняйки си свойството \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), проверяваме: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Въпреки факта, че числото става по-малко с всяка стъпка, то никога няма да достигне нула. Така че отрицателният градус не ни спаси. Стигаме до логично заключение: Положително число до каквато и да е степен ще остане положително число. Следователно и двете уравнения по-горе нямат решения. Експоненциални уравнения с различни основи В практиката понякога се сблъскваме с експоненциални уравнения с различни основи, които не се свеждат една към друга и в същото време с еднакви показатели. Те изглеждат така: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), където \(a\) и \(b\) са положителни числа. Например: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Такива уравнения могат лесно да бъдат решени чрез разделяне на която и да е от страните на уравнението (обикновено разделено на дясната страна, т.е. на \(b^(f(x))\). Можете да разделите по този начин, защото положително число е положителен на произволна степен (т.е. не делим на нула) Получаваме: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Пример . Решете експоненциалното уравнение \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Решение: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Тук няма да можем да превърнем петица в тройка или обратно (поне без да използваме). Това означава, че не можем да стигнем до формата \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Индикаторите обаче са същите. Нека разделим уравнението на дясната страна, тоест на \(3^(x+7)\) (можем да направим това, защото знаем, че три няма да бъде нула на никаква степен). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Сега запомнете свойството \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) и го използвайте отляво в обратната посока. Отдясно просто намаляваме дроба. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Изглежда, че нещата не са се подобрили. Но запомнете още едно свойство на степента: \(a^0=1\), с други думи: „всяко число на нулева степен е равно на \(1\).“ Обратното също е вярно: „един може да бъде представен като всяко число на нулева степен“. Нека се възползваме от това, като направим основата отдясно същата като отляво. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Ето! Да се ​​отървем от базите. Пишем отговор. Отговор : \(-7\). Понякога „еднаквостта“ на експонентите не е очевидна, но умелото използване на свойствата на експонентите разрешава този проблем. Пример . Решете експоненциалното уравнение \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Решение: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Уравнението изглежда много тъжно... Не само, че основите не могат да бъдат сведени до едно и също число (седем по никакъв начин няма да е равно на \(\frac(1)(3)\)), но и показателите са различни. .. Нека обаче използваме левия показател двойка. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Спомняйки си свойството \((a^b)^c=a^(b·c)\), трансформираме отляво: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Сега, като си спомняме свойството на отрицателна степен \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), трансформираме отдясно: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Алилуя! Индикаторите са същите! Действайки по вече познатата ни схема, решаваме преди отговора. Отговор : \(2\).

Този урок е предназначен за тези, които тепърва започват да учат експоненциални уравнения. Както винаги, нека започнем с определението и прости примери.

Ако четете този урок, тогава подозирам, че вече имате поне минимално разбиране на най-простите уравнения - линейни и квадратни: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ и т.н. Възможността за решаване на такива конструкции е абсолютно необходима, за да не се „забиете“ в темата, която сега ще бъде обсъдена.

И така, експоненциални уравнения. Нека ви дам няколко примера:

\[((2)^(x))=4;\квад ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\квад ((9)^(x))=- 3\]

Някои от тях може да ви изглеждат по-сложни, докато други, напротив, са твърде прости. Но всички те имат една важна обща черта: тяхното обозначение съдържа експоненциалната функция $f\left(x \right)=((a)^(x))$. И така, нека въведем определението:

Експоненциално уравнение е всяко уравнение, съдържащо експоненциална функция, т.е. израз във формата $((a)^(x))$. В допълнение към посочената функция, такива уравнения могат да съдържат всякакви други алгебрични конструкции - полиноми, корени, тригонометрия, логаритми и др.

Добре тогава. Подредихме определението. Сега въпросът е: как да разрешим всички тези глупости? Отговорът е едновременно прост и сложен.

Нека започнем с добрата новина: от моя опит в преподаването на много студенти мога да кажа, че повечето от тях намират експоненциални уравнения много по-лесно от същите логаритми и още повече тригонометрия.

Но има лоша новина: понякога авторите на задачи за всякакви учебници и изпити са поразени от „вдъхновение“ и техният възпален от наркотици мозък започва да произвежда толкова брутални уравнения, че решаването им става проблематично не само за учениците - дори и за много учители зациклят на такива проблеми.

Все пак да не говорим за тъжни неща. И да се върнем към тези три уравнения, които бяха дадени в самото начало на историята. Нека се опитаме да разрешим всеки от тях.

Първо уравнение: $((2)^(x))=4$. Е, на каква степен трябва да повдигнете числото 2, за да получите числото 4? Вероятно второто? В крайна сметка $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - и получихме правилното числено равенство, т.е. наистина $x=2$. Е, благодаря, Кап, но това уравнение беше толкова просто, че дори котката ми можеше да го реши. :)

Нека разгледаме следното уравнение:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Но тук е малко по-сложно. Много ученици знаят, че $((5)^(2))=25$ е таблицата за умножение. Някои също подозират, че $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ по същество е дефиницията на отрицателни степени (подобно на формулата $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

И накрая, само няколко избрани осъзнават, че тези факти могат да бъдат комбинирани и да доведат до следния резултат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Така нашето първоначално уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Дясна стрелка ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Но това вече е напълно разрешимо! Отляво в уравнението има експоненциална функция, отдясно в уравнението има показателна функция, никъде няма нищо друго освен тях. Следователно можем да „изхвърлим“ базите и глупаво да приравним показателите:

Получихме най-простото линейно уравнение, което всеки ученик може да реши само с няколко реда. Добре, в четири реда:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ако не разбирате какво се е случило в последните четири реда, не забравяйте да се върнете към темата „линейни уравнения“ и да я повторите. Тъй като без ясно разбиране на тази тема, е твърде рано за вас да се заемете с експоненциални уравнения.

\[((9)^(x))=-3\]

И така, как можем да разрешим това? Първа мисъл: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

След това си спомняме, че когато повишаваме степен на степен, показателите се умножават:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

И за такова решение ще получим честно заслужена двойка. Защото с хладнокръвието на покемон изпратихме знака минус пред тримата на степен на точно това три. Но не можете да направите това. И ето защо. Разгледайте различните сили на три:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Когато компилирах тази таблетка, не изопачих нищо: разгледах положителните степени, и отрицателните, и дори дробните... е, къде е поне едно отрицателно число тук? Няма го! И не може да бъде, защото експоненциалната функция $y=((a)^(x))$, първо, винаги приема само положителни стойности (без значение колко едно се умножава или дели на две, пак ще бъде положително число), и второ, основата на такава функция - числото $a$ - по дефиниция е положително число!

Е, как тогава да решим уравнението $((9)^(x))=-3$? Но няма как: няма корени. И в този смисъл експоненциалните уравнения са много подобни на квадратните уравнения - също може да няма корени. Но ако в квадратните уравнения броят на корените се определя от дискриминанта (положителен дискриминант - 2 корена, отрицателен - без корени), то в експоненциалните уравнения всичко зависи от това какво е вдясно от знака за равенство.

И така, нека формулираме ключовия извод: най-простото експоненциално уравнение от вида $((a)^(x))=b$ има корен тогава и само ако $b>0$. Познавайки този прост факт, можете лесно да определите дали предложеното ви уравнение има корени или не. Тези. Струва ли си изобщо да го решавате или веднага да запишете, че няма корени.

Това знание ще ни помогне много пъти, когато трябва да решаваме по-сложни проблеми. Засега достатъчно текстове - време е да изучим основния алгоритъм за решаване на експоненциални уравнения.

Как да решаваме експоненциални уравнения

И така, нека формулираме проблема. Необходимо е да се реши експоненциалното уравнение:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Според „наивния“ алгоритъм, който използвахме по-рано, е необходимо да представим числото $b$ като степен на числото $a$:

Освен това, ако вместо променливата $x$ има някакъв израз, ще получим ново уравнение, което вече може да бъде решено. Например:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Стрелка надясно ((3)^(-x))=((3)^(4))\Стрелка надясно -x=4\Стрелка надясно x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Дясна стрелка ((5)^(2x))=((5)^(3))\Дясна стрелка 2x=3\Дясна стрелка x=\frac(3)( 2). \\\край (подравняване)\]

И колкото и да е странно, тази схема работи в около 90% от случаите. Ами тогава останалите 10%? Останалите 10% са леко „шизофренични“ експоненциални уравнения от вида:

\[((2)^(x))=3;\квад ((5)^(x))=15;\квад ((4)^(2x))=11\]

Добре, на каква степен трябва да повдигнете 2, за да получите 3? първо? Но не: $((2)^(1))=2$ не е достатъчно. Второ? Също така не: $((2)^(2))=4$ е твърде много. Кое тогава?

Знаещите ученици вероятно вече са се досетили: в такива случаи, когато не е възможно да се реши „красиво“, влиза в действие „тежката артилерия“ - логаритмите. Нека ви напомня, че с помощта на логаритми всяко положително число може да бъде представено като степен на всяко друго положително число (с изключение на едно):

Помните ли тази формула? Когато разказвам на учениците си за логаритми, винаги предупреждавам: тази формула (която е и основното логаритмично тъждество или, ако желаете, определението за логаритъм) ще ви преследва много дълго време и ще „изскочи“ в повечето неочаквани места. Е, тя изплува. Нека да разгледаме нашето уравнение и тази формула:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Ако приемем, че $a=3$ е нашето първоначално число отдясно и $b=2$ е самата основа на експоненциалната функция, до която толкова искаме да редуцираме дясната страна, получаваме следното:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Стрелка надясно ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Стрелка надясно x=( (\log )_(2))3. \\\край (подравняване)\]

Получихме малко странен отговор: $x=((\log )_(2))3$. В някоя друга задача мнозина биха имали съмнения при такъв отговор и биха започнали да проверяват решението си: ами ако някъде се е промъкнала грешка? Бързам да ви зарадвам: тук няма грешка, а логаритмите в корените на експоненциалните уравнения са напълно типична ситуация. Така че свиквай. :)

Сега нека решим останалите две уравнения по аналогия:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Стрелка надясно ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Стрелка надясно 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Между другото, последният отговор може да бъде написан по различен начин:

Въведохме множител към аргумента на логаритъма. Но никой не ни спира да добавим този фактор към основата:

Освен това и трите варианта са правилни - те са просто различни форми на запис на едно и също число. Кое да изберете и запишете в това решение зависи от вас да решите.

Така се научихме да решаваме всякакви експоненциални уравнения от вида $((a)^(x))=b$, където числата $a$ и $b$ са строго положителни. Суровата реалност на нашия свят обаче е, че такива прости задачи ще се срещат много, много рядко. По-често ще срещнете нещо подобно:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

И така, как можем да разрешим това? Може ли това изобщо да се реши? И ако е така, как?

Не изпадайте в паника. Всички тези уравнения бързо и лесно се свеждат до простите формули, които вече разгледахме. Просто трябва да запомните няколко трика от курса по алгебра. И разбира се, няма правила за работа с дипломи. Сега ще ви разкажа за всичко това. :)

Преобразуване на експоненциални уравнения

Първото нещо, което трябва да запомните: всяко експоненциално уравнение, независимо колко сложно може да бъде, по един или друг начин трябва да се сведе до най-простите уравнения - тези, които вече сме разгледали и които знаем как да решим. С други думи, схемата за решаване на всяко експоненциално уравнение изглежда така:

1. Запишете първоначалното уравнение. Например: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Направи някакви странни глупости. Или дори някои глупости, наречени "преобразуване на уравнение";
3. На изхода вземете най-простите изрази от формата $((4)^(x))=4$ или нещо подобно. Освен това едно начално уравнение може да даде няколко такива израза наведнъж.

С първата точка всичко е ясно - дори моята котка може да напише уравнението на лист хартия. Третата точка също изглежда повече или по-малко ясна - вече сме решили цял куп такива уравнения по-горе.

Но какво да кажем за втората точка? Какви трансформации? Преобразуване на какво в какво? И как?

Е, нека разберем. На първо място бих искал да отбележа следното. Всички експоненциални уравнения са разделени на два вида:

1. Уравнението е съставено от експоненциални функции с една и съща основа. Пример: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Формулата съдържа експоненциални функции с различни основи. Примери: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ и $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Да започнем с уравненията от първия тип – те са най-лесни за решаване. И при решаването им ще ни помогне такава техника като подчертаване на стабилни изрази.

Изолиране на стабилен израз

Нека да разгледаме това уравнение отново:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

какво виждаме Четирите са издигнати на различни степени. Но всички тези степени са прости сборове на променливата $x$ с други числа. Ето защо е необходимо да запомните правилата за работа със степени:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\край (подравняване)\]

Просто казано, събирането може да се преобразува в произведение на степените, а изваждането може лесно да се преобразува в деление. Нека се опитаме да приложим тези формули към степените от нашето уравнение:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\край (подравняване)\]

Нека пренапишем оригиналното уравнение, като вземем предвид този факт, и след това съберем всички членове отляво:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -единадесет; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\край (подравняване)\]

Първите четири члена съдържат елемента $((4)^(x))$ - нека го извадим от скобите:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\край (подравняване)\]

Остава да разделим двете страни на уравнението на дробта $-\frac(11)(4)$, т.е. по същество умножете по обърнатата дроб - $-\frac(4)(11)$. Получаваме:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Редуцирахме първоначалното уравнение до най-простата му форма и получихме крайния отговор.

В същото време в процеса на решаване открихме (и дори го извадихме от скобата) общия множител $((4)^(x))$ - това е стабилен израз. Тя може да бъде обозначена като нова променлива или можете просто да я изразите внимателно и да получите отговора. Във всеки случай основният принцип на решението е следният:

Намерете в оригиналното уравнение стабилен израз, съдържащ променлива, която лесно се разграничава от всички експоненциални функции.

Добрата новина е, че почти всяко експоненциално уравнение ви позволява да изолирате такъв стабилен израз.

Но лошата новина е, че тези изрази могат да бъдат доста трудни и могат да бъдат доста трудни за идентифициране. Така че нека да разгледаме още един проблем:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Може би сега някой ще има въпрос: „Паша, убит ли си? Тук има различни бази – 5 и 0,2.” Но нека опитаме да преобразуваме степента към основа 0,2. Например, нека се отървем от десетичната дроб, като я намалим до обикновена:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Както можете да видите, числото 5 все пак се появи, макар и в знаменателя. В същото време индикаторът беше пренаписан като отрицателен. Сега нека си припомним едно от най-важните правила за работа с дипломи:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тук, разбира се, малко се излъгах. Тъй като за пълно разбиране формулата за премахване на отрицателните индикатори трябваше да бъде написана така:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ надясно))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

От друга страна, нищо не ни пречеше да работим само с дроби:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ дясно))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Но в този случай трябва да можете да повишите степен до друга степен (нека ви напомня: в този случай индикаторите се сумират). Но не трябваше да „обръщам“ дробите - може би това ще е по-лесно за някои. :)

Във всеки случай първоначалното експоненциално уравнение ще бъде пренаписано като:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\край (подравняване)\]

Така се оказва, че първоначалното уравнение може да бъде решено дори по-просто от разгледаното по-рано: тук дори не е необходимо да избирате стабилен израз - всичко е намалено от само себе си. Остава само да запомним, че $1=((5)^(0))$, от което получаваме:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\край (подравняване)\]

Това е решението! Получихме крайния отговор: $x=-2$. В същото време бих искал да отбележа една техника, която значително опрости всички изчисления за нас:

В експоненциалните уравнения не забравяйте да се отървете от десетичните дроби и да ги преобразувате в обикновени. Това ще ви позволи да видите едни и същи бази от градуси и значително ще опрости решението.

Нека сега да преминем към по-сложни уравнения, в които има различни основи, които изобщо не могат да бъдат сведени една до друга с помощта на степени.

Използване на свойството Degrees

Нека ви напомня, че имаме още две особено сурови уравнения:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Основната трудност тук е, че не е ясно какво да се даде и на каква база. Къде са устойчивите изрази? Къде са същите основания? Няма нищо от това.

Но нека се опитаме да тръгнем по различен начин. Ако няма готови еднакви бази, можете да опитате да ги намерите чрез факторизиране на съществуващите бази.

Да започнем с първото уравнение:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\край (подравняване)\]

Но можете да направите обратното - да направите числото 21 от числата 7 и 3. Това е особено лесно да се направи отляво, тъй като показателите на двете степени са еднакви:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Извадихте експонентата извън продукта и веднага получихте красиво уравнение, което може да се реши в няколко реда.

Сега нека разгледаме второто уравнение. Тук всичко е много по-сложно:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

В този случай дробите се оказаха нередуцируеми, но ако нещо може да се намали, не забравяйте да го намалите. Често ще се появят интересни причини, с които вече можете да работите.

За съжаление не се появи нищо особено за нас. Но виждаме, че показателите отляво в продукта са противоположни:

Нека ви напомня: за да се отървете от знака минус в индикатора, просто трябва да „обърнете“ дробта. Е, нека пренапишем оригиналното уравнение:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\край (подравняване)\]

Във втория ред просто извадихме общата експонента от продукта от скобата съгласно правилото $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, а в последния просто умножиха числото 100 по дроб.

Сега имайте предвид, че числата отляво (в основата) и отдясно са донякъде сходни. как? Да, очевидно е: те са степени на едно и също число! Ние имаме:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \десен))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Така нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\вдясно))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

В този случай вдясно можете да получите и степен със същата основа, за която е достатъчно просто да „обърнете“ фракцията:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Нашето уравнение най-накрая ще приеме формата:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Това е решението. Неговата основна идея се свежда до факта, че дори и с различни бази ние се опитваме с кука или измама да сведем тези бази до едно и също нещо. За това ни помагат елементарни трансформации на уравнения и правила за работа със степени.

Но какви правила и кога да използвате? Как разбирате, че в едно уравнение трябва да разделите двете страни на нещо, а в друго трябва да разложите основата на експоненциалната функция?

Отговорът на този въпрос ще дойде с опита. Първо опитайте ръката си с прости уравнения и след това постепенно усложнявайте задачите - и много скоро вашите умения ще бъдат достатъчни, за да решите всяко експоненциално уравнение от същия Единен държавен изпит или всяка независима / тестова работа.

И за да ви помогна в тази трудна задача, предлагам да изтеглите набор от уравнения от моя уебсайт, за да го решите сами. Всички уравнения имат отговори, така че винаги можете да се тествате.

Лекция: “Методи за решаване на експоненциални уравнения.”

1 . Експоненциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни в показатели, се наричат ​​експоненциални уравнения. Най-простото от тях е уравнението ax = b, където a > 0, a ≠ 1.

1) При b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) За b > 0, използвайки монотонността на функцията и теоремата за корена, уравнението има единствен корен. За да го намерим, b трябва да се представи във формата b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.

Експоненциалните уравнения чрез алгебрични трансформации водят до стандартни уравнения, които се решават с помощта на следните методи:

1) метод на намаляване до една база;

2) метод на оценка;

3) графичен метод;

4) метод за въвеждане на нови променливи;

5) метод на факторизация;

6) експоненциално – степенни уравнения;

7) демонстративен с параметър.

2 . Начин на намаляване на една база.

Методът се основава на следното свойство на степените: ако две степени са равни и основите им са равни, тогава техните експоненти са равни, т.е. трябва да се опитаме да намалим уравнението до формата

Примери. Решете уравнението:

1 . 3x = 81;

Нека представим дясната страна на уравнението във формата 81 = 34 и напишем уравнението, еквивалентно на оригинала 3 x = 34; x = 4. Отговор: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и нека преминем към уравнението за степени 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Отговор: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Обърнете внимание, че числата 0,2, 0,04, √5 и 25 представляват степени на 5. Нека се възползваме от това и да трансформираме оригиналното уравнение, както следва:

, откъдето 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, от което намираме решението x = -1. Отговор: -1.

5. 3x = 5. По дефиниция на логаритъм, x = log35. Отговор: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Нека пренапишем уравнението във формата 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т.е..png" width="181" height="49 src="> Следователно x – 4 =0, x = 4. Отговор: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Използвайки свойствата на степените, записваме уравнението във формата 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, след което 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, т.е. т.е. x+1 = 2, x =1. Отговор: 1.

Проблемна банка №1.

Решете уравнението:

Тест №1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) няма корени
	1) 7;1 2) няма корени 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест No2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) няма корени 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод на оценка.

Коренна теорема: ако функцията f(x) нараства (намалява) в интервала I, числото a е всяка стойност, взета от f в този интервал, тогава уравнението f(x) = a има един корен в интервала I.

При решаване на уравнения с помощта на метода на оценка се използват тази теорема и свойствата на монотонността на функцията.

Примери. Решете уравнения: 1. 4x = 5 – x.

Решение. Нека пренапишем уравнението като 4x +x = 5.

1. ако x = 1, тогава 41+1 = 5, 5 = 5 е вярно, което означава, че 1 е коренът на уравнението.

Функция f(x) = 4x – нараства върху R, и g(x) = x – нараства върху R => h(x)= f(x)+g(x) нараства върху R, като сумата от нарастващите функции, тогава x = 1 е единственият корен на уравнението 4x = 5 – x. Отговор: 1.

2.

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата .

1. ако x = -1, тогава , 3 = 3 е вярно, което означава, че x = -1 е коренът на уравнението.

2. докаже, че е единственият.

3. Функция f(x) = - намалява върху R, а g(x) = - x – намалява върху R=> h(x) = f(x)+g(x) – намалява върху R, като сумата от намаляващи функции. Това означава, че според теоремата за корена x = -1 е единственият корен на уравнението. Отговор: -1.

Проблемна банка №2. Решете уравнението

а) 4x + 1 =6 – x;

б)

в) 2x – 2 =1 – x;

4. Метод за въвеждане на нови променливи.

Методът е описан в параграф 2.1. Въвеждането на нова променлива (заместване) обикновено се извършва след трансформации (опростяване) на членовете на уравнението. Нека да разгледаме примерите.

Примери. РРешете уравнението: 1. .

Нека пренапишем уравнението по различен начин: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т.е..png" width="210" height = "45">

Решение. Нека пренапишем уравнението по различен начин:

Да обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не е подходящо.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ирационално уравнение. Отбелязваме, че

Решението на уравнението е x = 2,5 ≤ 4, което означава, че 2,5 е коренът на уравнението. Отговор: 2.5.

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата и разделим двете му страни на 56x+6 ≠ 0. Получаваме уравнението

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Корените на квадратното уравнение са t1 = 1 и t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Решение . Нека пренапишем уравнението във формата

и имайте предвид, че това е хомогенно уравнение от втора степен.

Разделяме уравнението на 42x, получаваме

Нека заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Отговор: 0; 0,5.

Проблемна банка №3. Решете уравнението

б)

G)

Тест No3 с избор на отговори. Минимално ниво.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) няма корени 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) няма корени 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Тест No4 с избор на отговори. Общо ниво.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) няма корени

5. Метод на факторизиране.

1. Решете уравнението: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Решение..png" width="169" height="69"> , от където

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Решение. Нека поставим 6x извън скобите от лявата страна на уравнението и 2x от дясната страна. Получаваме уравнението 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Тъй като 2x >0 за всички x, можем да разделим двете страни на това уравнение на 2x, без да се страхуваме от загуба на решения. Получаваме 3x = 1ó x = 0.

3.

Решение. Нека решим уравнението, като използваме метода на факторизиране.

Нека изберем квадрата на бинома

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 е коренът на уравнението.

Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест No6 Общо ниво.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Експоненциално – степенни уравнения.

В съседство с експоненциалните уравнения са така наречените уравнения с експоненциална степен, т.е. уравнения с формата (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ако е известно, че f(x)>0 и f(x) ≠ 1, тогава уравнението, подобно на експоненциалното, се решава чрез приравняване на показателите g(x) = f(x).

Ако условието не изключва възможността f(x)=0 и f(x)=1, тогава трябва да вземем предвид тези случаи, когато решаваме експоненциално уравнение.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Решение. x2 +2x-8 – има смисъл за всяко x, тъй като е полином, което означава, че уравнението е еквивалентно на съвкупността

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Експоненциални уравнения с параметри.

1. За какви стойности на параметъра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) има единствено решение?

Решение. Нека въведем замяната 2x = t, t > 0, тогава уравнение (1) ще приеме формата t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискриминант на уравнение (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Уравнение (1) има уникално решение, ако уравнение (2) има един положителен корен. Това е възможно в следните случаи.

1. Ако D = 0, т.е. p = 1, тогава уравнение (2) ще приеме формата t2 – 2t + 1 = 0, следователно t = 1, следователно уравнение (1) има уникално решение x = 0.

2. Ако p1, тогава 9(p – 1)2 > 0, тогава уравнение (2) има два различни корена t1 = p, t2 = 4p – 3. Условията на задачата са изпълнени от набор от системи

Замествайки t1 и t2 в системите, имаме

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Решение. Позволявам тогава уравнение (3) ще приеме формата t2 – 6t – a = 0. (4)

Нека намерим стойностите на параметъра a, за които поне един корен от уравнение (4) отговаря на условието t> 0.

Нека въведем функцията f(t) = t2 – 6t – a. Възможни са следните случаи.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Случай 2. Уравнение (4) има единствено положително решение, ако

D = 0, ако a = – 9, тогава уравнение (4) ще приеме формата (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) има два корена, но единият от тях не удовлетворява неравенството t > 0. Това е възможно, ако

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Така, за a 0, уравнение (4) има един положителен корен . Тогава уравнение (3) има единствено решение

Когато< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ако< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ако a = – 9, тогава x = – 1;

ако a  0, тогава

Нека сравним методите за решаване на уравнения (1) и (3). Обърнете внимание, че при решаването на уравнение (1) се сведе до квадратно уравнение, чийто дискриминант е перфектен квадрат; По този начин корените на уравнение (2) бяха незабавно изчислени с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение и след това бяха направени заключения относно тези корени. Уравнение (3) е намалено до квадратно уравнение (4), чийто дискриминант не е перфектен квадрат, следователно, когато се решава уравнение (3), е препоръчително да се използват теореми за местоположението на корените на квадратен трином и графичен модел. Обърнете внимание, че уравнение (4) може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета.

Нека решим по-сложни уравнения.

Задача 3: Решете уравнението

Решение. ODZ: x1, x2.

Да въведем заместител. Нека 2x = t, t > 0, тогава в резултат на трансформации уравнението ще приеме формата t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Нека намерим стойностите на a, за които поне един корен от уравнението (*) удовлетворява условието t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Отговор: ако a > – 13, a  11, a  5, тогава ако a – 13,

a = 11, a = 5, тогава няма корени.

Библиография.

1. Гузеев основите на образователната технология.

2. Технология на Гузеев: от рецепция до философия.

М. „Училищен директор” № 4, 1996 г

3. Гузеев и организационни форми на обучение.

4. Гузеев и практиката на интегралната образователна технология.

М. “Народно образование”, 2001

5. Гузеев от формите на урок - семинар.

Математика в училище № 2, 1987 г. с. 9 – 11.

6. Seleuko образователни технологии.

М. „Народно образование“, 1998 г

7. Episheva ученици да учат математика.

М. "Просвещение", 1990 г

8. Иванова подготвя уроци – работилници.

Математика в училище № 6, 1990 стр. 37 – 40.

9. Модел на обучение по математика на Смирнов.

Математика в училище № 1, 1997 г., стр. 32 – 36.

10. Тарасенко начини за организиране на практическа работа.

Математика в училище № 1, 1993 г., стр. 27 – 28.

11. За един от видовете самостоятелна работа.

Математика в училище No2, 1994, с. 63 – 64.

12. Хазанкин творчески способности на учениците.

Математика в училище № 2, 1989 стр. 10.

13. Сканави. Издателство, 1997г

14. и др.. Алгебра и началото на анализа. Дидактически материали за

15. Задачи на Кривоногов по математика.

М. „Първи септември“, 2002 г

16. Черкасов. Помагало за гимназисти и

влизане в университети. “A S T - пресшкола”, 2002г

17. Жевняк за постъпващите във ВУЗ.

Минск и Руската федерация „Ревю“, 1996 г

18. Писмена Г. Готвим се за изпита по математика. М. Ролф, 1999

19. и т. Научаване за решаване на уравнения и неравенства.

М. "Интелект - център", 2003 г

20. и др. Образователни и обучителни материали за подготовка за EGE.

М. "Разузнаване - център", 2003 и 2004 г.

21 и др.. Варианти на CMM. Изпитателен център на Министерството на отбраната на Руската федерация, 2002, 2003 г.

22. Уравнения на Голдберг. "Квант" № 3, 1971 г

23. Волович М. Как успешно да преподаваме математика.

Математика, 1997 №3.

24 Окунев за урока, деца! М. Образование, 1988

25. Yakimanskaya - ориентирано обучение в училище.

26. Liimets работят в клас. М. Знание, 1975

Решаване на експоненциални уравнения. Примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Какво стана експоненциално уравнение? Това е уравнение, в което присъстват неизвестните (x) и изразите с тях показателинякои степени. И само там! Важно е.

Ето къде си примери за експоненциални уравнения:

3 х 2 х = 8 х+3

Забележка! В основите на градусите (по-долу) - само числа. IN показателистепени (по-горе) - голямо разнообразие от изрази с X. Ако внезапно X се появи в уравнението някъде извън индикатор, например:

това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаването им. Засега няма да ги разглеждаме. Тук ще се занимаваме с решаване на експоненциални уравненияв най-чист вид.

Всъщност дори чистите експоненциални уравнения не винаги се решават ясно. Но има определени видове експоненциални уравнения, които могат и трябва да бъдат решени. Това са видовете, които ще разгледаме.

Решаване на прости експоненциални уравнения.

Първо, нека решим нещо много основно. Например:

Дори и без никакви теории, чрез проста селекция е ясно, че x = 2. Нищо повече, нали!? Никоя друга стойност на X не работи. Сега нека да разгледаме решението на това сложно експоненциално уравнение:

какво направихме Ние всъщност просто изхвърлихме същите бази (тройки). Напълно изхвърлен. И добрата новина е, че ударихме гвоздея на главата!

Наистина, ако в едно експоненциално уравнение има ляво и дясно същоточисла във всякакви степени, тези числа могат да бъдат премахнати и показателите могат да бъдат изравнени. Математиката позволява. Остава да решим много по-просто уравнение. Страхотно, нали?)

Нека обаче твърдо запомним: Можете да премахнете бази само когато базовите числа отляво и отдясно са в прекрасна изолация!Без никакви съседи и коефициенти. Да кажем в уравненията:

2 x +2 x+1 = 2 3, или

двойки не могат да бъдат премахнати!

Е, усвоихме най-важното. Как да преминем от зли експоненциални изрази към по-прости уравнения.

— Такива са времената! - ти каза. „Кой би дал такъв примитивен урок на контролни и изпити!?“

Трябва да се съглася. Никой няма. Но сега знаете накъде да се стремите, когато решавате трудни примери. Трябва да се доведе до формата, където отляво и отдясно е едно и също базово число. Тогава всичко ще бъде по-лесно. Всъщност това е класика на математиката. Взимаме оригиналния пример и го трансформираме в желания насум. Според правилата на математиката, разбира се.

Нека да разгледаме примери, които изискват допълнителни усилия, за да ги сведем до най-простите. Да им се обадим прости експоненциални уравнения.

Решаване на прости експоненциални уравнения. Примери.

При решаване на експоненциални уравнения основните правила са действия със степени.Без познаване на тези действия нищо няма да работи.

Към действията със степени трябва да се добави лично наблюдение и изобретателност. Имаме ли нужда от еднакви базови числа? Така че ние ги търсим в примера в изрична или криптирана форма.

Да видим как това се прави на практика?

Нека ни бъде даден пример:

2 2x - 8 x+1 = 0

Първият проницателен поглед е към основания.Те... Те са различни! Две и осем. Но е твърде рано да се обезсърчавате. Време е да си припомним това

Две и осем са роднини по степен.) Напълно възможно е да напишете:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ако си припомним формулата от операции със степени:

(a n) m = a nm,

това работи страхотно:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Оригиналният пример започна да изглежда така:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ние прехвърляме 2 3 (x+1)надясно (никой не е отменил елементарните математически операции!), получаваме:

2 2x = 2 3(x+1)

Това е на практика всичко. Премахване на основите:

Разрешаваме това чудовище и получаваме

Това е правилният отговор.

В този пример познаването на правомощията на две ни помогна. Ние идентифициранив осем има криптирана двойка. Тази техника (кодиране на общи основи под различни числа) е много популярна техника в експоненциалните уравнения! Да, и в логаритми също. Трябва да можете да разпознавате степени на други числа в числата. Това е изключително важно за решаване на експоненциални уравнения.

Факт е, че повишаването на произволно число на произволна степен не е проблем. Умножете дори на хартия и това е. Например всеки може да повдигне 3 на пета степен. 243 ще се получи, ако знаете таблицата за умножение.) Но в експоненциалните уравнения много по-често не е необходимо да се повдига на степен, а обратното... Разберете какво число до каква степенсе крие зад числото 243, или, да речем, 343... Никой калкулатор няма да ви помогне тук.

Трябва да знаете степента на някои числа по поглед, нали... Да се ​​упражняваме?

Определете на какви степени и какви числа са числата:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Отговори (в бъркотия, разбира се!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ако се вгледате внимателно, можете да видите странен факт. Има значително повече отговори, отколкото задачи! Е, случва се... Например 2 6, 4 3, 8 2 - това е всичко 64.

Да предположим, че сте взели под внимание информацията за познаването на числата.) Позволете ми също да ви напомня, че за решаване на експоненциални уравнения използваме всичкозапас от математически знания. Включително и от младши и среден клас. Не си отишъл направо в гимназията, нали?)

Например, когато решавате експоненциални уравнения, поставянето на общия множител извън скоби често помага (здравейте на 7 клас!). Да разгледаме един пример:

3 2x+4 -11 9 x = 210

И отново, първият поглед е към основите! Основите на степените са различни... Три и девет. Но ние искаме да са същите. Е, в този случай желанието е напълно изпълнено!) Защото:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Използване на същите правила за работа със степени:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Това е страхотно, можете да го запишете:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Дадохме пример по същите причини. И така, какво следва!? Не можете да изхвърляте тройки... Задънена улица?

Въобще не. Запомнете най-универсалното и силно правило за вземане на решения всекизадачи по математика:

Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете!

Вижте, всичко ще се получи).

Какво има в това експоненциално уравнение Могаправя? Да, от лявата страна просто моли да бъде извадено от скоби! Общият множител от 3 2x ясно подсказва това. Нека опитаме и тогава ще видим:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Примерът става все по-добър и по-добър!

Спомняме си, че за да елиминираме основания, се нуждаем от чиста степен, без никакви коефициенти. Числото 70 ни притеснява. Така че разделяме двете страни на уравнението на 70, получаваме:

Опа! Всичко се оправи!

Това е окончателният отговор.

Случва се обаче да се постигне рулиране на същата база, но премахването им да не е възможно. Това се случва в други видове експоненциални уравнения. Нека овладеем този тип.

Замяна на променлива при решаване на експоненциални уравнения. Примери.

Нека решим уравнението:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Първо - както обикновено. Да преминем към една база. До двойка.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Получаваме уравнението:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

И това е мястото, където се мотаем. Предишните техники няма да работят, както и да го погледнете. Ще трябва да извадим друг мощен и универсален метод от нашия арсенал. Нарича се променлива замяна.

Същността на метода е изненадващо проста. Вместо една сложна икона (в нашия случай - 2 x) пишем друга, по-проста (например - t). Такава на пръв поглед безсмислена замяна води до невероятни резултати!) Всичко става ясно и разбираемо!

Така че нека

Тогава 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

В нашето уравнение заместваме всички степени с x с t:

Е, светна ли ти?) Забравихте ли вече квадратните уравнения? Решавайки чрез дискриминанта, получаваме:

Основното тук е да не спираме, както се случва... Това все още не е отговорът, имаме нужда от x, а не от t. Да се ​​върнем на Х-овете, т.е. правим обратна замяна. Първо за t 1:

Това е,

Намерен е един корен. Търсим втория от t 2:

Хм... 2 х отляво, 1 отдясно... Проблем? Въобще не! Достатъчно е да запомните (от операции със степени, да...), че единица е всякаквичисло на нулева степен. Всякакви. Каквото е необходимо ние ще го монтираме. Имаме нужда от две. означава:

Това е сега. Имаме 2 корена:

Това е отговорът.

При решаване на експоненциални уравнениянакрая понякога завършвате с някакъв вид неловко изражение. Тип:

Седем не може да се преобразува в две чрез обикновена степен. Те не са роднини... Как да сме? Някой може да е объркан ... Но човекът, който е прочел в този сайт темата "Какво е логаритъм?" , само се усмихва пестеливо и записва със твърда ръка абсолютно верния отговор:

В задачи „Б” на Единния държавен изпит не може да има такъв отговор. Там се изисква конкретен номер. Но в задачи „C“ е лесно.

Този урок предоставя примери за решаване на най-често срещаните експоненциални уравнения. Нека подчертаем основните точки.

Практически съвети:

1. На първо място, разглеждаме основаниястепени. Чудим се дали е възможно да ги направим идентичен.Нека се опитаме да направим това чрез активно използване действия със степени.Не забравяйте, че числата без х също могат да се преобразуват в степени!

2. Опитваме се да доведем експоненциалното уравнение до вида, когато отляво и отдясно има същоточисла във всякакви степени. Ние използваме действия със степениИ факторизация.Това, което може да се преброи в числа, ние го броим.

3. Ако вторият съвет не работи, опитайте да използвате замяна на променливи. Резултатът може да бъде уравнение, което може лесно да бъде решено. Най-често - квадрат. Или дробно, което също се свежда до квадрат.

4. За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете степените на някои числа нагледно.

Както обикновено, в края на урока вие сте поканени да решите малко.) Сами. От просто към сложно.

Решете експоненциални уравнения:

По-трудно:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Намерете произведението на корените:

2 3 + 2 x = 9

Се случи?

Е, тогава един много сложен пример (въпреки че може да бъде решен в ума...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Какво по-интересно? Тогава ето ви лош пример. Доста изкушаващо за повишена трудност. Нека намекна, че в този пример това, което ви спасява, е изобретателността и най-универсалното правило за решаване на всички математически задачи.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

По-прост пример, за релакс):

9 2 x - 4 3 x = 0

И за десерт. Намерете сумата от корените на уравнението:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Да да! Това е уравнение от смесен тип! Което не разгледахме в този урок. Защо да ги обмисляте, те трябва да бъдат решени!) Този урок е напълно достатъчен за решаване на уравнението. Е, находчивост трябва... И дано ти помогне седми клас (това е подсказка!).

Отговори (в безпорядък, разделени с точка и запетая):

1; 2; 3; 4; няма решения; 2; -2; -5; 4; 0.

Всичко успешно ли е? Страхотен.

Има проблем? Няма проблем! Специален раздел 555 решава всички тези експоненциални уравнения с подробни обяснения. Какво, защо и защо. И, разбира се, има допълнителна ценна информация за работа с всякакви експоненциални уравнения. Не само тези.)

Един последен забавен въпрос за разглеждане. В този урок работихме с експоненциални уравнения. Защо не казах нито дума за ODZ тук?В уравненията това е много важно нещо, между другото...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.