По математика и статистика средно аритметичноаритметика (или лесно средно аритметично) на набор от числа е сумата от всички числа в този набор, разделена на техния брой. Средната аритметична стойност е особено универсално и най-често срещано представяне на средната стойност.

Ще имаш нужда

• Познания по математика.

Инструкции

1. Нека е даден набор от четири числа. Трябва да се открие средно аритметично значениетози комплект. За да направим това, първо намираме сбора на всички тези числа. Възможните числа са 1, 3, 8, 7. Сборът им е S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Наборът от числа трябва да се състои от числа с еднакъв знак, в противен случай се губи смисълът от изчисляването на средната стойност.

2. Средно аритметично значениенабор от числа е равен на сумата от числа S, разделена на броя на тези числа. Тоест, оказва се, че средно аритметично значениее равно на: 19/4 = 4,75.

3. За набор от числа също е възможно да се открие не само средно аритметичноаритметика, но също средно аритметичногеометричен. Средната геометрична стойност на няколко редовни реални числа е число, което може да замени всяко от тези числа, така че произведението им да не се променя. Средната геометрична G се търси по формулата: корен N-та от произведението на набор от числа, където N е числото в набора. Нека разгледаме същия набор от числа: 1, 3, 8, 7. Нека ги намерим средно аритметичногеометричен. За да направите това, нека изчислим продукта: 1*3*8*7 = 168. Сега от числото 168 трябва да извлечете четвъртия корен: G = (168)^1/4 = 3,61. По този начин средно аритметичногеометричният набор от числа е 3,61.

Средно аритметичноСредната геометрична стойност обикновено се използва по-рядко от средната аритметична, но може да бъде полезна при изчисляване на средната стойност на индикатори, които се променят с течение на времето (заплатата на отделен служител, динамиката на показателите за академично представяне и др.).

Ще имаш нужда

• Инженерен калкулатор

Инструкции

1. За да намерите средното геометрично на поредица от числа, първо трябва да умножите всички тези числа. Да кажем, че ви е даден набор от пет индикатора: 12, 3, 6, 9 и 4. Нека умножим всички тези числа: 12x3x6x9x4=7776.

2. Сега от полученото число трябва да извлечете корена на степен, равна на броя на елементите на серията. В нашия случай от числото 7776 ще е необходимо да извлечете петия корен с помощта на инженерен калкулатор. Числото, получено след тази операция - в този случай числото 6 - ще бъде средното геометрично за първоначалната група числа.

3. Ако нямате под ръка инженерен калкулатор, тогава можете да изчислите средната геометрична стойност на поредица от числа, като използвате функцията SRGEOM в Excel или като използвате един от онлайн калкулаторите, специално предназначени за изчисляване на средни геометрични стойности.

Забележка!
Ако трябва да намерите средната геометрична стойност на всяко за 2 числа, тогава нямате нужда от инженерен калкулатор: можете да извлечете втория корен (квадратен корен) от произволно число с помощта на най-обикновения калкулатор.

Полезен съвет
За разлика от средното аритметично, средното геометрично не се влияе толкова силно от огромни отклонения и колебания между отделните стойности в набора от изследвани показатели.

Средно аритметичностойността е една от съпоставките на набор от числа. Представлява число, което не може да бъде извън диапазона, определен от най-голямата и най-малката стойност в този набор от числа. Средно аритметичноаритметичната стойност е особено често използван тип средна стойност.

Инструкции

1. Съберете всички числа в набора и ги разделете на броя членове, за да получите средното аритметично. В зависимост от определени условия на изчисление, понякога е по-лесно да разделите всяко от числата на броя на стойностите в набора и да сумирате общата сума.

2. Използвайте, да речем, калкулатора, включен в операционната система Windows, ако изчисляването на средното аритметично в главата ви не е възможно. Можете да го отворите с поддръжка от диалоговия прозорец за стартиране на програмата. За да направите това, натиснете „горещите клавиши“ WIN + R или щракнете върху бутона „Старт“ и изберете командата „Изпълни“ от главното меню. След това въведете calc в полето за въвеждане и натиснете Enter на клавиатурата или щракнете върху бутона „OK“. Същото може да се направи и чрез главното меню - отворете го, отидете в секцията „Всички програми“ и в сегментите „Типични“ и изберете реда „Калкулатор“.

3. Въведете всички числа от набора стъпка по стъпка, като натиснете бутона Плюс на клавиатурата след всички тях (освен последното) или като щракнете върху съответния бутон в интерфейса на калкулатора. Можете също така да въвеждате числа или от клавиатурата, или като щракнете върху съответните бутони на интерфейса.

4. Натиснете клавиша с наклонена черта или щракнете върху тази икона в интерфейса на калкулатора, след като въведете последната стойност от набора и въведете броя на числата в последователността. След това натиснете знака за равенство и калкулаторът ще изчисли и изведе средноаритметичната стойност.

5. Можете да използвате редактора на електронни таблици на Microsoft Excel за същата цел. В този случай стартирайте редактора и въведете всички стойности на поредицата от числа в съседните клетки. Ако след въвеждане на цялото число натиснете Enter или клавиша със стрелка надолу или надясно, редакторът сам ще премести фокуса на въвеждане в съседната клетка.

6. Изберете всички въведени стойности и в долния ляв ъгъл на прозореца на редактора (в лентата на състоянието) ще видите средноаритметичната стойност за избраните клетки.

7. Щракнете върху клетката до последното въведено число, ако просто искате да видите средната стойност. Разгънете падащия списък с изображението на гръцката буква сигма (Σ) в групата команди Редактиране в раздела Основни. Изберете реда " Средно аритметично" и редакторът ще вмъкне необходимата формула за изчисляване на средното аритметично в избраната клетка. Натиснете клавиша Enter и стойността ще бъде изчислена.

Средната аритметична стойност е една от мерките за централна склонност, широко използвана в математиката и статистическите изчисления. Много е лесно да се намери средното аритметично за няколко стойности, но всеки проблем има свои собствени нюанси, които трябва да знаете, за да извършите правилни изчисления.

Какво е средно аритметично

Средната аритметична стойност определя средната стойност за всеки начален масив от числа. С други думи, от определен набор от числа се избира универсална за всички елементи стойност, чието математическо сравнение с всички елементи е приблизително еднакво. Средно аритметичното се използва за предпочитане при изготвянето на финансови и статистически отчети или за изчисляване на количествените резултати от подобни умения.

Как да намерим средното аритметично

Намирането на средната аритметична стойност за масив от числа трябва да започне с определяне на алгебричната сума на тези стойности. Например, ако масивът съдържа числата 23, 43, 10, 74 и 34, тогава тяхната алгебрична сума ще бъде равна на 184. При писане средноаритметичното се означава с буквата? (mu) или x (x с линия). След това алгебричната сума трябва да бъде разделена на броя на числата в масива. В разглеждания пример имаше пет числа, следователно средното аритметично ще бъде равно на 184/5 и ще бъде 36,8.

Характеристики на работа с отрицателни числа

Ако масивът съдържа отрицателни числа, тогава средноаритметичната стойност се намира с помощта на подобен алгоритъм. Разликата съществува само при изчисляване в програмната среда или ако проблемът съдържа допълнителни данни. В тези случаи намирането на средноаритметичното на числа с различни знаци се свежда до три стъпки: 1. Намиране на универсалната средна аритметична по стандартния метод;2. Намиране на средно аритметично на отрицателни числа.3. Изчисляване на средно аритметично на положителни числа Резултатите от всяко действие се записват разделени със запетаи.

Естествени и десетични дроби

Ако масив от числа е представен с десетични дроби, решението се извършва по метода за изчисляване на средноаритметичното на цели числа, но намаляването на общата сума се извършва в съответствие с изискванията на задачата за точността на резултата. работейки с естествени дроби, те трябва да бъдат сведени до общ знаменател, този, който е умножен по броя на числата в масива. Числителят на резултата ще бъде сумата от дадените числители на началните дробни елементи.

Средната геометрична стойност на числата зависи не само от абсолютната стойност на самите числа, но и от техния брой. Невъзможно е да се объркат средното геометрично и средното аритметично на числата, тъй като те се намират с помощта на различни методологии. В този случай средното геометрично е неизменно по-малко или равно на средното аритметично.

Ще имаш нужда

• Инженерен калкулатор.

Инструкции

1. Помислете, че в общия случай средното геометрично на числата се намира чрез умножаване на тези числа и вземане от тях на корена на степента, която съответства на броя на числата. Например, ако трябва да намерите средното геометрично на пет числа, тогава ще трябва да извлечете петия корен от продукта.

2. За да намерите средното геометрично на 2 числа, използвайте основното правило. Намерете техния продукт, след това извадете корен квадратен от числото две, което съответства на степента на корена. Да речем, за да намерите средното геометрично на числата 16 и 4, намерете произведението им 16 4 = 64. От полученото число извадете корен квадратен?64=8. Това ще бъде желаната стойност. Моля, обърнете внимание, че средноаритметичната стойност на тези 2 числа е по-голяма и равна на 10. Ако коренът не е извлечен изцяло, закръглете общата сума в необходимия ред.

3. За да намерите средното геометрично на повече от 2 числа, използвайте и основното правило. За да направите това, намерете произведението на всички числа, за които трябва да намерите средната геометрична стойност. От получения продукт извлечете корена на степента, равна на броя на числата. Да речем, за да намерите средното геометрично на числата 2, 4 и 64, намерете произведението им. 2 4 64=512. Тъй като е необходимо да се намери резултатът от средното геометрично на 3 числа, извлечете третия корен от продукта. Трудно е да направите това устно, затова използвайте инженерен калкулатор. За тази цел има бутон “x^y”. Наберете номер 512, натиснете бутона “x^y”, след това наберете номер 3 и натиснете бутона “1/x”, за да намерите стойността 1/3, натиснете бутона “=”. Получаваме резултата от повишаване на 512 на степен 1/3, което съответства на корен трети. Вземете 512^1/3=8. Това е средното геометрично на числата 2,4 и 64.

4. С помощта на инженерен калкулатор можете да намерите средното геометрично по друг метод. Намерете бутона за регистрация на клавиатурата. След това вземете логаритъм за всички числа, намерете тяхната сума и я разделете на броя на числата. Вземете антилогаритъм от полученото число. Това ще бъде средното геометрично на числата. Да кажем, че за да намерите средното геометрично на същите числа 2, 4 и 64, изпълнете набор от операции на калкулатора. Наберете номер 2, след това натиснете бутона log, натиснете бутона “+”, наберете номер 4 и натиснете отново log и “+”, наберете 64, натиснете log и “=”. Резултатът ще бъде число, равно на сумата от десетичните логаритми на числата 2, 4 и 64. Разделете полученото число на 3, тъй като това е броят на числата, по които се търси средното геометрично. От общата сума вземете антилогаритъм, като превключите бутона за регистриране и използвате същия лог ключ. Резултатът ще бъде числото 8, това е желаната средна геометрична стойност.

Забележка!
Средната стойност не може да бъде по-голяма от най-голямото число в набора и по-малка от най-малкото.

Полезен съвет
В математическата статистика средната стойност на дадено количество се нарича математическо очакване.

Дисциплина: Статистика

Вариант №2

Средни стойности, използвани в статистиката

Въведение…………………………………………………………………………………….3

Теоретична задача

Средна стойност в статистиката, нейната същност и условия за прилагане.

1.1. Същността на средния размер и условията на използване………….4

1.2. Видове средни стойности…………………………………………………………8

Практическа задача

Задача 1,2,3……………………………………………………………………………………14

Заключение…………………………………………………………………………………….21

Списък с референции…………………………………………………………...23

Въведение

Този тест се състои от две части – теоретична и практическа. В теоретичната част ще бъде разгледана подробно такава важна статистическа категория като средната стойност, за да се идентифицират нейната същност и условия на приложение, както и да се подчертаят видовете средни стойности и методите за тяхното изчисляване.

Статистиката, както знаем, изучава масивни социално-икономически явления. Всяко от тези явления може да има различен количествен израз на една и съща характеристика. Например заплати на работници от една и съща професия или пазарни цени за същия продукт и др. Средните стойности характеризират качествените показатели на търговската дейност: разходи за дистрибуция, печалба, рентабилност и др.

За да изследва всяка популация според различни (количествено променящи се) характеристики, статистиката използва средни стойности.

Средно голямо образувание

Средната стойност е обобщаваща количествена характеристика на набор от сходни явления, основана на една варираща характеристика. В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни стойности.

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя представя стойността на дадена характеристика в цялата съвкупност с едно число, независимо от нейните количествени различия в отделните единици на съвкупността, и изразява това, което е общо за всички единици на изследваната съвкупност. . По този начин, чрез характеристиките на единица от съвкупността, тя характеризира цялата популация като цяло.

Средните стойности са свързани със закона за големите числа. Същността на тази връзка е, че по време на осредняването случайните отклонения на отделните стойности, дължащи се на действието на закона за големите числа, се компенсират взаимно и основната тенденция на развитие, необходимост и модел се разкриват в средната стойност. Средните стойности ви позволяват да сравнявате показатели, свързани с популации с различен брой единици.

В съвременните условия на развитие на пазарните отношения в икономиката средните стойности служат като инструмент за изследване на обективните закономерности на социално-икономическите явления. В икономическия анализ обаче не можете да се ограничите само до средни показатели, тъй като общите благоприятни средни стойности могат да скрият големи сериозни недостатъци в дейността на отделните икономически субекти и кълновете на нови, прогресивни. Например, разпределението на населението по доходи позволява да се идентифицира формирането на нови социални групи. Следователно, наред със средните статистически данни, е необходимо да се вземат предвид характеристиките на отделните единици от съвкупността.

Средната стойност е резултат от всички фактори, влияещи върху изследваното явление. Тоест, когато се изчисляват средните стойности, влиянието на случайни (смущения, индивидуални) фактори се отменя и по този начин е възможно да се определи моделът, присъщ на изследваното явление. Адолф Кетле подчертава, че значението на метода на средните е възможността за преход от индивидуалното към общото, от случайното към закономерното, а наличието на средни е категория на обективната реалност.

Статистиката изучава масови явления и процеси. Всяко от тези явления има както общи за целия набор, така и специални, индивидуални свойства. Разликата между отделните явления се нарича вариация. Друго свойство на масовите явления е присъщото им сходство на характеристиките на отделните явления. И така, взаимодействието на елементите на едно множество води до ограничаване на вариацията на поне част от техните свойства. Тази тенденция обективно съществува. Именно в неговата обективност се крие причината за най-широкото използване на средните стойности на практика и на теория.

Средната стойност в статистиката е общ показател, който характеризира типичното ниво на явление в конкретни условия на място и време, като отразява стойността на вариращ признак за единица от качествено хомогенна съвкупност.

В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни стойности.

Използвайки метода на средните стойности, статистиката решава много проблеми.

Основното значение на средните се крие в тяхната обобщаваща функция, тоест замяната на много различни индивидуални стойности на характеристика със средна стойност, която характеризира целия набор от явления.

Ако средната стойност обобщава качествено хомогенни стойности на характеристика, тогава тя е типична характеристика на характеристиката в дадена популация.

Въпреки това е неправилно да се намали ролята на средните стойности само до характеризиране на типични стойности на характеристики в популации, хомогенни за дадена характеристика. На практика много по-често съвременната статистика използва средни стойности, които обобщават ясно хомогенни явления.

Средният национален доход на глава от населението, средният добив на зърно в цялата страна, средното потребление на различни хранителни продукти - това са характеристиките на държавата като единна икономическа система, това са така наречените системни средни стойности.

Системните средни стойности могат да характеризират както пространствени или обектни системи, които съществуват едновременно (държава, индустрия, регион, планета Земя и т.н.), така и динамични системи, разширени във времето (година, десетилетие, сезон и т.н.).

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя отразява това, което е общо за всички единици от изследваната съвкупност. Стойностите на атрибутите на отделните единици от популацията се колебаят в една или друга посока под влияние на много фактори, сред които могат да бъдат както основни, така и случайни. Например цената на акциите на една корпорация като цяло се определя от нейното финансово състояние. В същото време, в определени дни и на определени борси, тези акции, поради преобладаващите обстоятелства, могат да бъдат продадени на по-висок или по-нисък курс. Същността на средната стойност се състои в това, че тя отменя отклоненията на характерните стойности на отделните единици от съвкупността, причинени от действието на случайни фактори, и отчита промените, причинени от действието на основните фактори. Това позволява средното да отразява типичното ниво на чертата и да се абстрахира от индивидуалните характеристики, присъщи на отделните единици.

Изчисляването на средната стойност е една от най-разпространените техники за обобщение; средният показател отразява общото (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време пренебрегва различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост.

Средната е обобщена характеристика на закономерностите на процеса в условията, в които протича.

Всяка средна стойност характеризира изследваната популация според всяка една характеристика, но за да се характеризира всяка популация, да се опишат нейните типични характеристики и качествени характеристики, е необходима система от средни показатели. Следователно в практиката на вътрешната статистика за изучаване на социално-икономическите явления като правило се изчислява система от средни показатели. Така например показателят за средната работна заплата се оценява заедно с показателите за средна производителност, съотношението капитал-труд и съотношението енергия-труд, степента на механизация и автоматизация на труда и др.

Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател. Следователно за конкретен показател, използван в социално-икономическия анализ, може да се изчисли само една истинска средна стойност въз основа на научния метод на изчисление.

Средната стойност е един от най-важните обобщаващи статистически показатели, характеризиращи съвкупност от сходни явления по някакъв количествено вариращ признак. Средните стойности в статистиката са общи показатели, числа, изразяващи типичните характерни измерения на социалните явления по един количествено вариращ признак.

Видове средни стойности

Видовете средни стойности се различават предимно по това какво свойство, какъв параметър от първоначалната варираща маса от отделни стойности на атрибута трябва да се запази непроменен.

Средноаритметично

Средната аритметична стойност е средната стойност на характеристика, при изчисляването на която общият обем на характеристиката в съвкупността остава непроменен. В противен случай можем да кажем, че средноаритметичното е средният член. При изчисляването му общият обем на атрибута се разпределя мислено поравно между всички единици на съвкупността.

Средната аритметична стойност се използва, ако са известни стойностите на усреднената характеристика (x) и броят на единиците от съвкупността с определена характерна стойност (f).

Средната аритметична стойност може да бъде проста или претеглена.

Средно просто аритметично

Simple се използва, ако всяка стойност на атрибут x се среща веднъж, т.е. за всяко x стойността на атрибута е f=1, или ако изходните данни не са подредени и не е известно колко единици имат определени стойности на атрибут.

Формулата за средната аритметична е проста:

,

Характеристиките на единиците на статистическите агрегати са различни по своето значение, например заплатите на работниците от една и съща професия в предприятието не са еднакви за един и същи период от време, пазарните цени за едни и същи продукти, добивите на култури в областта ферми и др. Следователно, за да се определи стойността на характеристика, която е характерна за цялата съвкупност от изследвани единици, се изчисляват средните стойности.
средна стойност – това е обобщаваща характеристика на набор от индивидуални стойности на някаква количествена характеристика.

Съвкупността, изследвана на количествена основа, се състои от индивидуални стойности; те се влияят както от общи причини, така и от индивидуални условия. В средната стойност отклоненията, характерни за отделните стойности, се елиминират. Средната стойност, като функция на набор от индивидуални стойности, представлява цялата съвкупност с една стойност и отразява това, което е общо за всичките й единици.

Средната стойност, изчислена за съвкупности, състоящи се от качествено хомогенни единици, се нарича типично средно. Например, можете да изчислите средната месечна заплата на служител от определена професионална група (миньор, лекар, библиотекар). Разбира се, нивата на месечните заплати на миньорите, поради разликите в тяхната квалификация, трудов стаж, отработено време на месец и много други фактори, се различават помежду си и от нивото на средните заплати. Средното ниво обаче отразява основните фактори, които влияят върху нивото на заплатите, а разликите, които възникват поради индивидуалните характеристики на служителя, се елиминират. Средната заплата отразява типичното ниво на възнаграждение за даден вид работници. Получаването на типична средна стойност трябва да бъде предшествано от анализ на това колко качествено хомогенна е дадената популация. Ако съвкупността се състои от отделни части, тя трябва да бъде разделена на типични групи (средна температура в болницата).

Наричат ​​се средни стойности, използвани като характеристики за хетерогенни популации системни средни стойности. Например средната стойност на брутния вътрешен продукт (БВП) на глава от населението, средната стойност на потреблението на различни групи стоки на човек и други подобни стойности, които представляват общата характеристика на държавата като единна икономическа система.

Средната стойност трябва да се изчисли за популации, състоящи се от достатъчно голям брой единици. Спазването на това условие е необходимо, за да влезе в сила законът за големите числа, в резултат на което случайните отклонения на отделните стойности от общата тенденция взаимно се елиминират.

Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Изборът на вида средна стойност се определя от икономическото съдържание на даден показател и изходните данни. Всяка средна стойност обаче трябва да бъде изчислена така, че когато замества всеки вариант на осреднената характеристика, крайната, обобщаваща или, както обикновено се нарича, не се променя. определящ индикатор, който е свързан с осреднения показател. Например, при замяна на действителните скорости на отделни участъци от маршрута с тяхната средна скорост, общото разстояние, изминато от превозното средство за същото време, не трябва да се променя; при замяна на действителните заплати на отделните служители на предприятието със средната заплата, фондът за заплати не трябва да се променя. Следователно във всеки конкретен случай, в зависимост от характера на наличните данни, има само една истинска средна стойност на показателя, която е адекватна на свойствата и същността на изследваното социално-икономическо явление.
Най-често използваните са средно аритметично, средно хармонично, средно геометрично, средно квадратично и средно кубично.
Изброените средни стойности принадлежат към класа успокоенсредни стойности и се комбинират по общата формула:
,
където е средната стойност на изследваната характеристика;
m – индекс на средна степен;
– текуща стойност (вариант) на характеристиката, която се осреднява;
n – брой признаци.
В зависимост от стойността на експонента m се разграничават следните видове средни мощности:
когато m = -1 – хармонична средна;
при m = 0 – средно геометрично;
за m = 1 – средно аритметично;
за m = 2 – средноквадратично;
при m = 3 – среден куб.
Когато се използват същите начални данни, колкото по-голям е показателят m в горната формула, толкова по-голяма е средната стойност:
.
Това свойство на степенните средни да се увеличават с увеличаване на експонента на дефиниращата функция се нарича правилото на мнозинството от средните стойности.
Всяка от отбелязаните средни стойности може да приеме две форми: простоИ претеглени.
Проста средна формаизползва се, когато средната стойност се изчислява от първични (негрупирани) данни. Претеглена форма– при изчисляване на средната стойност въз основа на вторични (групирани) данни.

Средноаритметично

Средната аритметична стойност се използва, когато обемът на популацията е сбор от всички индивидуални стойности на различна характеристика. Трябва да се отбележи, че ако типът на средната стойност не е посочен, се приема средното аритметично. Логическата му формула изглежда така:

Средно просто аритметичноизчислено въз основа на негрупирани данни по формулата:
или ,
къде са индивидуалните стойности на характеристиката;
j е поредният номер на единицата за наблюдение, която се характеризира със стойността ;
N – брой единици на наблюдение (обем на съвкупността).
Пример.В лекцията „Обобщение и групиране на статистически данни” бяха разгледани резултатите от наблюдението на трудовия опит на екип от 10 души. Нека изчислим средния трудов стаж на работниците от екипа. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Използвайки простата формула за средно аритметично, можем също да изчислим средни стойности в хронологични серии, ако интервалите от време, за които са представени характерните стойности, са равни.
Пример.Обемът на продадените продукти за първото тримесечие възлиза на 47 den. единици, за втория 54, за третия 65 и за четвъртия 58 ден. единици Средният тримесечен оборот е (47+54+65+58)/4 = 56 den. единици
Ако моментните показатели са дадени в хронологична серия, тогава при изчисляване на средната стойност те се заменят с полусуми от стойностите в началото и края на периода.
Ако има повече от два момента и интервалите между тях са равни, тогава средната стойност се изчислява по формулата за средна хронологична

,
където n е броят на времевите точки
В случай, че данните са групирани по характерни стойности (т.е. построена е дискретна вариационна серия на разпределение) с средно аритметично претегленоизчислен с помощта на честоти или честоти на наблюдения на специфични стойности на характеристиката, чийто брой (k) е значително по-малък от броя на наблюденията (N).
,
,
където k е броят на групите от вариационната серия,
i – номер на група от вариационната серия.
Тъй като , a , получаваме формулите, използвани за практически изчисления:
И
Пример.Нека изчислим средния стаж на работните екипи в групиран ред.
а) използване на честоти:

б) използване на честоти:

В случай, че данните са групирани по интервали , т.е. са представени под формата на серии на интервално разпределение; при изчисляване на средната аритметична стойност средата на интервала се приема като стойност на атрибута въз основа на допускането за равномерно разпределение на единиците на съвкупността в даден интервал. Изчислението се извършва по формулите:
И
където е средата на интервала: ,
където и са долната и горната граница на интервалите (при условие, че горната граница на даден интервал съвпада с долната граница на следващия интервал).

Пример.Нека изчислим средноаритметичната стойност на интервалната вариационна серия, конструирана въз основа на резултатите от изследване на годишните заплати на 30 работници (виж лекцията „Обобщение и групиране на статистически данни“).
Таблица 1 – Разпределение на интервалните вариационни серии.

Интервали, UAH	Честота, хора	Честота,	Средата на интервала
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH или UAH
Аритметичните средни стойности, изчислени въз основа на изходни данни и серии от интервални вариации, може да не съвпадат поради неравномерното разпределение на стойностите на атрибутите в рамките на интервалите. В този случай, за по-точно изчисляване на среднопретеглената аритметична стойност, трябва да се използват не средните стойности на интервалите, а простите аритметични средни стойности, изчислени за всяка група ( групови средни стойности). Извиква се средната стойност, изчислена от групови средни с помощта на формула за претеглено изчисление обща авария.
Средната аритметична има редица свойства.
1. Сумата на отклоненията от средния вариант е нула:
.
2. Ако всички стойности на опцията се увеличат или намалят със сумата A, тогава средната стойност се увеличава или намалява със същата сума A:

3. Ако всяка опция се увеличи или намали с B пъти, тогава средната стойност също ще се увеличи или намали със същия брой пъти:
или
4. Сумата от произведенията на опцията по честотите е равна на произведението на средната стойност по сумата от честотите:

5. Ако всички честоти се разделят или умножат по произволно число, тогава средното аритметично няма да се промени:

6) ако във всички интервали честотите са равни една на друга, тогава среднопретеглената аритметична стойност е равна на средната проста аритметична стойност:
,
където k е броят на групите от вариационната серия.

Използването на свойствата на средната стойност ви позволява да опростите нейното изчисление.
Нека приемем, че всички опции (x) първо са намалени с едно и също число A и след това намалени с коефициент B. Най-голямо опростяване се постига, когато стойността на средата на интервала с най-висока честота е избрана като A, а стойността на интервала (за серии с еднакви интервали) е избрана като B. Количеството А се нарича произход, така че този метод за изчисляване на средната стойност се нарича начин b ом еталон от условна нулаили начин на моменти.
След такава трансформация получаваме нов вариационен ред на разпределение, чиито варианти са равни на . Тяхното средно аритметично, т.нар момент на първия ред,се изразява с формулата и според второто и третото свойство средноаритметичното е равно на средното от оригиналната версия, намалено първо с A, а след това с B пъти, т.е.
За получаване реално средно(средно за оригиналната серия) трябва да умножите момента от първи ред по B и да добавите A:

Изчисляването на средноаритметичната стойност по метода на моментите е илюстрирано с данните в табл. 2.
Таблица 2 – Разпределение на цеховите работници по трудов стаж

Стаж на служителите, години	Количество работници	Средата на интервала
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Намиране на първия момент на поръчка . След това, като знаем, че A = 17,5 и B = 5, изчисляваме средния трудов стаж на работниците в цеха:
години

Средно хармонично
Както е показано по-горе, средноаритметичната стойност се използва за изчисляване на средната стойност на дадена характеристика в случаите, когато са известни нейните варианти x и техните честоти f.
Ако статистическата информация не съдържа честоти f за отделните варианти x на съвкупността, а е представена като техен продукт, се прилага формулата претеглена хармонична средна. За да изчислим средната стойност, нека означим където . Замествайки тези изрази във формулата за средноаритметично претеглено, получаваме формулата за хармонично претеглено средно:
,
където е обемът (теглото) на стойностите на атрибута на индикатора в интервала с номер i (i=1,2, …, k).

По този начин хармоничната средна се използва в случаите, когато не самите опции подлежат на сумиране, а техните реципрочни стойности: .
В случаите, когато тежестта на всяка опция е равна на единица, т.е. индивидуалните стойности на обратната характеристика се появяват веднъж, приложени означава хармоничен прост:
,
където са отделни варианти на обратната характеристика, срещащи се еднократно;
N – числова опция.
Ако има хармонични средни стойности за две части от популация, тогава общата средна стойност за цялата популация се изчислява по формулата:

и се нарича претеглено хармонично средно на груповите средни.

Пример.По време на търговията на валутната борса в първия час на работа бяха сключени три сделки. Данните за размера на продажбите на гривна и обменния курс на гривна спрямо щатския долар са дадени в таблица. 3 (колони 2 и 3). Определете средния обменен курс на гривната спрямо щатския долар за първия час на търговия.
Таблица 3 – Данни за хода на търговията на валутната борса

Средният обменен курс на долара се определя от съотношението на количеството гривни, продадени по време на всички транзакции, към количеството долари, придобити в резултат на същите транзакции. Крайната сума на продажбата на гривна е известна от колона 2 на таблицата, а броят на доларите, закупени във всяка транзакция, се определя чрез разделяне на сумата на продажбата на гривна на нейния обменен курс (колона 4). Общо 22 милиона долара бяха закупени по време на три транзакции. Това означава, че средният обменен курс на гривна за един долар е бил
.
Получената стойност е реална, т.к замяната му с действителните обменни курсове на гривна в транзакциите няма да промени крайната сума на продажбите на гривна, която служи като определящ индикатор: милиона UAH
Ако за изчислението се използва средноаритметичната стойност, т.е. гривна, след това по обменния курс за закупуване на 22 милиона долара. ще бъдат необходими 110,66 милиона UAH, което не е вярно.

Средна геометрична
Средната геометрична се използва за анализ на динамиката на явленията и позволява да се определи средният коефициент на растеж. При изчисляване на средното геометрично, отделните стойности на дадена характеристика са относителни показатели за динамика, изградени под формата на верижни стойности, като съотношение на всяко ниво към предишното.
Простата средна геометрична стойност се изчислява по формулата:
,
къде е знакът на продукта,
N – брой осреднени стойности.
Пример.Броят на регистрираните престъпления за 4 години се е увеличил 1,57 пъти, в т. ч. за 1-ва – 1,08 пъти, за 2-ра – 1,1 пъти, за 3-та – 1,18 и за 4-та – 1,12 пъти. Тогава средногодишният темп на нарастване на броя на престъпленията е: , т.е. броят на регистрираните престъпления нараства средногодишно с 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

За да изчислим среднопретегления квадрат, определяме и въвеждаме в таблицата и . Тогава средното отклонение на дължината на продуктите от дадената норма е равно на:

Средната аритметична би била неподходяща в този случай, т.к в резултат ще получим нулево отклонение.
Използването на средния квадрат ще бъде обсъдено допълнително по отношение на вариацията.

5.1. Понятието средно

Средна стойност -Това е общ показател, характеризиращ типичното ниво на явлението. Той изразява стойността на дадена характеристика за единица от съвкупността.

Средната стойност винаги обобщава количествената вариация на даден признак, т.е. в средните стойности се елиминират индивидуалните различия между единиците в популацията, дължащи се на случайни обстоятелства. За разлика от средната, абсолютната стойност, характеризираща нивото на характеристика на отделна единица от популация, не позволява да се сравняват стойностите на характеристика между единици, принадлежащи към различни популации. Така че, ако трябва да сравните нивата на възнаграждение на работниците в две предприятия, тогава не можете да сравните двама служители от различни предприятия на тази основа. Възнаграждението на избраните за сравнение работници може да не е типично за тези предприятия. Ако сравним размера на фонда за заплати в разглежданите предприятия, броят на заетите не се взема предвид и следователно е невъзможно да се определи къде нивото на заплатите е по-високо. В крайна сметка могат да се сравняват само средни показатели, т.е. Колко печели средно един служител във всяко предприятие? Следователно е необходимо да се изчисли средната стойност като обобщаваща характеристика на съвкупността.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средният показател отрича общото (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време игнорира различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост. При изчисляване на средните стойности, поради действието на закона за големите числа, случайността се компенсира и балансира, така че е възможно да се абстрахираме от маловажните характеристики на явлението, от количествените стойности на характеристиката във всеки конкретен случай. . Способността да се абстрахират от случайността на индивидуалните стойности и колебания е научната стойност на средните като обобщаващи характеристики на агрегатите.

За да бъде средната стойност наистина представителна, тя трябва да бъде изчислена, като се вземат предвид определени принципи.

Нека се спрем на някои общи принципи за използване на средни стойности.
1. Средната стойност трябва да се определи за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици.
2. Средната стойност трябва да се изчисли за съвкупност, състояща се от достатъчно голям брой единици.
3. Средната стойност трябва да се изчисли за популация, чиито единици са в нормално естествено състояние.
4. Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател.

5.2. Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Нека сега разгледаме видовете средни стойности, характеристиките на тяхното изчисляване и областите на приложение. Средните стойности са разделени на два големи класа: средни мощности, средни структурни стойности.

ДА СЕ средна мощностТе включват най-известните и често използвани типове, като средно геометрично, средно аритметично и средно квадратично.

Като структурни среднисе вземат предвид модата и медианата.

Нека се съсредоточим върху средните мощности. Средните мощности, в зависимост от представянето на изходните данни, могат да бъдат прости или претеглени. Обикновено средноИзчислява се въз основа на негрупирани данни и има следния общ вид:

където X i е вариантът (стойността) на осреднената характеристика;

n – числова опция.

Среднопретеглена стойностсе изчислява въз основа на групирани данни и има общ вид

,

където X i е вариантът (стойността) на осреднената характеристика или средната стойност на интервала, в който е измерен вариантът;
m – индекс на средна степен;
f i – честота, показваща колко пъти се среща i-e стойността на усреднената характеристика.

Нека дадем като пример изчисляването на средната възраст на учениците в група от 20 души:

Ние изчисляваме средната възраст, като използваме простата средна формула:

Нека групираме изходните данни. Получаваме следната серия за разпространение:

В резултат на групирането получаваме нов показател - честота, показващ броя на учениците на възраст X години. Следователно средната възраст на учениците в групата ще бъде изчислена по формулата за среднопретеглена стойност:

Общите формули за изчисляване на средните мощности имат показател (m). В зависимост от стойността, която приема, се разграничават следните видове средни мощности:
средна хармонична стойност, ако m = -1;
средно геометрично, ако m –> 0;
средно аритметично, ако m = 1;
средна квадратична стойност, ако m = 2;
среден кубичен, ако m = 3.

Формулите за средните мощности са дадени в табл. 4.4.

Ако изчислите всички видове средни стойности за едни и същи първоначални данни, тогава техните стойности ще се окажат различни. Тук се прилага правилото за мнозинството от средните стойности: с нарастването на показателя m, съответната средна стойност също се увеличава:

В статистическата практика средните аритметични и хармоничните средни претеглени се използват по-често от другите видове средни претеглени.

Таблица 5.1

Видове силови средства

Вид власт средно аритметично	Индекс степен (m)	Формула за изчисление
		просто	Претеглени
Хармоничен	-1
Геометричен	0
Аритметика	1
Квадратичен	2
Кубичен	3

Средната хармонична има по-сложна структура от средната аритметична. Хармоничната средна стойност се използва за изчисления, когато не единиците на съвкупността - носителите на характеристиката - се използват като тегла, а произведението на тези единици по стойностите на характеристиката (т.е. m = Xf). Към средната хармонична проста трябва да се прибягва в случаите на определяне например на средната цена на труд, време, материали за единица продукция, за една част за две (три, четири и т.н.) предприятия, работници, ангажирани в производството от същия тип продукт, същата част, продукт.

Основното изискване към формулата за изчисляване на средната стойност е, че всички етапи на изчислението имат реална смислена обосновка; получената средна стойност трябва да замени индивидуалните стойности на атрибута за всеки обект, без да нарушава връзката между индивидуалните и обобщените индикатори. С други думи, средната стойност трябва да бъде изчислена по такъв начин, че когато всяка отделна стойност на осреднения показател се замени с неговата средна стойност, някакъв краен обобщен показател, свързан по един или друг начин с осреднената стойност, остава непроменен. Това общо се нарича определянетъй като естеството на връзката му с индивидуалните стойности определя специфичната формула за изчисляване на средната стойност. Нека демонстрираме това правило, използвайки примера на средното геометрично.

Формула за средна геометрична

използва се най-често при изчисляване на средната стойност въз основа на индивидуалната относителна динамика.

Средната геометрична се използва, ако е дадена последователност от верижна относителна динамика, показваща например увеличение на производството спрямо нивото от предходната година: i 1, i 2, i 3,..., i n. Очевидно обемът на производството през последната година се определя от първоначалното му ниво (q 0) и последващото увеличение през годините:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Вземайки q n като определящ показател и заменяйки отделните стойности на динамичните показатели със средни, достигаме до връзката

Оттук

5.3. Структурни средни

Специален тип средни стойности - структурни средни - се използва за изследване на вътрешната структура на серията разпределение на стойностите на атрибутите, както и за оценка на средната стойност (тип мощност), ако според наличните статистически данни нейната не може да се извърши изчисление (например, ако в разглеждания пример няма данни както за обема на производството, така и за размера на разходите по група предприятия).

Индикаторите най-често се използват като структурни средни мода –най-често повтарящата се стойност на атрибута – и медиани –стойността на характеристика, която разделя подредената последователност от нейните стойности на две равни части. В резултат на това за половината от единиците в съвкупността стойността на признака не надвишава медианното ниво, а за другата половина е не по-малко от него.

Ако изследваната характеристика има дискретни стойности, тогава няма особени затруднения при изчисляването на модата и медианата. Ако данните за стойностите на атрибута X са представени под формата на подредени интервали на неговата промяна (серия от интервали), изчисляването на режима и медианата става малко по-сложно. Тъй като средната стойност разделя цялата генерална съвкупност на две равни части, тя завършва в един от интервалите на характеристиката X. Използвайки интерполация, стойността на медианата се намира в този среден интервал:

,

където X Me е долната граница на средния интервал;
h Me – неговата стойност;
(Sum m)/2 – половината от общия брой наблюдения или половината от обема на показателя, който се използва като тежест във формулите за изчисляване на средната стойност (в абсолютно или относително изражение);
S Me-1 – сборът от наблюдения (или обемът на тегловния атрибут), натрупан преди началото на медианния интервал;
m Me – броят на наблюденията или обемът на тегловната характеристика в медианния интервал (също в абсолютно или относително изражение).

В нашия пример могат да се получат дори три средни стойности - въз основа на броя на предприятията, обема на производството и общите производствени разходи:

По този начин в половината от предприятията разходите за единица продукция надвишават 125,19 хил. Рубли, половината от общия обем продукти се произвеждат с цена на продукт над 124,79 хил. Рубли. и 50% от общите разходи се формират, когато цената на един продукт е над 125,07 хиляди рубли. Имайте предвид също, че има известна тенденция към увеличаване на разходите, тъй като Me 2 = 124,79 хиляди рубли, а средното ниво е 123,15 хиляди рубли.

При изчисляване на модалната стойност на характеристика въз основа на данните от интервална серия е необходимо да се обърне внимание на факта, че интервалите са идентични, тъй като индикаторът за повторяемост на стойностите на характеристиката X зависи от това. интервална серия с равни интервали, величината на модата се определя като

където X Mo е долната стойност на модалния интервал;
m Mo – брой наблюдения или обем на тегловната характеристика в модалния интервал (в абсолютно или относително изражение);
m Mo -1 – същото за интервала, предхождащ модалния;
m Mo+1 – същото за интервала, следващ модалния;
h – стойността на интервала на изменение на характеристиката в групи.

За нашия пример можем да изчислим три модални стойности въз основа на характеристиките на броя на предприятията, обема на продуктите и размера на разходите. И в трите случая модалният интервал е един и същ, тъй като за същия интервал броят на предприятията, обемът на производството и общият размер на производствените разходи са най-големи:

Така най-често има предприятия с ниво на разходите от 126,75 хиляди рубли, най-често се произвеждат продукти с ниво на разходи от 126,69 хиляди рубли, а най-често производствените разходи се обясняват с ниво на разходите от 123,73 хиляди рубли.

5.4. Вариационни индикатори

Конкретните условия, в които се намира всеки от изследваните обекти, както и особеностите на собственото им развитие (социално, икономическо и др.) се изразяват чрез съответните числени нива на статистически показатели. По този начин, вариация,тези. несъответствието между нивата на един и същи показател в различни обекти има обективен характер и помага да се разбере същността на изследваното явление.

Има няколко метода, използвани за измерване на вариациите в статистиката.

Най-простият е да се изчисли индикаторът диапазон на вариация H като разликата между максималните (X max) и минималните (X min) наблюдавани стойности на характеристиката:

H=X max - X min.

Диапазонът на вариация обаче показва само екстремните стойности на признака. Тук не се взема предвид повторяемостта на междинните стойности.

По-строгите характеристики са индикатори за променливост спрямо средното ниво на атрибута. Най-простият индикатор от този тип е средно линейно отклонение L като средно аритметично на абсолютните отклонения на характеристика от нейното средно ниво:

Когато отделните стойности на X са повторими, използвайте формулата за претеглена средна аритметична стойност:

(Припомнете си, че алгебричната сума на отклоненията от средното ниво е нула.)

Показателят за средно линейно отклонение се използва широко в практиката. С негова помощ се анализират например съставът на работниците, ритъмът на производство, равномерността на доставките на материали и се разработват системи за материални стимули. Но, за съжаление, този индикатор усложнява вероятностните изчисления и усложнява използването на методите на математическата статистика. Следователно в статистическите научни изследвания индикаторът, който най-често се използва за измерване на вариацията, е вариации.

Дисперсията на характеристиката (s 2) се определя въз основа на квадратичната средна мощност:

.

Индикаторът s равен на се нарича стандартно отклонение.

В общата теория на статистиката индикаторът на дисперсията е оценка на едноименния индикатор на теорията на вероятностите и (като сума от квадратни отклонения) оценка на дисперсията в математическата статистика, което прави възможно използването на разпоредбите на тези теоретични дисциплини за анализ на социално-икономическите процеси.

Ако вариацията се оценява от малък брой наблюдения, взети от неограничена популация, тогава средната стойност на характеристиката се определя с известна грешка. Изчислената стойност на дисперсията се оказва изместена към намаление. За да се получи безпристрастна оценка, дисперсията на извадката, получена с помощта на предварително дадените формули, трябва да бъде умножена по стойността n / (n - 1). В резултат на това с малък брой наблюдения (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Обикновено вече при n > (15÷20) несъответствието между пристрастните и непредубедените оценки става незначително. По същата причина отклонението обикновено не се взема предвид във формулата за добавяне на отклонения.

Ако се вземат няколко проби от генералната съвкупност и всеки път се определя средната стойност на дадена характеристика, тогава възниква проблемът с оценката на променливостта на средните стойности. Приблизителна дисперсия средна стойноствъзможно е въз основа само на едно примерно наблюдение, използвайки формулата

,

където n е размерът на извадката; s 2 – дисперсия на характеристиката, изчислена от извадковите данни.

величина е наречен средна извадкова грешкаи е характеристика на отклонението на извадковата средна стойност на атрибут X от истинската му средна стойност. Индикаторът за средна грешка се използва за оценка на надеждността на резултатите от извадковото наблюдение.

Показатели за относителна дисперсия.За да се характеризира мярката за променливост на изследваната характеристика, показателите за променливост се изчисляват в относителни стойности. Те позволяват да се сравни естеството на дисперсията в различни разпределения (различни единици на наблюдение на една и съща характеристика в две популации, с различни средни стойности, когато се сравняват популации с различни имена). Изчисляването на показателите на относителната мярка на дисперсия се извършва като съотношението на показателя на абсолютната дисперсия към средноаритметичното, умножено по 100%.

1. Коефициент на трептенеотразява относителната флуктуация на екстремните стойности на характеристиката около средната

.

2. Относителното линейно изключване характеризира съотношението на средната стойност на знака на абсолютните отклонения от средната стойност

.

3. Коефициент на вариация:

е най-честата мярка за променливост, използвана за оценка на типичността на средните стойности.

В статистиката популациите с коефициент на вариация над 30–35% се считат за хетерогенни.

Този метод за оценка на вариацията също има значителен недостатък. Наистина, нека, например, първоначалната популация от работници със среден опит от 15 години, със стандартно отклонение от s = 10 години, „остарява“ с още 15 години. Сега = 30 години, а стандартното отклонение все още е 10. Предишната хетерогенна популация (10/15 × 100 = 66,7%), като по този начин се оказва доста хомогенен във времето (10/30 × 100 = 33,3%).

Боярски А.Я. Теоретични изследвания по статистика: сб. Научен Трудов – М.: Статистика, 1974. стр. 19–57.

Предишен

Темата за средно аритметично и средно геометрично е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста лесен за разбиране, той бързо се подминава и до края на учебната година учениците го забравят. Но познанията по основна статистика са необходими за полагане на Единния държавен изпит, както и за международни изпити SAT. А за ежедневието развитото аналитично мислене никога не вреди.

Как се изчислява средно аритметично и средно геометрично на числа

Да кажем, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средната аритметична стойност е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест в случай на числата 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да намерим средното геометрично. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична стойност на числата е произведението на всички дадени числа, намиращи се под корена със степен, равна на броя на дадените числа.Тоест в случая на числата 4, 2 и 8 отговорът ще бъде 4. Ето как оказа се:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта получихме цели отговори, тъй като за примера бяха взети специални числа. Това не винаги се случва. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средноаритметичното е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите ще бъдат съответно 5,5 и √30.

Възможно ли е средноаритметичното да стане равно на средното геометрично?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от броя им.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(средногеометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.