في الرياضيات، المتوسط ​​الحسابي للأرقام (أو ببساطة المتوسط) هو مجموع جميع الأرقام في مجموعة معينة مقسومًا على عدد الأرقام. هذا هو المفهوم الأكثر تعميمًا وانتشارًا لمتوسط ​​القيمة. كما فهمت بالفعل، للعثور على ما تحتاجه لتلخيص جميع الأرقام المعطاة لك، وتقسيم النتيجة الناتجة على عدد المصطلحات.

ما هو المعنى الحسابي؟

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 1. الأرقام المعطاة: 6، 7، 11. عليك إيجاد متوسط ​​قيمتها.

حل.

أولا، دعونا نجد مجموع كل هذه الأرقام.

الآن قم بتقسيم المبلغ الناتج على عدد المصطلحات. وبما أن لدينا ثلاثة حدود، فسنقسم على ثلاثة.

وبالتالي فإن متوسط ​​الأعداد 6 و 7 و 11 هو 8. لماذا 8؟ نعم، لأن مجموع 6 و 7 و 11 سيكون هو نفسه ثلاثة ثمانية. ويمكن رؤية هذا بوضوح في الرسم التوضيحي.

المتوسط ​​يشبه إلى حد ما سلسلة من الأرقام "للمساء". كما ترون، أصبحت أكوام أقلام الرصاص على نفس المستوى.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر لتعزيز المعرفة المكتسبة.

مثال 2.الأرقام المعطاة: 3، 7، 5، 13، 20، 23، 39، 23، 40، 23، 14، 12، 56، 23، 29. عليك إيجاد الوسط الحسابي لها.

حل.

العثور على المبلغ.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

قسّم على عدد المصطلحات (في هذه الحالة - 15).

وبالتالي، فإن متوسط ​​قيمة هذه السلسلة من الأرقام هو 22.

الآن دعونا نلقي نظرة على الأرقام السالبة. دعونا نتذكر كيفية تلخيصها. على سبيل المثال، لديك رقمين 1 و -4. دعونا نجد مجموعهم.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

بمعرفة ذلك، دعونا ننظر إلى مثال آخر.

مثال 3.أوجد القيمة المتوسطة لسلسلة من الأرقام: 3، -7، 5، 13، -2.

حل.

العثور على مجموع الأرقام.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

بما أن هناك 5 حدود، قم بتقسيم المجموع الناتج على 5.

ولذلك فإن الوسط الحسابي للأعداد 3، -7، 5، 13، -2 هو 2.4.

في عصر التقدم التكنولوجي لدينا، هو أكثر ملاءمة لاستخدام برامج الكمبيوتر للعثور على القيمة المتوسطة. مايكروسوفت أوفيس إكسل هو واحد منهم. يعد العثور على المتوسط ​​في Excel أمرًا سريعًا وسهلاً. علاوة على ذلك، تم تضمين هذا البرنامج في حزمة برامج Microsoft Office. دعونا نلقي نظرة على تعليمات موجزة، قيمة استخدام هذا البرنامج.

لحساب القيمة المتوسطة لسلسلة من الأرقام، يجب عليك استخدام الدالة AVERAGE. بناء الجملة لهذه الوظيفة هو:
= المتوسط ​​(الوسيطة 1، الوسيطة 2، ... الوسيطة 255)
حيث تكون الوسيطة1، والوسيطة2، ... والوسيطة255 إما أرقامًا أو مراجع خلايا (تشير الخلايا إلى النطاقات والمصفوفات).

ولتوضيح الأمر أكثر، دعونا نجرب المعرفة التي اكتسبناها.

1. أدخل الأرقام 11، 12، 13، 14، 15، 16 في الخلايا C1 - C6.
2. حدد الخلية C7 بالنقر عليها. في هذه الخلية سوف نعرض القيمة المتوسطة.
3. انقر فوق علامة التبويب الصيغ.
4. حدد المزيد من الوظائف > الإحصائية لفتحها
5. حدد المتوسط. بعد ذلك، يجب أن يفتح مربع حوار.
6. حدد الخلايا C1-C6 واسحبها لتعيين النطاق في مربع الحوار.
7. قم بتأكيد أفعالك باستخدام الزر "موافق".
8. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن يكون لديك الإجابة في الخلية C7 - 13.7. عند النقر فوق الخلية C7، ستظهر الدالة (=Average(C1:C6)) في شريط الصيغة.

تعتبر هذه الميزة مفيدة جدًا للمحاسبة أو الفواتير أو عندما تحتاج فقط إلى العثور على متوسط ​​سلسلة طويلة جدًا من الأرقام. ولذلك، غالبا ما يستخدم في المكاتب والشركات الكبيرة. يتيح لك هذا الاحتفاظ بسجلاتك بالترتيب ويجعل من الممكن حساب شيء ما بسرعة (على سبيل المثال، متوسط ​​الدخل الشهري). يمكنك أيضًا استخدام برنامج Excel للعثور على القيمة المتوسطة للدالة.

الانضباط: الإحصاء

الخيار رقم 2

متوسط ​​القيم المستخدمة في الإحصاء

مقدمة ……………………………………………………………………….3

مهمة نظرية

القيمة المتوسطة في الإحصاء وجوهرها وشروط تطبيقها.

1.1. جوهر الحجم المتوسط ​​وشروط الاستخدام……….4

1.2. أنواع المتوسطات……………………………………………………………………………………………………… 8

مهمة عملية

المهمة 1،2،3 …………………………………………………………………………………………………………………………… 14

الخلاصة ………………………………………………………………….21

قائمة المراجع …………………………………………….23

مقدمة

يتكون هذا الاختبار من جزأين – نظري وعملي. في الجزء النظري، سيتم دراسة فئة إحصائية مهمة مثل القيمة المتوسطة بالتفصيل من أجل تحديد جوهرها وشروط تطبيقها، وكذلك تسليط الضوء على أنواع المتوسطات وطرق حسابها.

الإحصاء، كما نعلم، يدرس الظواهر الاجتماعية والاقتصادية الجماعية. وقد يكون لكل من هذه الظواهر تعبير كمي مختلف لنفس الخاصية. على سبيل المثال أجور العاملين في نفس المهنة أو أسعار السوق لنفس المنتج وما إلى ذلك. تمثل القيم المتوسطة المؤشرات النوعية للنشاط التجاري: تكاليف التوزيع، الربح، الربحية، إلخ.

لدراسة أي مجتمع وفقًا لخصائص مختلفة (متغيرة كميًا)، تستخدم الإحصائيات القيم المتوسطة.

كيان متوسط ​​الحجم

القيمة المتوسطة هي خاصية كمية معممة لمجموعة من الظواهر المتشابهة بناءً على خاصية واحدة متباينة. في الممارسة الاقتصادية، يتم استخدام مجموعة واسعة من المؤشرات، والتي يتم حسابها كقيم متوسطة.

أهم خاصية للقيمة المتوسطة هي أنها تمثل قيمة صفة معينة في مجموع السكان برقم واحد، رغم اختلافاتها الكمية في الوحدات الفردية من السكان، وتعبر عن ما هو مشترك بين جميع وحدات السكان قيد الدراسة . وهكذا، من خلال خصائص وحدة من السكان، فإنها تميز جميع السكان ككل.

ترتبط القيم المتوسطة بقانون الأعداد الكبيرة. جوهر هذا الارتباط هو أنه أثناء حساب المتوسط، فإن الانحرافات العشوائية للقيم الفردية، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة، تلغي بعضها البعض ويتم الكشف عن اتجاه التطور الرئيسي والضرورة والنمط في المتوسط. تتيح لك القيم المتوسطة مقارنة المؤشرات المتعلقة بالسكان بأعداد مختلفة من الوحدات.

في الظروف الحديثة لتطور علاقات السوق في الاقتصاد، تعمل المتوسطات كأداة لدراسة الأنماط الموضوعية للظواهر الاجتماعية والاقتصادية. ومع ذلك، في التحليل الاقتصادي، لا يمكن للمرء أن يقتصر على المؤشرات المتوسطة فقط، لأن المتوسطات المواتية العامة قد تخفي عيوبًا خطيرة كبيرة في أنشطة الكيانات الاقتصادية الفردية، وبراعم كيان تقدمي جديد. على سبيل المثال، فإن توزيع السكان حسب الدخل يجعل من الممكن تحديد تشكيل مجموعات اجتماعية جديدة. لذلك، إلى جانب البيانات الإحصائية المتوسطة، من الضروري مراعاة خصائص الوحدات الفردية من السكان.

والقيمة المتوسطة هي محصلة جميع العوامل المؤثرة على الظاهرة محل الدراسة. أي أنه عند حساب القيم المتوسطة، يتم إلغاء تأثير العوامل العشوائية (الاضطراب، الفردي)، وبالتالي، من الممكن تحديد النمط المتأصل في الظاهرة قيد الدراسة. وأكد أدولف كويتيليت أن أهمية طريقة المتوسطات هي إمكانية الانتقال من الفرد إلى العام، ومن العشوائي إلى المنتظم، ووجود المتوسطات هو فئة من الواقع الموضوعي.

تدرس الإحصائيات الظواهر والعمليات الجماعية. كل من هذه الظواهر لها خصائص مشتركة في المجموعة بأكملها وخصائص فردية خاصة. يسمى الفرق بين الظواهر الفردية بالتباين. خاصية أخرى للظواهر الجماعية هي التشابه المتأصل في خصائص الظواهر الفردية. لذلك، فإن تفاعل عناصر المجموعة يؤدي إلى الحد من اختلاف جزء من خصائصها على الأقل. وهذا الاتجاه موجود بشكل موضوعي. وفي موضوعيته يكمن السبب في الاستخدام الأوسع للقيم المتوسطة في الممارسة العملية والنظرية.

متوسط ​​القيمة في الإحصاء هو مؤشر عام يصف المستوى النموذجي لظاهرة ما في ظروف محددة من المكان والزمان، ويعكس قيمة خاصية متفاوتة لكل وحدة من السكان المتجانسين نوعيا.

في الممارسة الاقتصادية، يتم استخدام مجموعة واسعة من المؤشرات، والتي يتم حسابها كقيم متوسطة.

باستخدام طريقة المتوسطات، تحل الإحصائيات العديد من المشكلات.

تكمن الأهمية الرئيسية للمتوسطات في وظيفتها التعميمية، أي استبدال العديد من القيم الفردية المختلفة للخاصية بقيمة متوسطة تميز مجموعة الظواهر بأكملها.

إذا كانت القيمة المتوسطة تعمم قيمًا متجانسة نوعيًا لخاصية ما، فهي خاصية نموذجية للخاصية في مجموعة سكانية معينة.

ومع ذلك، فمن غير الصحيح اختزال دور القيم المتوسطة فقط في توصيف القيم النموذجية للخصائص في المجموعات المتجانسة لخاصية معينة. من الناحية العملية، تستخدم الإحصاءات الحديثة في كثير من الأحيان القيم المتوسطة التي تعمم الظواهر المتجانسة بشكل واضح.

متوسط ​​الدخل القومي للفرد، ومتوسط ​​إنتاج الحبوب في جميع أنحاء البلاد، ومتوسط ​​استهلاك مختلف المنتجات الغذائية - هذه هي خصائص الدولة كنظام اقتصادي واحد، وهذه هي ما يسمى بمتوسطات النظام.

يمكن لمتوسطات النظام أن تميز كلاً من الأنظمة المكانية أو الكائنية الموجودة في وقت واحد (الحالة، الصناعة، المنطقة، كوكب الأرض، إلخ) والأنظمة الديناميكية الممتدة بمرور الوقت (السنة، العقد، الموسم، إلخ).

وأهم خاصية للقيمة المتوسطة هي أنها تعكس ما هو مشترك بين جميع وحدات السكان قيد الدراسة. تتقلب قيم السمات للوحدات الفردية من السكان في اتجاه أو آخر تحت تأثير العديد من العوامل، من بينها قد يكون هناك عوامل أساسية وعشوائية. على سبيل المثال، يتم تحديد سعر سهم الشركة ككل حسب وضعها المالي. وفي الوقت نفسه، في أيام معينة وفي بورصات معينة، قد يتم بيع هذه الأسهم، بسبب الظروف السائدة، بسعر أعلى أو أقل. جوهر المتوسط ​​هو أنه يلغي انحرافات القيم المميزة للوحدات الفردية من السكان الناجمة عن عمل العوامل العشوائية، ويأخذ في الاعتبار التغيرات الناجمة عن عمل العوامل الرئيسية. وهذا يسمح للمتوسط ​​أن يعكس المستوى النموذجي للسمة ويستخلص من الخصائص الفردية المتأصلة في الوحدات الفردية.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الأكثر شيوعًا؛ ويعكس المؤشر المتوسط ​​ما هو شائع (نموذجي) لجميع وحدات السكان محل الدراسة، بينما يتجاهل في الوقت نفسه الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج من الصدفة والضرورة.

المتوسط ​​هو خاصية موجزة لقوانين العملية في الظروف التي تحدث فيها.

يميز كل متوسط ​​السكان قيد الدراسة وفقًا لخاصية واحدة، ولكن لتوصيف أي مجتمع ووصف سماته النموذجية وخصائصه النوعية، هناك حاجة إلى نظام للمؤشرات المتوسطة. لذلك، في ممارسة الإحصاءات المحلية، لدراسة الظواهر الاجتماعية والاقتصادية، كقاعدة عامة، يتم حساب نظام متوسط ​​المؤشرات. لذلك، على سبيل المثال، يتم تقييم مؤشر متوسط ​​الأجر مع مؤشرات متوسط ​​الإنتاج، ونسبة رأس المال إلى العمل، ونسبة الطاقة إلى العمل، ودرجة الميكنة وأتمتة العمل، وما إلى ذلك.

وينبغي حساب المتوسط ​​مع الأخذ بعين الاعتبار المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة. لذلك، بالنسبة لمؤشر محدد يستخدم في التحليل الاجتماعي والاقتصادي، يمكن حساب قيمة حقيقية واحدة فقط للمتوسط ​​بناءً على الطريقة العلمية للحساب.

تعد القيمة المتوسطة من أهم المؤشرات الإحصائية المعممة، حيث تميز مجموعة من الظواهر المتشابهة وفقا لبعض الخصائص المتباينة كميا. المتوسطات في الإحصاء هي مؤشرات عامة، أرقام تعبر عن الأبعاد المميزة النموذجية للظواهر الاجتماعية وفقا لخاصية واحدة متغيرة كميا.

أنواع المتوسطات

تختلف أنواع القيم المتوسطة بشكل أساسي في أي خاصية، وما هي معلمة الكتلة المتغيرة الأولية للقيم الفردية للسمة التي يجب أن تظل دون تغيير.

المتوسط ​​الحسابي

المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​​​قيمة الخاصية، والتي يظل أثناء حسابها الحجم الإجمالي للخاصية في المجموع دون تغيير. وبخلاف ذلك يمكننا القول أن الوسط الحسابي هو الحد المتوسط. عند حسابها، يتم توزيع الحجم الإجمالي للسمة عقليا بالتساوي بين جميع وحدات السكان.

ويستخدم الوسط الحسابي إذا كانت قيم الخاصية التي يتم حساب متوسطها (x) وعدد الوحدات السكانية ذات القيمة المميزة المحددة (f) معروفة.

يمكن أن يكون المتوسط ​​الحسابي بسيطًا أو مرجحًا.

الوسط الحسابي البسيط

يتم استخدام Simple إذا كانت كل قيمة للسمة x تحدث مرة واحدة، أي. لكل x تكون قيمة السمة f=1، أو إذا لم يتم ترتيب البيانات المصدر وكان عدد الوحدات التي لها قيم سمات معينة غير معروف.

صيغة الوسط الحسابي بسيطة:

,

وأهم خاصية للمتوسط ​​هو أنه يعكس ما هو مشترك بين جميع وحدات السكان قيد الدراسة. تختلف قيم الخصائص الفردية للوحدات السكانية تحت تأثير العديد من العوامل، من بينها قد يكون هناك عوامل أساسية وعشوائية. يكمن جوهر المتوسط ​​في حقيقة أنه يعوض بشكل متبادل الانحرافات في قيم الخاصية التي تنتج عن عمل العوامل العشوائية، ويتراكم (يأخذ في الاعتبار) التغييرات الناجمة عن عمل العوامل الرئيسية . وهذا يسمح للمتوسط ​​أن يعكس المستوى النموذجي للسمة ويستخلص من الخصائص الفردية المتأصلة في الوحدات الفردية.

ولكي يكون المتوسط ​​ممثلا حقا، يجب أن يتم حسابه مع مراعاة مبادئ معينة.

المبادئ الأساسية لاستخدام المتوسطات.

1. يجب تحديد المتوسط ​​للسكان الذين يتكونون من وحدات متجانسة نوعيا.

2. يجب حساب المتوسط ​​لمجموعة سكانية تتكون من عدد كبير بما فيه الكفاية من الوحدات.

3. يجب حساب المتوسط ​​للسكان في ظل ظروف ثابتة (عندما لا تتغير العوامل المؤثرة أو لا تتغير بشكل كبير).

4. يجب أن يتم حساب المتوسط ​​مع الأخذ في الاعتبار المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة.

يعتمد حساب معظم المؤشرات الإحصائية المحددة على استخدام:

· متوسط ​​المجموع؛

· القوة المتوسطة (التوافقية، الهندسية، الحسابية، التربيعية، المكعبة).

· متوسط ​​زمني (انظر القسم).

يمكن حساب جميع المتوسطات، باستثناء المتوسط ​​الإجمالي، بطريقتين - مرجحة أو غير مرجحة.

متوسط ​​المجموع. الصيغة المستخدمة هي:

أين ث ط= × ط* و أنا;

× ط- النسخة الأولى من الخاصية التي يتم حساب متوسطها؛

و أنا, - وزن أنا- الخيار الرابع.

قوة متوسطة. بشكل عام، صيغة الحساب هي:

أين هي الدرجة ك– نوع الطاقة المتوسطة.

إن قيم المتوسطات المحسوبة على أساس متوسطات القدرة لنفس البيانات الأولية ليست هي نفسها. مع زيادة الأس k، تزداد القيمة المتوسطة المقابلة أيضًا:

متوسط ​​زمني. بالنسبة لسلسلة زمنية ثانية ذات فواصل زمنية متساوية بين التواريخ، يتم حسابها باستخدام الصيغة:

,

أين × 1و Xنقيمة المؤشر في تاريخ البداية والانتهاء.

صيغ لحساب متوسطات الطاقة

مثال. حسب الجدول. 2.1 يتطلب حساب متوسط ​​الراتب للمؤسسات الثلاثة ككل.

الجدول 2.1

أجور الشركات المساهمة

شركة	عدد الصناعية إنتاجالأفراد (PPP) ، الأشخاص.	الصندوق الشهري الأجور، فرك.	متوسط الأجر,فرك.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
المجموع		1415130

تعتمد صيغة الحساب المحددة على البيانات الموجودة في الجدول. 7 هي الأصلية. وبناء على ذلك، فإن الخيارات التالية ممكنة: البيانات من العمودين 1 (عدد الموظفين) و2 (كشوف المرتبات الشهرية)؛ أو - 1 (عدد الشراكة بين القطاعين العام والخاص) و3 (متوسط ​​الراتب)؛ أو 2 (الراتب الشهري) و 3 (متوسط ​​الراتب).

في حالة توفر بيانات العمودين 1 و2 فقط. تحتوي نتائج هذه الأعمدة على القيم اللازمة لحساب المتوسط ​​المطلوب. يتم استخدام الصيغة الإجمالية المتوسطة:

في حالة توفر بيانات العمودين 1 و3 فقطفإن مقام النسبة الأصلية معروف، لكن بسطها غير معروف. ومع ذلك، يمكن الحصول على صندوق الأجور عن طريق ضرب متوسط ​​الأجر بعدد أعضاء هيئة التدريس. ولذلك، يمكن حساب المتوسط ​​الإجمالي باستخدام الصيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

ويجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الوزن ( و أنا) في بعض الحالات قد يكون نتاج قيمتين أو حتى ثلاث قيم.

وبالإضافة إلى ذلك، يُستخدم المتوسط ​​أيضًا في الممارسة الإحصائية. حسابية غير مرجحة:

حيث n هو حجم السكان.

ويستخدم هذا المتوسط ​​عندما تكون الأوزان ( و أنا) غائبة (كل متغير من الخاصية يحدث مرة واحدة فقط) أو متساويين مع بعضهما البعض.

إذا كانت هناك بيانات من العمودين 2 و3 فقط.أي: بسط النسبة الأصلية معروف، ولكن مقامها غير معروف. ويمكن الحصول على عدد الموظفين في كل مؤسسة عن طريق قسمة الرواتب على متوسط ​​الراتب. ثم يتم حساب متوسط ​​الراتب للمؤسسات الثلاثة ككل باستخدام الصيغة الوسط التوافقي المرجح:

إذا كانت الأوزان متساوية ( و أنا) يمكن حساب المتوسط ​​بواسطة الوسط التوافقي غير المرجح:

في مثالنا، استخدمنا أشكالًا مختلفة من المتوسطات، لكننا حصلنا على نفس الإجابة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه بالنسبة لبيانات محددة في كل مرة يتم تطبيق نفس النسبة الأولية للمتوسط.

يمكن حساب المؤشرات المتوسطة باستخدام سلسلة الاختلافات المنفصلة والفواصل. وفي هذه الحالة، يتم الحساب باستخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح. بالنسبة للسلسلة المنفصلة، ​​يتم استخدام هذه الصيغة بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه. في سلسلة الفواصل الزمنية، يتم تحديد نقاط منتصف الفواصل الزمنية للحساب.

مثال. حسب الجدول. 2.2 نحدد مقدار متوسط ​​الدخل النقدي للفرد شهريًا في منطقة مشروطة.

الجدول 2.2

البيانات الأولية (سلسلة التغيير)

متوسط ​​نصيب الفرد من الدخل النقدي شهريا، x، فرك.	عدد السكان % من المجموع/
ما يصل إلى 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 فما فوق	2,3
المجموع	100

وهذا المصطلح له معاني أخرى، انظر المعنى المتوسط.

متوسط(في الرياضيات والإحصاء) مجموعات من الأرقام - مجموع كل الأرقام مقسومًا على عددها. وهو أحد مقاييس النزعة المركزية الأكثر شيوعاً.

تم اقتراحه (مع الوسط الهندسي والوسط التوافقي) من قبل الفيثاغوريين.

الحالات الخاصة للمتوسط ​​الحسابي هي المتوسط ​​(عموم السكان) ومتوسط ​​العينة (العينة).

مقدمة

دعونا نشير إلى مجموعة البيانات X = (س 1 , س 2 , …, س ن) ، تتم الإشارة عادةً إلى متوسط ​​العينة بواسطة شريط أفقي فوق المتغير (x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))، ويُنطق " سمع خط").

يُستخدم الحرف اليوناني μ للدلالة على الوسط الحسابي لجميع السكان. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يتم تحديد القيمة المتوسطة له، μ هو المتوسط ​​الاحتماليأو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. إذا مجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية ذات الوسط الاحتمالي μ لأي عينة س أنامن هذه المجموعة μ = E( س أنا) هو التوقع الرياضي لهذه العينة.

من الناحية العملية، الفرق بين μ وx ¯ (\displaystyle (\bar (x))) هو أن μ هو متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية عينة بدلاً من المجتمع بأكمله. ولذلك، إذا تم تمثيل العينة بشكل عشوائي (من حيث نظرية الاحتمالات)، فيمكن التعامل مع x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))) (ولكن ليس μ) كمتغير عشوائي له توزيع احتمالي على العينة ( التوزيع الاحتمالي للمتوسط).

ويتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

لو Xمتغير عشوائي ثم التوقع الرياضي Xيمكن اعتباره الوسط الحسابي للقيم في القياسات المتكررة للكمية X. وهذا مظهر من مظاهر قانون الأعداد الكبيرة. ولذلك، يتم استخدام متوسط ​​العينة لتقدير القيمة المتوقعة غير المعروفة.

وقد ثبت في الجبر الابتدائي أن المتوسط ن+ 1 أرقام فوق المتوسط نأرقام إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أكبر من المتوسط ​​القديم، وأقل إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أقل من المتوسط، ولا يتغير إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد يساوي المتوسط. الاكثر نكلما قل الفرق بين المتوسطين الجديد والقديم.

لاحظ أن هناك العديد من "المتوسطات" الأخرى المتاحة، بما في ذلك متوسط ​​القوة، ومتوسط ​​كولموجوروف، والمتوسط ​​التوافقي، والمتوسط ​​الحسابي الهندسي، والمتوسطات المرجحة المختلفة (على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي المرجح، والوسط الهندسي المرجح، والمتوسط ​​التوافقي المرجح).

أمثلة

• بالنسبة لثلاثة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 3:

س 1 + س 2 + س 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• بالنسبة لأربعة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 4:

س 1 + س 2 + س 3 + س 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

أو بشكل أبسط 5+5=10، 10:2. لأننا كنا نضيف رقمين، وهو ما يعني عدد الأرقام التي نضيفها، فإننا نقسمها على هذا العدد.

متغير عشوائي مستمر

بالنسبة للكمية الموزعة باستمرار f (x) (\displaystyle f(x))، المتوسط ​​الحسابي في الفترة [ a ; b ] (\displaystyle ) يتم تحديده من خلال تكامل محدد:

و (خ) ¯ [ أ ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) و (خ) دكس)

بعض مشاكل استخدام المتوسط

عدم وجود متانة

المقال الرئيسي: المتانة في الإحصاء

على الرغم من أن المتوسطات الحسابية تستخدم غالبًا كمتوسطات أو اتجاهات مركزية، إلا أن هذا المفهوم ليس إحصائية قوية، مما يعني أن المتوسط ​​الحسابي يتأثر بشدة بـ "الانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات معامل الانحراف الكبير، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "المتوسط"، وقد تصف قيم الوسط من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال، الوسيط) بشكل أفضل الوسط المركزي نزعة.

والمثال الكلاسيكي هو حساب متوسط ​​الدخل. من الممكن أن يساء تفسير المتوسط ​​الحسابي باعتباره متوسطًا، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص ذوي الدخل الأعلى أكبر من العدد الفعلي. يتم تفسير الدخل "المتوسط" على أنه يعني أن معظم الناس لديهم دخل حول هذا الرقم. وهذا "المتوسط" (بمعنى المتوسط ​​الحسابي) أعلى من دخل معظم الناس، حيث أن الدخل المرتفع مع انحراف كبير عن المتوسط ​​يجعل المتوسط ​​الحسابي منحرفا للغاية (على النقيض من متوسط ​​الدخل عند المتوسط). "يقاوم" مثل هذا الانحراف). ومع ذلك، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل المتوسط ​​(ولا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل النموذجي). ومع ذلك، إذا أخذت مفهومي "المتوسط" و"معظم الناس" باستخفاف، فقد تتوصل إلى استنتاج غير صحيح مفاده أن معظم الناس لديهم دخل أعلى مما هم عليه في الواقع. على سبيل المثال، تقرير عن "متوسط" صافي الدخل في المدينة المنورة بواشنطن، والذي يتم حسابه على أنه المتوسط ​​الحسابي لكل صافي الدخل السنوي للمقيمين، من شأنه أن يسفر عن رقم كبير إلى حد مدهش بسبب بيل جيتس. النظر في العينة (1، 2، 2، 2، 3، 9). المتوسط ​​الحسابي هو 3.17، لكن خمس من أصل ست قيم أقل من هذا المتوسط.

الفائدة المركبة

المقال الرئيسي: العائد على الاستثمار

إذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، عليك استخدام الوسط الهندسي وليس الوسط الحسابي. غالبًا ما يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.

على سبيل المثال، إذا انخفض السهم بنسبة 10% في السنة الأولى وارتفع بنسبة 30% في السنة الثانية، فمن غير الصحيح حساب الزيادة "المتوسطة" خلال هذين العامين بالمتوسط ​​الحسابي (-10% + 30%) / 2 = 10%؛ المتوسط ​​الصحيح في هذه الحالة هو معدل النمو السنوي المركب الذي يعطي معدل نمو سنوي حوالي 8.16653826392% ≈ 8.2% فقط.

والسبب في ذلك هو أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30% هي 30%. من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا بدأ السهم عند 30 دولارًا وانخفض بنسبة 10%، فإن قيمته تبلغ 27 دولارًا في بداية السنة الثانية. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط ​​الحسابي لهذا النمو هو 10%، ولكن بما أن السهم ارتفع بمقدار 5.1 دولار فقط على مدار عامين، فإن متوسط ​​النمو البالغ 8.2% يعطي النتيجة النهائية البالغة 35.1 دولارًا:

[30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا]. إذا استخدمنا المتوسط ​​الحسابي 10% بنفس الطريقة، فلن نحصل على القيمة الفعلية: [30 دولارًا (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولارًا].

الفائدة المركبة في نهاية السنتين: 90% * 130% = 117%، أي أن إجمالي الزيادة 17%، ومتوسط ​​الفائدة المركبة السنوية 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\حوالي 108.2\%) أي بمتوسط ​​زيادة سنوية 8.2%.

الاتجاهات

المقال الرئيسي: إحصائيات الوجهة

عند حساب الوسط الحسابي لبعض المتغيرات التي تتغير دوريا (مثل الطور أو الزاوية)، يجب توخي الحذر بشكل خاص. على سبيل المثال، متوسط ​​1° و359° سيكون 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. هذا الرقم غير صحيح لسببين.

• أولاً، يتم تعريف القياسات الزاوية فقط للنطاق من 0° إلى 360° (أو من 0 إلى 2π عند قياسها بالراديان). لذا يمكن كتابة نفس زوج الأرقام بالشكل (1° و-1°) أو (1° و719°). سيكون متوسط ​​القيم لكل زوج مختلفًا: 1 ​​∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ الدائرة)) .
• ثانيًا، في هذه الحالة، ستكون قيمة 0° (أي ما يعادل 360°) قيمة متوسطة أفضل هندسيًا، نظرًا لأن انحراف الأرقام أقل من 0° مقارنة بأي قيمة أخرى (القيمة 0° لها أصغر تباين). يقارن:
  • الرقم 1° ينحرف عن 0° بمقدار 1° فقط؛
  • الرقم 1° ينحرف عن المتوسط ​​المحسوب 180° بمقدار 179°.

سيتم إزاحة القيمة المتوسطة للمتغير الدوري المحسوب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه بشكل مصطنع بالنسبة إلى المتوسط ​​الحقيقي نحو منتصف النطاق الرقمي. وبسبب هذا، يتم حساب المتوسط ​​بطريقة مختلفة، أي يتم تحديد الرقم ذو التباين الأصغر (نقطة المركز) كقيمة متوسطة. أيضًا، بدلاً من الطرح، يتم استخدام المسافة المعيارية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال، المسافة المعيارية بين 1° و359° هي 2°، وليس 358° (على الدائرة بين 359° و360°==0° - درجة واحدة، بين 0° و1° - أيضًا 1°، إجمالاً - 2 درجة).

4.3. متوسط ​​القيم. جوهر ومعنى القيم المتوسطة

حجم متوسطفي الإحصاء هو مؤشر عام يصف المستوى النموذجي لظاهرة ما في ظروف محددة من المكان والزمان، مما يعكس قيمة خاصية متفاوتة لكل وحدة من السكان المتجانسين نوعيا. في الممارسة الاقتصادية، يتم استخدام مجموعة واسعة من المؤشرات، والتي يتم حسابها كقيم متوسطة.

على سبيل المثال، المؤشر العام لدخل العاملين في شركة مساهمة (JSC) هو متوسط ​​دخل عامل واحد، والذي تحدده نسبة صندوق الأجور والمدفوعات الاجتماعية للفترة قيد المراجعة (السنة، الربع، الشهر ) إلى عدد العاملين في هيئة الأوراق المالية.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الشائعة؛ ويعكس المؤشر المتوسط ​​ما هو شائع (نموذجي) لجميع وحدات السكان محل الدراسة، بينما يتجاهل في الوقت نفسه الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج حوادثو ضروري.عند حساب المتوسطات، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة، تلغي العشوائية وتتوازن، لذلك يمكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة، من القيم الكمية للخاصية في كل حالة محددة . إن القدرة على التجريد من عشوائية القيم الفردية وتقلباتها تكمن في القيمة العلمية للمتوسطات تعميمخصائص السكان.

وعندما تنشأ الحاجة إلى التعميم، فإن حساب هذه الخصائص يؤدي إلى استبدال العديد من القيم الفردية المختلفة للسمة متوسطمؤشر يميز مجموعة الظواهر بأكملها، مما يجعل من الممكن تحديد الأنماط المتأصلة في الظواهر الاجتماعية الجماعية غير المرئية في الظواهر الفردية.

يعكس المتوسط ​​المستوى المميز والنموذجي والحقيقي للظواهر التي تتم دراستها، ويميز هذه المستويات وتغيراتها في الزمان والمكان.

المتوسط ​​هو خاصية موجزة لقوانين العملية في الظروف التي تحدث فيها.

4.4. أنواع المتوسطات وطرق حسابها

يتم تحديد اختيار نوع المتوسط ​​من خلال المحتوى الاقتصادي لمؤشر معين وبيانات المصدر. وفي كل حالة محددة، يتم استخدام إحدى القيم المتوسطة: الحساب، غارأحادية، هندسية، تربيعية، مكعبةإلخ. المتوسطات المدرجة تنتمي إلى الفصل رزينمتوسط.

بالإضافة إلى متوسطات القدرة، يتم استخدام المتوسطات الهيكلية في الممارسة الإحصائية، والتي تعتبر الوضع والوسيط.

دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول متوسطات الطاقة.

المتوسط ​​الحسابي

النوع الأكثر شيوعا من المتوسط ​​هو متوسط علم الحساب.يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم الخاصية المتغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم خصائص وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بجمع (مجموع) أحجام ذات خاصية متفاوتة، وهذا ما يحدد نطاق تطبيق المتوسط ​​الحسابي ويفسر انتشاره كمؤشر عام، على سبيل المثال: صندوق الأجور الإجمالي هو مجموع أجور العاملين لجميع العمال، إجمالي الحصاد هو مجموع المنتجات المنتجة من موسم الزراعة بأكمله.

لحساب الوسط الحسابي، تحتاج إلى تقسيم مجموع كل قيم الميزات على عددها.

ويستخدم الوسط الحسابي في النموذج المتوسط ​​البسيط والمتوسط ​​المرجح.النموذج الأولي المحدد هو المتوسط ​​البسيط.

الوسط الحسابي البسيطيساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للخاصية التي يتم حساب متوسطها، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (يتم استخدامه في الحالات التي توجد فيها قيم فردية غير مجمعة للخاصية):

أين
- القيم الفردية للمتغير (المتغيرات)؛ م - عدد الوحدات في السكان.

علاوة على ذلك، لن تتم الإشارة إلى حدود الجمع في الصيغ. على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على متوسط ​​إنتاج عامل واحد (ميكانيكي) إذا كنت تعرف عدد الأجزاء التي أنتجها كل عامل من 15 عاملاً، أي. يتم إعطاء عدد من القيم الفردية للخاصية، أجهزة الكمبيوتر:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

يتم حساب الوسط الحسابي البسيط باستخدام الصيغة (4.1)، 1 قطعة.:

يُطلق على متوسط ​​الخيارات التي تتكرر عددًا مختلفًا من المرات، أو كما يقولون، لها أوزان مختلفة موزون.الأوزان هي عدد الوحدات في مجموعات مختلفة من السكان (يتم دمج الخيارات المتطابقة في مجموعة).

المتوسط ​​الحسابي المرجح- متوسط ​​القيم المجمعة، - يتم حسابه باستخدام الصيغة:

, (4.2)

أين
- الوزن (تكرار تكرار العلامات المتطابقة)؛

- مجموع منتجات حجم الميزات وتردداتها؛

- إجمالي عدد الوحدات السكانية.

نوضح تقنية حساب المتوسط ​​​​المرجح الحسابي باستخدام المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. للقيام بذلك، سنقوم بتجميع البيانات المصدرية ووضعها في جدول. 4.1.

الجدول 4.1

توزيع العمال لإنتاج قطع الغيار

ووفقا للصيغة (4.2)، فإن الوسط الحسابي المرجح يساوي، قطع:

في بعض الحالات، قد لا يتم عرض الأوزان كقيم مطلقة، ولكن كقيم نسبية (بالنسب المئوية أو كسور الوحدة). عندها ستبدو صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح كما يلي:

أين
- الخصوصية، أي. حصة كل تردد في المجموع الكلي للجميع

إذا تم حساب التكرارات بالكسور (المعاملات)، إذن
= 1، ومعادلة المتوسط ​​المرجح حسابيًا لها الشكل:

حساب الوسط الحسابي المرجح من متوسطات المجموعة يتم تنفيذها وفقًا للصيغة:

,

أين F- عدد الوحدات في كل مجموعة .

ويعرض الجدول نتائج حساب الوسط الحسابي من متوسطات المجموعة. 4.2.

الجدول 4.2

توزيع العاملين حسب متوسط ​​مدة الخدمة

في هذا المثال، الخيارات ليست بيانات فردية عن مدة خدمة العمال الفرديين، ولكن المتوسط ​​لكل ورشة عمل. الميزان Fهو عدد العاملين في المحلات التجارية. ومن ثم فإن متوسط ​​خبرة العمل للعاملين في جميع أنحاء المنشأة سيكون بالسنوات:

.

حساب الوسط الحسابي في سلسلة التوزيع

إذا تم تحديد قيم الخاصية التي يتم حساب متوسطها في شكل فترات ("من - إلى")، أي. سلسلة الفاصل الزمني للتوزيع، ثم عند حساب الوسط الحسابي، يتم أخذ نقاط المنتصف لهذه الفترات كقيم الخصائص في المجموعات، مما يؤدي إلى تكوين سلسلة منفصلة. خذ بعين الاعتبار المثال التالي (الجدول 4.3).

لننتقل من المتسلسلة الفاصلة إلى المتسلسلة المنفصلة عن طريق استبدال قيم الفترات بمتوسط ​​قيمها/(المتوسط ​​البسيط

الجدول 4.3

توزيع العاملين في هيئة الأوراق المالية حسب مستوى الأجر الشهري

مجموعات من العمال	عدد العمال	منتصف الفاصل
الأجور، فرك.	الناس، F	فرك.، X
900 أو أكثر

يتم مساواة قيم الفترات المفتوحة (الأولى والأخيرة) بشكل مشروط بالفترات المجاورة لها (الثانية وقبل الأخيرة).

مع هذا الحساب للمتوسط، يُسمح ببعض عدم الدقة، حيث يتم افتراض التوزيع الموحد لوحدات الخاصية داخل المجموعة. ومع ذلك، كلما كانت الفترة أضيق وكلما زاد عدد الوحدات فيها، قل الخطأ.

بعد العثور على نقاط المنتصف للفترات، تتم الحسابات بنفس الطريقة كما في المتسلسلة المنفصلة - يتم ضرب الخيارات بالتكرارات (الأوزان) ويتم قسمة مجموع المنتجات على مجموع التكرارات (الأوزان) ألف روبل:

.

لذلك، فإن متوسط ​​\u200b\u200bمستوى الأجور للعاملين في JSC هو 729 روبل. كل شهر.

غالبًا ما يتطلب حساب المتوسط ​​الحسابي الكثير من الوقت والجهد. ومع ذلك، في عدد من الحالات، يمكن تبسيط وتسهيل إجراء حساب المتوسط ​​إذا كنت تستخدم خصائصه. دعونا نقدم (بدون برهان) بعض الخصائص الأساسية للوسط الحسابي.

الخاصية 1. إذا كانت جميع القيم الفردية للخاصية (أي. جميع الخيارات) تقليل أو زيادة أنامرات، ثم القيمة المتوسطة الخصائص الجديدة ستنخفض أو تزيد بالمقابل أنامرة واحدة.

الملكية 2. إذا تم تقليل جميع متغيرات الخاصية التي يتم حساب متوسطهاخياطة أو زيادة بالرقم أ، فإن الوسط الحسابي يتوافقفي الواقع سوف ينخفض ​​أو يزيد بنفس الرقم A.

الملكية 3. إذا تم تخفيض أوزان جميع الخيارات المتوسطة أو زيادة في ل مرات، فإن الوسط الحسابي لن يتغير.

كمتوسط ​​أوزان، بدلاً من المؤشرات المطلقة، يمكنك استخدام أوزان محددة في الإجمالي الإجمالي (الأسهم أو النسب المئوية). وهذا يبسط حسابات المتوسط.

ولتبسيط حسابات المتوسط، يتبعون مسار تقليل قيم الخيارات والترددات. يتم تحقيق أكبر قدر من التبسيط عندما أيتم تحديد قيمة أحد الخيارات المركزية، التي لها أعلى تردد، كـ / - قيمة الفاصل الزمني (للسلسلة ذات الفواصل الزمنية المتساوية). وتسمى الكمية أ بالنقطة المرجعية، ولذلك تسمى هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​“طريقة العد من الصفر الشرطي” أو "على طريق اللحظات."

لنفترض أن جميع الخيارات Xانخفض أولاً بنفس الرقم A، ثم انخفض بمقدار أنامرة واحدة. نحصل على سلسلة متنوعة جديدة من توزيع الخيارات الجديدة .

ثم خيارات جديدةسيتم التعبير عن:

,

ومتوسطهم الحسابي الجديد , -لحظة الطلب الأول-معادلة:

.

وهو يساوي متوسط ​​الخيارات الأصلية، تم تخفيضه أولاً بمقدار أ،ومن ثم في أنامرة واحدة.

للحصول على المتوسط ​​الحقيقي، هناك حاجة إلى لحظة من الدرجة الأولى م 1 ، اضرب ب أناو أضف أ:

.

تسمى هذه الطريقة لحساب الوسط الحسابي من سلسلة التباين "على طريق اللحظات."يتم استخدام هذه الطريقة في الصفوف على فترات متساوية.

يتم توضيح حساب الوسط الحسابي باستخدام طريقة اللحظات من خلال البيانات الواردة في الجدول. 4.4.

الجدول 4.4

توزيع المؤسسات الصغيرة في المنطقة حسب قيمة أصول الإنتاج الثابتة (FPF) عام 2000.

مجموعات الشركات حسب قيمة OPF، ألف روبل.	عدد المؤسسات F	نقاط منتصف الفواصل الزمنية س
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

العثور على لحظة الطلب الأول

.

ثم أخذ A = 19 ومعرفة ذلك أنا= 2، احسب X،ألف روبل.:

أنواع القيم المتوسطة وطرق حسابها

في مرحلة المعالجة الإحصائية، يمكن وضع مجموعة متنوعة من مشاكل البحث، لحلها من الضروري اختيار المتوسط ​​المناسب. في هذه الحالة، من الضروري الاسترشاد بالقاعدة التالية: الكميات التي تمثل بسط ومقام المتوسط ​​يجب أن تكون مرتبطة منطقيا ببعضها البعض.

• متوسطات الطاقة;
• المتوسطات الهيكلية.

دعونا نقدم الاتفاقيات التالية:

الكميات التي يتم حساب المتوسط ​​لها؛

المتوسط، حيث يشير الشريط أعلاه إلى حدوث متوسط ​​القيم الفردية؛

التردد (تكرار القيم المميزة الفردية).

يتم اشتقاق متوسطات مختلفة من صيغة متوسط ​​القدرة العامة:

(5.1)

عندما ك = 1 - الوسط الحسابي؛ ك = -1 - الوسط التوافقي؛ ك = 0 - الوسط الهندسي؛ ك = -2 - جذر متوسط ​​التربيع.

يمكن أن تكون القيم المتوسطة بسيطة أو مرجحة. المتوسطات المرجحةهذه هي القيم التي تأخذ في الاعتبار أن بعض متغيرات قيم السمات قد تحتوي على أرقام مختلفة، وبالتالي يجب ضرب كل خيار بهذا الرقم. وبعبارة أخرى، فإن "المقاييس" هي أعداد الوحدات الإجمالية في مجموعات مختلفة، أي. يتم "ترجيح" كل خيار حسب تردده. يسمى التردد f الوزن الإحصائيأو معدل الوزن.

المتوسط ​​الحسابي- النوع الأكثر شيوعا من المتوسط. يتم استخدامه عند إجراء الحساب على بيانات إحصائية غير مجمعة، حيث تحتاج إلى الحصول على الحد المتوسط. المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​قيمة الخاصية، وعند الحصول عليها يظل الحجم الإجمالي للخاصية في المجموع دون تغيير.

صيغة المتوسط ​​الحسابي ( بسيط) لديه النموذج

حيث n هو حجم السكان.

على سبيل المثال، يتم حساب متوسط ​​راتب موظفي المؤسسة على أنه المتوسط ​​الحسابي:

المؤشرات المحددة هنا هي راتب كل موظف وعدد موظفي المؤسسة. عند حساب المتوسط، بقي المبلغ الإجمالي للأجور كما هو، ولكن تم توزيعه بالتساوي بين جميع الموظفين. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب متوسط ​​راتب العمال في شركة صغيرة توظف 8 أشخاص:

عند حساب القيم المتوسطة، يمكن تكرار القيم الفردية للخاصية التي تم حساب متوسطها، وبالتالي يتم حساب القيمة المتوسطة باستخدام البيانات المجمعة. في هذه الحالة نحن نتحدث عن استخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح، والتي لديها النموذج

(5.3)

لذلك، نحن بحاجة إلى حساب متوسط ​​سعر أسهم شركة مساهمة في تداول البورصة. ومن المعلوم أن الصفقات تمت خلال 5 أيام (5 صفقات)، وتوزع عدد الأسهم المباعة بنسبة المبيعات على النحو التالي:

1 - 800 أك. - 1010 فرك.

2 - 650 ألف. - 990 فرك.

3 - 700 أك. - 1015 فرك.

4 - 550 أك. - 900 فرك.

5 - 850 أك. - 1150 فرك.

النسبة الأولية لتحديد متوسط ​​سعر الأسهم هي نسبة المبلغ الإجمالي للمعاملات (TVA) إلى عدد الأسهم المباعة (KPA).

القيمة المتوسطة هي مؤشر عام يميز المستوى النموذجي للظاهرة. يعبر عن قيمة الخاصية لكل وحدة من السكان.

القيمة المتوسطة هي:

1) القيمة الأكثر نموذجية للسمة بالنسبة للسكان؛

2) حجم السمة السكانية، موزعة بالتساوي بين وحدات السكان.

الخاصية التي يتم حساب القيمة المتوسطة لها تسمى "المتوسط" في الإحصائيات.

يقوم المتوسط ​​دائمًا بتعميم التباين الكمي للسمات، أي. في القيم المتوسطة، يتم القضاء على الفروق الفردية بين الوحدات في السكان بسبب الظروف العشوائية. وعلى النقيض من المتوسط، فإن القيمة المطلقة التي تميز مستوى خاصية وحدة فردية من السكان لا تسمح للمرء بمقارنة قيم الخاصية بين الوحدات التي تنتمي إلى مجموعات سكانية مختلفة. لذلك، إذا كنت بحاجة إلى مقارنة مستويات أجور العمال في مؤسستين، فلا يمكنك مقارنة اثنين من الموظفين في مؤسسات مختلفة على هذا الأساس. قد لا يكون تعويض العمال المختارين للمقارنة نموذجيًا لهذه المؤسسات. إذا قارنا حجم صناديق الأجور في المؤسسات قيد النظر، فلن يؤخذ عدد الموظفين في الاعتبار، وبالتالي، من المستحيل تحديد أين يكون مستوى الأجور أعلى. في نهاية المطاف، يمكن مقارنة المؤشرات المتوسطة فقط، أي. كم يكسب موظف واحد في المتوسط ​​في كل مؤسسة؟ وبالتالي، هناك حاجة لحساب القيمة المتوسطة كخاصية عامة للسكان.

من المهم ملاحظة أنه أثناء عملية حساب المتوسط، يجب أن تظل القيمة الإجمالية لمستويات السمات أو قيمتها النهائية (في حالة حساب المستويات المتوسطة في سلسلة ديناميكيات) دون تغيير. بمعنى آخر، عند حساب القيمة المتوسطة، لا ينبغي تشويه حجم الخاصية قيد الدراسة، ويجب بالضرورة أن تكون التعبيرات التي تم تجميعها عند حساب المتوسط ​​منطقية.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الشائعة؛ ينكر المؤشر المتوسط ​​ما هو مشترك (نموذجي) لجميع وحدات السكان قيد الدراسة، بينما يتجاهل في الوقت نفسه الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج من الصدفة والضرورة. عند حساب المتوسطات، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة، تلغي العشوائية وتتوازن، لذلك يمكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة، من القيم الكمية للخاصية في كل حالة محددة . إن القدرة على التجريد من عشوائية القيم الفردية والتقلبات تكمن في القيمة العلمية للمتوسطات كخصائص عامة للمجاميع.

ولكي يكون المتوسط ​​ممثلا حقا، يجب أن يتم حسابه مع مراعاة مبادئ معينة.

دعونا نتناول بعض المبادئ العامة لاستخدام المتوسطات.

1. يجب تحديد المتوسط ​​للسكان الذين يتكونون من وحدات متجانسة نوعيا.

2. يجب حساب المتوسط ​​لمجموعة سكانية تتكون من عدد كبير بما فيه الكفاية من الوحدات.

3. يجب حساب المتوسط ​​للسكان الذين تكون وحداتهم في حالة طبيعية طبيعية.

4. يجب أن يتم حساب المتوسط ​​مع الأخذ في الاعتبار المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة.

5.2. أنواع المتوسطات وطرق حسابها

دعونا الآن نفكر في أنواع القيم المتوسطة وميزات حسابها ومجالات تطبيقها. تنقسم القيم المتوسطة إلى فئتين كبيرتين: متوسطات الطاقة، والمتوسطات الهيكلية.

وتشمل وسائل القوة الأنواع الأكثر شهرة واستخداما، مثل الوسط الهندسي والمتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​المربع.

يعتبر الوضع والوسيط بمثابة متوسطات هيكلية.

دعونا نركز على متوسطات الطاقة. يمكن أن تكون متوسطات القدرة، اعتمادًا على عرض البيانات المصدر، بسيطة أو مرجحة. متوسط ​​بسيطويتم حسابه بناءً على بيانات غير مجمعة وله النموذج العام التالي:

,

حيث X i هو متغير (قيمة) الخاصية التي يتم حساب متوسطها؛

ن - خيار الرقم.

متوسط ​​الوزنيتم حسابه بناءً على بيانات مجمعة وله مظهر عام

,

حيث X i هي متغير (قيمة) الخاصية التي يتم حساب متوسطها أو القيمة الوسطى للفاصل الزمني الذي يتم قياس المتغير فيه؛

م - مؤشر الدرجة المتوسطة.

f i - تردد يوضح عدد المرات التي تحدث فيها قيمة i-e للخاصية المتوسطة.

إذا قمت بحساب جميع أنواع المتوسطات لنفس البيانات الأولية، فستكون قيمها مختلفة. تنطبق هنا قاعدة أغلبية المتوسطات: مع زيادة الأس m، تزداد القيمة المتوسطة المقابلة أيضًا:

في الممارسة الإحصائية، يتم استخدام الوسائل الحسابية والوسائل المرجحة التوافقية في كثير من الأحيان أكثر من الأنواع الأخرى من المتوسطات المرجحة.

أنواع القوة يعني

نوع من القوة متوسط	فِهرِس درجة (م)	صيغة الحساب
		بسيط	موزون
متناسق
هندسي
علم الحساب
تربيعي
مكعب

المتوسط ​​التوافقي له بنية أكثر تعقيدا من الوسط الحسابي. يتم استخدام الوسط التوافقي في العمليات الحسابية عندما لا يتم استخدام وحدات السكان - حاملات الخاصية - كأوزان، ولكن يتم استخدام حاصل ضرب هذه الوحدات بقيم الخاصية (أي m = Xf). يجب اللجوء إلى المتوسط ​​التوافقي البسيط في حالات التحديد، على سبيل المثال، متوسط ​​تكلفة العمالة والوقت والمواد لكل وحدة إنتاج، لكل جزء واحد لمؤسستين (ثلاثة، أربعة، إلخ) والعمال العاملين في التصنيع من نفس نوع المنتج، نفس الجزء، المنتج.

الشرط الرئيسي لصيغة حساب القيمة المتوسطة هو أن جميع مراحل الحساب لها مبرر حقيقي ذي معنى؛ يجب أن تحل القيمة المتوسطة الناتجة محل القيم الفردية للسمة لكل كائن دون تعطيل الاتصال بين المؤشرات الفردية والموجزة. بمعنى آخر، يجب حساب القيمة المتوسطة بحيث أنه عندما يتم استبدال كل قيمة فردية للمؤشر المتوسط ​​بقيمتها المتوسطة، فإن بعض المؤشرات الموجزة النهائية، المرتبطة بطريقة أو بأخرى بالمؤشر المتوسط، تظل دون تغيير. ويسمى هذا المجموع تعريفحيث أن طبيعة علاقتها بالقيم الفردية تحدد الصيغة المحددة لحساب القيمة المتوسطة. دعونا نوضح هذه القاعدة باستخدام مثال الوسط الهندسي.

صيغة المتوسط ​​الهندسي

يتم استخدامه في أغلب الأحيان عند حساب القيمة المتوسطة بناءً على الديناميكيات النسبية الفردية.

يتم استخدام الوسط الهندسي إذا تم إعطاء تسلسل من الديناميكيات النسبية للسلسلة، مما يشير، على سبيل المثال، إلى زيادة في حجم الإنتاج مقارنة بمستوى العام السابق: i 1, i 2, i 3,…, i n. من الواضح أن حجم الإنتاج في العام الماضي يتحدد بمستواه الأولي (ف 0) والزيادة اللاحقة على مر السنين:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

بأخذ q n كمؤشر محدد واستبدال القيم الفردية لمؤشرات الديناميكيات بقيم متوسطة، نصل إلى العلاقة

من هنا

يستخدم نوع خاص من القيم المتوسطة - المتوسطات الهيكلية - لدراسة البنية الداخلية لسلسلة توزيع قيم السمات، وكذلك لتقدير القيمة المتوسطة (نوع الطاقة)، ​​إذا كانت حسب البيانات الإحصائية المتوفرة لا يمكن إجراء الحساب (على سبيل المثال، إذا لم تكن هناك بيانات في المثال قيد النظر عن حجم الإنتاج ومقدار التكاليف حسب مجموعة المؤسسات).

تُستخدم المؤشرات في أغلب الأحيان كمتوسطات هيكلية موضة -القيمة الأكثر تكرارًا للسمة – و الوسيطات –قيمة الخاصية التي تقسم التسلسل المرتب لقيمها إلى جزأين متساويين. ونتيجة لذلك، بالنسبة لنصف الوحدات في المجتمع، لا تتجاوز قيمة السمة المستوى المتوسط، وبالنسبة للنصف الآخر لا تقل عنه.

إذا كانت الخاصية قيد الدراسة لها قيم منفصلة، ​​فلا توجد صعوبات خاصة في حساب المنوال والوسيط. إذا تم تقديم البيانات المتعلقة بقيم السمة X في شكل فترات زمنية مرتبة لتغييرها (سلسلة الفواصل الزمنية)، يصبح حساب الوضع والوسيط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. نظرًا لأن القيمة المتوسطة تقسم المجموعة بأكملها إلى جزأين متساويين، فإنها تنتهي في إحدى الفواصل الزمنية للخاصية X. باستخدام الاستيفاء، يتم العثور على قيمة الوسيط في هذه الفترة المتوسطة:

,

حيث X Me هو الحد الأدنى للفاصل الزمني المتوسط؛

ح أنا - قيمته؛

(Sum m)/2 - نصف العدد الإجمالي للملاحظات أو نصف حجم المؤشر المستخدم كترجيح في صيغ حساب القيمة المتوسطة (بالقيمة المطلقة أو النسبية)؛

S Me-1 – مجموع الملاحظات (أو حجم سمة الترجيح) المتراكمة قبل بداية الفاصل الزمني المتوسط؛

m Me - عدد الملاحظات أو حجم خاصية الترجيح في الفترة المتوسطة (أيضًا بالقيمة المطلقة أو النسبية).

عند حساب القيمة النموذجية للخاصية بناءً على بيانات سلسلة الفاصل الزمني، من الضروري الانتباه إلى حقيقة أن الفواصل الزمنية متطابقة، حيث يعتمد مؤشر التكرار لقيم الخاصية X على ذلك. سلسلة فاصلة بفواصل زمنية متساوية، يتم تحديد حجم الوضع على أنه

,

حيث X Mo هي القيمة الأدنى للفاصل الزمني المشروط؛

m Mo - عدد الملاحظات أو حجم خاصية الترجيح في الفاصل الزمني المشروط (بالقيمة المطلقة أو النسبية)؛

m Mo-1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الذي يسبق الفاصل المشروط؛

m Mo+1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الذي يلي الفترة المشروطة؛

ح - قيمة الفاصل الزمني لتغيير الخاصية في المجموعات.

مهمة 1

البيانات التالية متاحة لمجموعة المؤسسات الصناعية للسنة المشمولة بالتقرير

№ الشركات	حجم المنتج مليون روبل.		متوسط ​​عدد الموظفين، الناس.	الربح ألف روبل
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

يشترط تجميع المؤسسات لتبادل المنتجات، مع مراعاة الفترات التالية:

ما يصل إلى 200 مليون روبل


من 200 إلى 400 مليون روبل.


1. من 400 إلى 600 مليون روبل.
   

   بالنسبة لكل مجموعة وللجميع معًا، حدد عدد المؤسسات وحجم الإنتاج ومتوسط ​​عدد الموظفين ومتوسط ​​الإنتاج لكل موظف. عرض نتائج التجميع في شكل جدول إحصائي. صياغة الاستنتاج.
   

   حل
   

   سنقوم بتجميع المؤسسات حسب تبادل المنتجات، وحساب عدد المؤسسات وحجم الإنتاج ومتوسط ​​عدد الموظفين باستخدام صيغة المتوسط ​​البسيط. يتم تلخيص نتائج التجميع والحسابات في جدول.
   

   المجموعات حسب حجم المنتج	№ الشركات	حجم المنتج مليون روبل.	متوسط ​​التكلفة السنوية للأصول الثابتة مليون روبل.	النوم المتوسط عدد كبير من الموظفين والناس.	الربح ألف روبل	متوسط ​​الإنتاج لكل موظف
   1 مجموعة ما يصل إلى 200 مليون روبل	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   مستوى متوسط		198,3			24,9
   المجموعة الثانية من 200 إلى 400 مليون روبل.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   مستوى متوسط		282,3	37,6	1530	64,0
   3 مجموعة من 400 إلى 600 مليون	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   مستوى متوسط		512,9	34,4	1421	120,9
   المجموع في المجموع		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   في المتوسط		379,6	59,9	1223,6	79,5

   خاتمة. وهكذا، من بين السكان قيد النظر، يقع أكبر عدد من الشركات من حيث حجم الإنتاج في المجموعة الثالثة - سبعة أو نصف الشركات. متوسط ​​التكلفة السنوية للأصول الثابتة موجود أيضًا في هذه المجموعة، بالإضافة إلى متوسط ​​عدد كبير من الموظفين - 9974 شخصًا؛ مؤسسات المجموعة الأولى هي الأقل ربحية.
   

   المهمة 2
   

   البيانات التالية متاحة عن مؤسسات الشركة
   

   رقم المنشأة المدرجة في الشركة	أنا الربع		الربع الثاني
   	إنتاج المنتج ألف روبل.		أيام عمل العمال	متوسط ​​الإنتاج لكل عامل في اليوم، فرك.
   	59390,13