Период за пролетта. Пружинно махало: амплитуда на трептене, период, формула. Вижте какво е „пружинно махало“ в други речници

Определение 1

Свободните вибрации могат да възникнат под въздействието на вътрешни сили само след като цялата система бъде извадена от равновесно положение.

За да възникнат трептения по хармоничния закон, е необходимо силата, връщаща тялото в равновесно положение, да е пропорционална на изместването на тялото от равновесното положение и насочена в посока, обратна на изместването.

F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .

Връзката казва, че ω е честотата на хармонично трептене. Това свойство е характерно за еластичната сила в границите на приложимост на закона на Хук:

F y p r = - k x .

Определение 2

Силите от всякакво естество, които отговарят на условието, се наричат квазиеластичен.

Тоест товар с маса m, прикрепен към пружина с твърдост k с фиксиран край, показана на фигура 2. 2. 1, представляват система, способна да извършва хармонични свободни вибрации при липса на триене.

Определение 3

Тежест, поставена върху пружина, се нарича линеен хармоничен осцилатор.

рисуване 2 . 2 . 1 . Трептения на товар върху пружина. Няма триене.

Кръгова честота

Кръговата честота ω 0 се намира чрез прилагане на формулата на втория закон на Нютон:

m a = - k x = m ω 0 2 x .

Така получаваме:

Определение 4

Честотата ω 0 се нарича собствена честота на трептящата система.

Периодът на хармоничните трептения на товара върху пружината Т се определя от формулата:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Хоризонталното разположение на системата за пружинно натоварване, силата на гравитацията се компенсира от опорната реакционна сила. При окачване на товар на пружина посоката на гравитацията върви по линията на движение на товара. Равновесното положение на опъната пружина е равно на:

x 0 = m g k , докато се появяват трептения около ново равновесно състояние. Формулите за собствената честота ω 0 и периода на трептене T в горните изрази са валидни.

Определение 5

Като се има предвид съществуващата математическа връзка между ускорението на тялото a и координатата x, поведението на осцилаторната система се характеризира със строго описание: ускорението е втората производна на координатата на тялото x по отношение на времето t:

Описанието на втория закон на Нютон с натоварване върху пружина ще бъде написано като:

m a - m x = - k x, или x ¨ + ω 0 2 x = 0, където свободната честота ω 0 2 = k m.

Ако физическите системи зависят от формулата x ¨ + ω 0 2 x = 0, тогава те са в състояние да извършват свободни осцилаторни хармонични движения с различни амплитуди. Това е възможно, защото се използва x = x m cos (ω t + φ 0).

Определение 6

Извиква се уравнение от вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 уравнения на свободните вибрации. Техните физически свойства могат да определят само естествената честота на трептенията ω 0 или периода T.

Амплитудата x m и началната фаза φ 0 се намират с помощта на метод, който ги извежда от равновесното състояние на началния момент от времето.

Пример 1

При наличие на изместен товар от равновесното положение на разстояние ∆ l и момент от време, равен на t = 0, той се спуска без начална скорост. Тогава x m = ∆ l, φ 0 = 0. Ако товарът е бил в равновесно положение, тогава първоначалната скорост ± υ 0 се предава по време на натискане, следователно x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.

Амплитудата x m с начална фаза φ 0 се определя от наличието на начални условия.

Фигура 2. 2. 2. Модел на свободни трептения на товар върху пружина.

Механичните осцилаторни системи се отличават с наличието на еластични деформационни сили във всяка от тях. Фигура 2. 2. 2 е показан ъглов аналог на хармоничен осцилатор, извършващ торсионни трептения. Дискът е разположен хоризонтално и виси на еластична нишка, прикрепена към центъра на масата му. Ако се завърти под ъгъл θ, тогава възниква момент на сила на еластична усукваща деформация M y p p:

M y p r = - x θ.

Този израз не съответства на закона на Хук за деформация на усукване. Стойността x е подобна на твърдостта на пружината k. Записът на втория закон на Нютон за въртеливото движение на диск приема формата

I ε = M y p p = - x θ или I θ ¨ = - x θ, където инерционният момент е означен с I = IC, а ε е ъгловото ускорение.

По същия начин с формулата на пружинно махало:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Използването на торсионно махало се наблюдава при механичните часовници. Нарича се балансьор, в който моментът на еластичните сили се създава с помощта на спирална пружина.

Фигура 2. 2. 3. Торсионно махало.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Какво е период на трептене? Какво е това количество, какво физическо значение има и как да го изчислим? В тази статия ще разгледаме тези въпроси, ще разгледаме различни формули, чрез които може да се изчисли периодът на трептене, а също така ще разберем каква връзка има между такива физически величини като период и честота на трептене на тяло/система.

Определение и физическо значение

Периодът на трептене е периодът от време, през който тялото или системата извършва едно трептене (задължително пълно). В същото време можете да отбележите параметъра, при който трептенето може да се счита за пълно. Ролята на такова състояние е връщането на тялото в първоначалното му състояние (към първоначалната координата). Аналогията с периода на функция е много добра. Грешка е, между другото, да се мисли, че това се среща изключително в обикновената и висшата математика. Както знаете, тези две науки са неразривно свързани. А периодът на функциите може да се срещне не само при решаване на тригонометрични уравнения, но и в различни раздели на физиката, а именно механика, оптика и др. Когато прехвърляме периода на трептене от математиката във физиката, той трябва да се разбира просто като физическа величина (а не функция), която има пряка зависимост от изминалото време.

Какви видове колебания има?

Трептенията се делят на хармонични и анхармонични, както и на периодични и непериодични. Логично би било да се приеме, че при хармоничните трептения те възникват според някаква хармонична функция. Може да бъде синус или косинус. В този случай коефициентите на компресия-удължаване и увеличаване-намаляване също могат да влязат в действие. Трептенията също могат да бъдат затихвани. Тоест, когато върху системата действа определена сила, която постепенно „забавя“ самите трептения. В този случай периодът става по-къс, докато честотата на трептене неизменно се увеличава. Тази физическа аксиома се демонстрира много добре чрез прост експеримент с използване на махало. Може да бъде както пружинен, така и математически. Няма значение. Между другото, периодът на трептене в такива системи ще се определя по различни формули. Но повече за това малко по-късно. Сега нека дадем примери.

Опит с махала

Първо можете да вземете всяко махало, няма да има разлика. Законите на физиката са закони на физиката, защото те се спазват във всички случаи. Но по някаква причина предпочитам математическото махало. Ако някой не знае какво е: това е топка на неразтеглива нишка, която е закрепена за хоризонтална лента, закрепена за краката (или елементи, които играят ролята си - да поддържат системата в равновесно състояние). Най-добре е да вземете топка от метал, за да направите изживяването по-визуално.

Така че, ако извадите такава система от равновесие, приложите някаква сила към топката (с други думи, натиснете я), тогава топката ще започне да се люлее върху нишката, следвайки определена траектория. С течение на времето можете да забележите, че траекторията, по която преминава топката, се скъсява. В същото време топката започва да се движи напред-назад все по-бързо и по-бързо. Това показва, че честотата на трептенията се увеличава. Но времето, необходимо на топката да се върне в първоначалната си позиция, намалява. Но времето на едно пълно трептене, както разбрахме по-рано, се нарича период. Ако едната величина намалява, а другата нараства, тогава говорят за обратна пропорционалност. Сега стигнахме до първата точка, въз основа на която се изграждат формули за определяне на периода на трептене. Ако вземем пружинно махало за тестване, тогава законът ще се спазва в малко по-различна форма. За да бъде представено най-ясно, нека задвижим системата във вертикална равнина. За да стане по-ясно, първо трябва да кажем какво е пружинно махало. От името става ясно, че неговият дизайн трябва да съдържа пружина. И наистина е така. Отново имаме хоризонтална равнина върху опори, от която е окачена пружина с определена дължина и твърдост. На него от своя страна е окачена тежест. Може да е цилиндър, куб или друга фигура. Може дори да е някакъв обект на трета страна. Във всеки случай, когато системата бъде извадена от нейното равновесно положение, тя ще започне да извършва затихващи трептения. Увеличаването на честотата е най-ясно видимо във вертикалната равнина, без никакво отклонение. Това е мястото, където можем да завършим нашите експерименти.

И така, в техния курс разбрахме, че периодът и честотата на трептенията са две физически величини, които имат обратна връзка.

Означение на количества и размери

Обикновено периодът на трептене се обозначава с латинската буква Т. Много по-рядко може да се обозначава по различен начин. Честотата се обозначава с буквата µ (“Mu”). Както казахме в самото начало, периодът не е нищо повече от времето, през което в системата възниква пълно колебание. Тогава измерението на периода ще бъде секунда. И тъй като периодът и честотата са обратно пропорционални, измерението на честотата ще бъде едно делено на секунда. В записа на задачата всичко ще изглежда така: T (s), µ (1/s).

Формула за математическо махало. Задача No1

Както в случая с експериментите, реших първо да се занимавам с математическото махало. Няма да навлизаме в подробности за извеждането на формулата, тъй като първоначално не е поставена такава задача. А самият извод е тромав. Но нека се запознаем със самите формули и да разберем какви количества включват. И така, формулата за периода на трептене за математическо махало има следната форма:

Където l е дължината на нишката, n = 3,14, а g е ускорението на гравитацията (9,8 m/s^2). Формулата не трябва да създава затруднения. Следователно, без допълнителни въпроси, нека преминем направо към решаването на проблема за определяне на периода на трептене на математическо махало. Метална топка с тегло 10 грама е окачена на неразтеглива нишка с дължина 20 сантиметра. Изчислете периода на трептене на системата, като я приемете за математическо махало. Решението е много просто. Както при всички задачи във физиката, е необходимо да се опрости възможно най-много, като се изхвърлят ненужните думи. Те са включени в контекста, за да объркат вземащия решението, но всъщност нямат абсолютно никаква тежест. В повечето случаи разбира се. Тук можем да изключим проблема с „неразтегливата нишка“. Тази фраза не трябва да е объркваща. И тъй като нашето махало е математическо, масата на товара не трябва да ни интересува. Тоест думите за 10 грама също просто целят да объркат ученика. Но знаем, че във формулата няма маса, така че можем да пристъпим към решението с чиста съвест. Така че, ние вземаме формулата и просто заместваме стойностите в нея, тъй като е необходимо да се определи периодът на системата. Тъй като не са посочени допълнителни условия, ще закръглим стойностите до 3-тия знак след десетичната запетая, както е обичайно. Като умножим и разделим стойностите, намираме, че периодът на трептене е 0,886 секунди. Проблемът е решен.

Формула за пружинно махало. Задача No2

Формулите на махалата имат обща част, а именно 2p. Това количество присъства в две формули наведнъж, но те се различават в радикалния израз. Ако в задача относно периода на пружинно махало е посочена масата на товара, тогава е невъзможно да се избегнат изчисления с неговото използване, както беше в случая с математическото махало. Но няма защо да се страхувате. Ето как изглежда формулата на периода за пружинно махало:

В него m е масата на товара, окачен на пружината, k е коефициентът на твърдост на пружината. В задачата може да се даде стойността на коефициента. Но ако във формулата на математическото махало няма много за изясняване - все пак 2 от 4 величини са константи - тогава тук се добавя 3-ти параметър, който може да се променя. И на изхода имаме 3 променливи: периодът (честотата) на трептенията, коефициентът на твърдост на пружината, масата на окачения товар. Задачата може да бъде фокусирана върху намирането на който и да е от тези параметри. Намирането на периода отново би било твърде лесно, така че ще променим малко условието. Намерете коефициента на твърдост на пружината, ако времето за пълно трептене е 4 секунди и масата на пружинното махало е 200 грама.

За да решите всеки физически проблем, би било добре първо да направите чертеж и да напишете формули. Те са тук - половината от битката. След като напишете формулата, е необходимо да изразите коефициента на твърдост. Имаме го под корена, така че нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението. За да се отървете от дробта, умножете частите по k. Сега нека оставим само коефициента от лявата страна на уравнението, тоест да разделим частите на T^2. По принцип проблемът може да се усложни малко, като се посочи не периодът в числа, а честотата. Във всеки случай при изчисляване и закръгляване (уговорихме се да закръглим до 3-тия знак след десетичната запетая) се оказва, че k = 0,157 N/m.

Период на свободни трептения. Формула за периода на свободните трептения

Формулата за периода на свободните трептения се отнася до тези формули, които разгледахме в двете предходни задачи. Те също създават уравнение за свободните вибрации, но там говорим за премествания и координати, а този въпрос е в друга статия.

1) Преди да се заемете с проблем, запишете формулата, която е свързана с него.

2) Най-простите задачи не изискват чертежи, но в изключителни случаи те ще трябва да бъдат направени.

3) Опитайте се да се отървете от корените и знаменателите, ако е възможно. Уравнение, написано на права, която няма знаменател, е много по-удобно и лесно за решаване.

Цел на работата. Запознайте се с основните характеристики на незатихващите и затихващите свободни механични вибрации.

Задача. Определете периода на собствените трептения на пружинното махало; проверете линейността на зависимостта на квадрата на периода от масата; определяне на твърдостта на пружината; определяне на периода на затихващи трептения и логаритмичния декремент на затихване на пружинно махало.

Уреди и аксесоари. Статив с везна, пружина, комплект тежести с различно тегло, съд с вода, хронометър.

1. Свободни трептения на пружинно махало. Главна информация

Трептенията са процеси, при които една или повече физични величини, които описват тези процеси, се променят периодично. Трептенията могат да бъдат описани с различни периодични функции на времето. Най-простите трептения са хармонични трептения - такива трептения, при които осцилиращото количество (например преместването на товар върху пружина) се променя с течение на времето според закона на косинуса или синуса. Трептенията, които възникват след действието на външна краткотрайна сила върху системата, се наричат ​​свободни.

Ако товарът се отстрани от равновесното положение чрез отклонение с известно количество х, тогава еластичната сила нараства: Еконтрол = – kx 2= – к(х 1 + х). След като достигне равновесното положение, товарът ще има скорост, различна от нула, и ще премине равновесното положение по инерция. С продължаването на движението отклонението от равновесното положение ще се увеличи, което ще доведе до увеличаване на еластичната сила и процесът ще се повтори в обратна посока. По този начин осцилаторното движение на системата се дължи на две причини: 1) желанието на тялото да се върне в равновесно положение и 2) инерция, която не позволява на тялото незабавно да спре в равновесно положение. При липса на сили на триене трептенията биха продължили безкрайно дълго. Наличието на сили на триене води до факта, че част от енергията на трептенията се превръща във вътрешна енергия и трептенията постепенно изчезват. Такива трептения се наричат ​​затихващи.

Незатихващи свободни трептения

Първо, нека разгледаме трептенията на пружинно махало, което не се влияе от сили на триене - незатихващи свободни трептения. Според втория закон на Нютон, като се вземат предвид знаците на проекциите върху оста X

От условието за равновесие, изместването, причинено от гравитацията: . Замествайки в уравнение (1), получаваме: Диференциално" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">диференциално уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Това уравнение се нарича хармонично уравнение. Най-голямото отклонение на товара от равновесното положение А 0 наречена амплитуда на трептенията. Извиква се количеството в аргумента косинус фаза на трептене. Константата φ0 представлява фазовата стойност в началния момент ( T= 0) и се нарича начална фаза на трептене. величина

кръгово ли е или циклично? естествена честотасвързан с период на трептене Tсъотношение https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Затихващи трептения

Нека разгледаме свободните трептения на пружинно махало при наличие на сила на триене (затихващи трептения). В най-простия и в същото време най-разпространения случай силата на триене е пропорционална на скоростта υ движения:

Етр = – rυ, (6)

Където r– константа, наречена коефициент на съпротивление. Знакът минус показва, че силата на триене и скоростта са в противоположни посоки. Уравнение на втория закон на Нютон в проекция върху оста X при наличие на еластична сила и сила на триене

ма = – kx – rυ. (7)

Това диференциално уравнение като се вземе предвид υ = dx/ дтможе да се запише

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коефициент на затихване; – циклична честота на свободните незатихващи трептения на дадена трептителна система, т.е. при липса на загуби на енергия (β = 0). Уравнение (8) се нарича диференциално уравнение на затихнали трептения.

За да получите зависимостта на преместването хот време T, е необходимо да се реши диференциалното уравнение (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

Където А 0 и φ0 – начална амплитуда и начална фаза на трептенията;
– циклична честота на затихнали трептения при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графиката на функция (9), фиг. 2, пунктираните линии показват промяната в амплитудата (10) на затихналите трептения.

Ориз. 2. Зависимост от преместване хнатоварване от време на време Tпри наличие на сила на триене

За да се характеризира количествено степента на затихване на трептенията, се въвежда стойност, равна на съотношението на амплитудите, които се различават с период, и се нарича декремент на затихване:

. (11)

Често се използва естественият логаритъм на това количество. Този параметър се нарича логаритмичен декремент на затихване:

Амплитудата намалява в нпъти, тогава от уравнение (10) следва, че

От тук получаваме израза за логаритмичния декремент

Ако през времето T" амплитудата намалява в дведнъж ( д= 2,71 – основата на естествения логаритъм), тогава системата ще има време да завърши броя на трептенията

Ориз. 3. Монтажна схема

Инсталацията се състои от статив 1 със скала за измерване 2 . Към триножник с пружина 3 товарите са спряни 4 от различни маси. При изследване на затихналите трептения в задача 2 се използва пръстен за подобряване на затихването 5 , която се поставя в прозрачен съд 6 с вода.

В задача 1 (изпълнена без съд с вода и пръстен), в първо приближение, затихването на трептенията може да се пренебрегне и да се приеме за хармонично. Както следва от формула (5) за хармоничните трептения, зависимостта T 2 = f (м) – линеен, от който може да се определи коефициентът на коравина на пружината кспоред формулата

където е наклонът на правата линия T 2 от м.

Упражнение 1.Определяне на зависимостта на периода на собствените трептения на пружинно махало от масата на товара.

1. Определете периода на колебание на пружинно махало при различни стойности на масата на товара м. За да направите това, използвайте хронометър за всяка стойност мизмервайте времето три пъти Tпълен нколебания ( н≥10) и според средната времева стойност https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28"> Въведете резултатите в табл. 1.

2. Въз основа на резултатите от измерването постройте графика на квадрата на периода T2 по тегло м. От наклона на графиката определете твърдостта на пружината ксъгласно формула (16).

маса 1

Резултати от измерване за определяне на периода на собствените трептения

3. Допълнителна задача. Оценява произволно, общо и относително ε Tгрешки при измерване на времето за стойност на масата m = 400 g.

Задача 2.Определяне на логаритмичния декремент на затихване на пружинно махало.

1. Закачете маса на пружина м= 400 g с пръстен и се поставя в съд с вода, така че пръстенът да е напълно потопен във вода. Определете периода на затихнали трептения за дадена стойност мсъгласно метода, описан в параграф 1 на задача 1. Повторете измерванията три пъти и въведете резултатите от лявата страна на таблицата. 2.

2. Извадете махалото от равновесното положение и като отбележите началната му амплитуда на линийка, измерете времето T" , при което амплитудата на трептенията намалява 2 пъти. Направете измервания три пъти. Въведете резултатите от дясната страна на таблицата. 2.

таблица 2

Резултати от измерването

за определяне на логаритмичния декремент на затихване

Измерване на периода на трептене	Измерване на времето намаляване на амплитудата 2 пъти

4. Тестови въпроси и задачи

1. Какви трептения се наричат ​​хармонични? Определете основните им характеристики.

2. Какви трептения се наричат ​​затихващи? Определете основните им характеристики.

3. Обяснете физическия смисъл на логаритмичния декремент на затихване и коефициента на затихване.

4. Изведете зависимостта от времето на скоростта и ускорението на товар върху пружина, извършваща хармонични трептения. Предоставете графики и анализирайте.

5. Изведете зависимостта от времето на кинетичната, потенциалната и пълната енергия за товар, който се движи върху пружина. Предоставете графики и анализирайте.

6. Получаване на диференциалното уравнение на свободните вибрации и неговото решение.

7. Постройте графики на хармонични трептения с начални фази π/2 и π/3.

8. В какви граници може да варира логаритмичният декремент на затихване?

9. Дайте диференциалното уравнение на затихналите трептения на пружинно махало и неговото решение.

10. Според какъв закон се променя амплитудата на затихналите трептения? Периодични ли са затихващите трептения?

11. Какво движение се нарича апериодично? При какви условия се наблюдава?

12. Каква е собствената честота на трептенията? Как зависи тя от масата на трептящото тяло за пружинно махало?

13. Защо честотата на затихналите трептения е по-малка от честотата на собствените трептения на системата?

14. Медна топка, окачена на пружина, извършва вертикални трептения. Как ще се промени периодът на трептене, ако вместо медна топка на пружина е окачена алуминиева топка със същия радиус?

15. При каква стойност на логаритмичния декремент на затихване трептенията затихват по-бързо: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Представете графики на тези затихнали трептения.

Библиография

1. И. Курс по физика / . – 11-то изд. – М.: Академия, 2006. – 560 с.

2. IN. Общ курс по физика: 3 тома / . - Санкт Петербург. : Лан, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. СЪС. Лабораторен практикум по физика / .
– М.: Висше. училище, 1980. – 359 с.

Тела под действието на еластична сила, чиято потенциална енергия е пропорционална на квадрата на изместването на тялото от равновесното положение:

където k е твърдостта на пружината.

При свободни механични вибрации кинетичните и потенциалните енергии се променят периодично. При максимално отклонение на тялото от равновесното му положение скоростта му, а оттам и кинетичната му енергия, се нулират. В това положение потенциалната енергия на трептящото тяло достига максималната си стойност. За товар върху хоризонтална пружина потенциалната енергия е енергията на еластичната деформация на пружината.

Когато едно тяло при своето движение преминава през равновесното положение, неговата скорост е максимална. В този момент той има максимална кинетична и минимална потенциална енергия. Увеличаването на кинетичната енергия възниква поради намаляване на потенциалната енергия. С по-нататъшно движение потенциалната енергия започва да се увеличава поради намаляване на кинетичната енергия и т.н.

Така по време на хармонични трептения възниква периодична трансформация на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно.

Ако в трептящата система няма триене, тогава общата механична енергия по време на свободните трептения остава непроменена.

За пружинно тегло:

Осцилаторното движение на тялото се стартира с бутона Старт. Бутонът Stop ви позволява да спрете процеса по всяко време.

Графично показва връзката между потенциалната и кинетичната енергия по време на трептения по всяко време. Обърнете внимание, че при липса на затихване общата енергия на осцилаторната система остава непроменена, потенциалната енергия достига максимум, когато тялото е максимално отклонено от равновесното положение, а кинетичната енергия приема максимална стойност, когато тялото преминава през равновесното положение позиция.