الكسور العادية. التعاريف والخصائص. تحويل الكسور المنطقية (الجبرية) وأنواع التحويلات والأمثلة الخاصية الرئيسية للكسر العادي، اختزال الكسور

عند دراسة الكسور العادية، نواجه مفاهيم الخصائص الأساسية للكسر. من الضروري صياغة مبسطة لحل الأمثلة ذات الكسور العادية. تتضمن هذه المقالة النظر في الكسور الجبرية وتطبيق خاصية أساسية عليها، والتي سيتم صياغتها مع أمثلة لنطاق تطبيقها.

الصياغة والأساس المنطقي

الخاصية الرئيسية للكسر لها الشكل:

التعريف 1

عندما يتم ضرب البسط والمقام أو قسمتهما في نفس الوقت على نفس الرقم، تظل قيمة الكسر دون تغيير.

أي أننا حصلنا على أن a · m b · m = a b و a: m b: m = a b متساويان، حيث a b = a · m b · m و a b = a: m b: m تعتبر عادلة. القيم a، b، m هي بعض الأعداد الطبيعية.

يمكن تمثيل قسمة البسط والمقام على رقم بالشكل a · m b · m = a b . وهذا مشابه لحل المثال 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. عند القسمة، يتم استخدام المساواة بالشكل a: m b: m = a b، ثم 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. ويمكن أيضًا تمثيلها بالشكل a · m b · m = a b، أي 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

أي أن الخاصية الرئيسية للكسر أ · م ب · م = أ ب و أ ب = أ · م ب · م سيتم النظر فيها بالتفصيل على النقيض من أ: م ب: م = أ ب و ب = أ: م ب: م.

إذا كان البسط والمقام يحتويان على أعداد حقيقية، فإن هذه الخاصية تنطبق. تحتاج أولاً إلى إثبات صحة عدم المساواة المكتوبة لجميع الأعداد. أي إثبات وجود a · m b · m = a b لجميع الحقيقي a , b , m حيث b و m قيمتان غير صفرية لتجنب القسمة على صفر.

الدليل 1

دع جزءًا من النموذج a b يعتبر جزءًا من السجل z، بمعنى آخر، a b = z، فمن الضروري إثبات أن a · m b · m يتوافق مع z، أي إثبات a · m b · m = z . فهذا سيسمح لنا بإثبات وجود المساواة a · m b · m = a b .

يمثل خط الكسر علامة القسمة. وبتطبيق العلاقة مع الضرب والقسمة نجد أنه من a b = z بعد التحويل نحصل على a = b · z. وفقًا لخصائص المتباينات العددية، يجب ضرب طرفي المتراجحة برقم غير الصفر. ثم نضرب في العدد m فنحصل على a · m = (b · z) · m. بالملكية، يحق لنا كتابة التعبير على الصورة a · m = (b · m) · z. وهذا يعني أنه من التعريف يترتب على ذلك أن ب = ض. هذا كل ما يثبت التعبير a · m b · m = a b .

إن مساواة الشكل a · m b · m = a b و a b = a · m b · m تكون منطقية عندما تكون هناك كثيرات الحدود بدلاً من a , b , m، وبدلاً من b و m تكون غير صفرية.

الخاصية الرئيسية للكسر الجبري: عندما نضرب البسط والمقام بنفس الرقم في نفس الوقت، نحصل على تعبير مطابق للتعبير الأصلي.

تعتبر الخاصية صالحة، لأن الإجراءات ذات الحدود المتعددة تتوافق مع الإجراءات ذات الأرقام.

مثال 1

دعونا نلقي نظرة على مثال الكسر 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3. من الممكن التحويل إلى الصيغة 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

تم إجراء الضرب في كثير الحدود x 2 + 2 · x · y. بنفس الطريقة، تساعد الخاصية الرئيسية على التخلص من x 2، الموجودة في جزء معين من النموذج 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) إلى النموذج 5 x + 5 x 3 + 3. وهذا ما يسمى التبسيط.

يمكن كتابة الخاصية الرئيسية كتعبيرات a · m b · m = a b و a b = a · m b · m، عندما تكون a، b، m كثيرة الحدود أو متغيرات عادية، ويجب أن تكون b وm غير صفر.

مجالات تطبيق الخاصية الأساسية للكسر الجبري

تطبيق الخاصية الرئيسية مناسب للاختزال إلى مقام جديد أو عند اختزال الكسر.

التعريف 2

التخفيض إلى قاسم مشترك هو ضرب البسط والمقام في كثير حدود مماثل للحصول على واحد جديد. الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.

أي جزء من الصورة x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 عند ضربه في x 2 + 1 واختزاله إلى مقام مشترك (x + 1) · (x 2 + 1) ) سوف تتلقى النموذج x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

بعد إجراء العمليات على كثيرات الحدود نجد أن الكسر الجبري قد تحول إلى x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

يتم أيضًا إجراء التخفيض إلى قاسم مشترك عند إضافة أو طرح الكسور. إذا تم إعطاء المعاملات الكسرية، فيجب أولا إجراء التبسيط، مما سيؤدي إلى تبسيط المظهر وتحديد القاسم المشترك. على سبيل المثال، 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

يتم تطبيق الخاصية عند تقليل الكسور على مرحلتين: تحليل البسط والمقام إلى عوامل للعثور على المشترك m، ثم الانتقال إلى نوع الكسر a b، على أساس المساواة في الشكل a · m b · م = أ ب.

إذا تحول جزء من الصورة 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 بعد التوسيع إلى x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y، فمن الواضح أن المضاعف العام سوف تكون كثيرة الحدود 4 × 2 - y. بعد ذلك سيكون من الممكن تقليل الكسر وفقًا لخاصيته الرئيسية. لقد حصلنا على ذلك

س (4 × 2 - ص) 4 × 2 - ص 4 × 2 + ص = س 4 × 2 + ص. تم تبسيط الكسر، ثم عند استبدال القيم، سيكون من الضروري تنفيذ إجراءات أقل بكثير مما كانت عليه عند الاستبدال في الأصل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

من دورة الجبر المدرسية ننتقل إلى التفاصيل. في هذه المقالة سوف ندرس بالتفصيل نوع خاص من التعبيرات العقلانية - الكسور العقلانية، وفكر أيضًا في الخصائص المتطابقة تحويلات الكسور العقلانيةتجري.

دعونا نلاحظ على الفور أن الكسور العقلانية بالمعنى الذي نعرّفها به أدناه تسمى الكسور الجبرية في بعض كتب الجبر المدرسية. أي أننا في هذه المقالة سوف نفهم الكسور المنطقية والجبرية على أنها نفس الشيء.

كالعادة، لنبدأ بالتعريف والأمثلة. سنتحدث بعد ذلك عن جلب الكسر النسبي إلى مقام جديد وتغيير إشارات أعضاء الكسر. بعد ذلك، سننظر في كيفية تقليل الكسور. أخيرًا، دعونا ننظر إلى تمثيل الكسر العقلاني كمجموع لعدة كسور. سنقدم جميع المعلومات مع الأمثلة والأوصاف التفصيلية للحلول.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الكسور العقلانية

تتم دراسة الكسور المنطقية في دروس الجبر للصف الثامن. سوف نستخدم تعريف الكسر العقلاني الوارد في كتاب الجبر المدرسي للصف الثامن من تأليف Yu.N. Makarychev et al.

لا يحدد هذا التعريف ما إذا كانت كثيرات الحدود في البسط والمقام للكسر العقلاني يجب أن تكون كثيرة الحدود بالشكل القياسي أم لا. لذلك، سنفترض أن رموز الكسور النسبية يمكن أن تحتوي على كثيرات الحدود القياسية وغير القياسية.

وهنا عدد قليل أمثلة على الكسور العقلانية. لذلك، س / 8 و - الكسور العقلانية. والكسور ولا تتناسب مع التعريف المعلن للكسر العقلاني، حيث أن البسط في الأول منهما لا يحتوي على كثيرة الحدود، وفي الثانية، يحتوي كل من البسط والمقام على تعبيرات ليست كثيرة الحدود.

تحويل البسط والمقام للكسر العقلاني

بسط ومقام أي كسر عبارة عن تعبيرات رياضية مكتفية ذاتيًا؛ في حالة الكسور المنطقية، تكون هذه كثيرة الحدود؛ وفي حالة معينة، أحادية الحد والأرقام. لذلك، يمكن إجراء تحويلات متطابقة مع بسط ومقام الكسر النسبي، كما هو الحال مع أي تعبير. بمعنى آخر، يمكن استبدال التعبير الموجود في بسط الكسر النسبي بتعبير متساوٍ تمامًا، تمامًا مثل المقام.

يمكنك إجراء تحويلات متطابقة في البسط والمقام للكسر العقلاني. على سبيل المثال، في البسط يمكنك تجميع المصطلحات المتشابهة وتقليلها، وفي المقام يمكنك استبدال حاصل ضرب عدة أرقام بقيمته. وبما أن البسط والمقام للكسر العقلاني هما متعددو الحدود، فمن الممكن إجراء تحويلات مميزة لكثيرات الحدود معهم، على سبيل المثال، الاختزال إلى شكل قياسي أو التمثيل في شكل منتج.

من أجل الوضوح، دعونا نفكر في حلول لعدة أمثلة.

مثال.

تحويل الكسر العقلاني بحيث يحتوي البسط على كثيرة حدود ذات صيغة قياسية، والمقام يحتوي على حاصل ضرب كثيرات الحدود.

حل.

يُستخدم اختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد بشكل أساسي في جمع وطرح الكسور المنطقية.

تغيير العلامات أمام الكسر، وكذلك في بسطه ومقامه

يمكن استخدام الخاصية الرئيسية للكسر لتغيير علامات أعضاء الكسر. في الواقع، ضرب بسط ومقام الكسر المنطقي في -1 يعادل تغيير إشاراتهما، والنتيجة هي كسر مساوٍ تمامًا للكسر المعطى. يجب استخدام هذا التحويل كثيرًا عند التعامل مع الكسور المنطقية.

وبالتالي، إذا قمت بتغيير علامات البسط والمقام في وقت واحد للكسر، فستحصل على كسر مساوٍ للكسر الأصلي. ويرد على هذا البيان بالمساواة.

دعونا نعطي مثالا. يمكن استبدال الكسر العقلاني بكسر متساوٍ تمامًا مع تغيير علامات البسط والمقام في النموذج.

باستخدام الكسور، يمكنك إجراء تحويل مماثل آخر، حيث تتغير إشارة البسط أو المقام. دعونا نذكر القاعدة المقابلة. إذا قمت باستبدال إشارة الكسر مع إشارة البسط أو المقام، فستحصل على كسر مساوٍ تمامًا للكسر الأصلي. البيان المكتوب يتوافق مع المساواة و .

وإثبات هذه المساواة ليس بالأمر الصعب. يعتمد الدليل على خصائص ضرب الأعداد. فلنثبت أولها : . باستخدام تحويلات مماثلة، تم إثبات المساواة.

على سبيل المثال، يمكن استبدال الكسر بالتعبير أو.

في ختام هذه النقطة، نقدم اثنين من المساواة المفيدة و. أي أنه إذا قمت بتغيير إشارة البسط فقط أو المقام فقط، فإن الكسر سيغير إشارته. على سبيل المثال، و .

غالبًا ما تُستخدم التحويلات المدروسة، والتي تسمح بتغيير إشارة حدود الكسر، عند تحويل التعبيرات المنطقية الكسرية.

تقليل الكسور العقلانية

التحويل التالي للكسور المنطقية، والذي يسمى اختزال الكسور المنطقية، يعتمد على نفس الخاصية الأساسية للكسر. يتوافق هذا التحويل مع المساواة، حيث a وb وc هي بعض كثيرات الحدود، وb وc غير صفرية.

ومن المساواة المذكورة أعلاه يتضح أن تخفيض الكسر العقلاني يعني التخلص من العامل المشترك في بسطه ومقامه.

مثال.

إلغاء الكسر العقلاني.

حل.

العامل المشترك 2 مرئي على الفور، فلنجري الاختزال به (عند الكتابة، من المناسب شطب العوامل المشتركة التي يتم الاختزال بها). لدينا . بما أن x 2 =x x و y 7 = y 3 y 4 (انظر إذا لزم الأمر)، فمن الواضح أن x عامل مشترك بين البسط والمقام للكسر الناتج، كما هو الحال مع y 3. دعونا نقلل من خلال هذه العوامل: . هذا يكمل التخفيض.

أعلاه قمنا بتخفيض الكسور العقلانية بالتتابع. أو كان من الممكن إجراء الاختزال في خطوة واحدة، مما يؤدي على الفور إلى تقليل الكسر بمقدار 2 x y 3. في هذه الحالة سيكون الحل كالتالي: .

إجابة:

.

عند تقليل الكسور المنطقية، المشكلة الرئيسية هي أن العامل المشترك للبسط والمقام ليس مرئيًا دائمًا. علاوة على ذلك، فهو ليس موجودًا دائمًا. للعثور على عامل مشترك أو التحقق من غيابه، عليك تحليل بسط ومقام الكسر النسبي. إذا لم يكن هناك عامل مشترك، فلا حاجة إلى تقليل الكسر العقلاني الأصلي، وإلا فسيتم إجراء التخفيض.

يمكن أن تنشأ فروق دقيقة مختلفة في عملية تقليل الكسور العقلانية. تمت مناقشة التفاصيل الدقيقة الرئيسية في المقالة لتقليل الكسور الجبرية باستخدام الأمثلة وبالتفصيل.

في ختام الحديث عن اختزال الكسور المنطقية، نلاحظ أن هذا التحويل متطابق، وتكمن الصعوبة الرئيسية في تنفيذه في تحليل كثيرات الحدود في البسط والمقام.

تمثيل الكسر العقلاني كمجموع الكسور

محدد تمامًا، ولكن في بعض الحالات مفيد جدًا، هو تحويل الكسر العقلاني، والذي يتكون من تمثيله كمجموع عدة كسور، أو مجموع تعبير كامل وكسر.

يمكن دائمًا كتابة الكسر العقلاني، الذي يحتوي بسطه على كثيرة حدود تمثل مجموع عدة أحاديات، كمجموع كسور لها نفس المقامات، والتي تحتوي بسطاتها على أحاديات الحد المقابلة. على سبيل المثال، . يتم تفسير هذا التمثيل من خلال قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة.

بشكل عام، يمكن التعبير عن أي كسر كسري كمجموع الكسور بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكسر a/b كمجموع كسرين - كسر عشوائي c/d وكسر يساوي الفرق بين الكسرين a/b وc/d. وهذا القول صحيح، لأن المساواة قائمة . على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكسر العقلاني كمجموع الكسور بطرق مختلفة: لنتخيل الكسر الأصلي كمجموع تعبير عدد صحيح وكسر. وبقسمة البسط على المقام بعمود نحصل على المساواة . قيمة التعبير n 3 +4 لأي عدد صحيح n هي عدد صحيح. وتكون قيمة الكسر عددًا صحيحًا إذا وفقط إذا كان مقامه 1 أو −1 أو 3 أو −3. تتوافق هذه القيم مع القيم n=3 و n=1 و n=5 و n=−1 على التوالي.

إجابة:

−1 , 1 , 3 , 5 .

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 13، المراجعة. - م: منيموسين، 2009. - 160 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01198-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

تمت مناقشته بالتفصيل الخاصية الرئيسية للكسروقد تقدمت صياغته، وقدمت برهانًا ومثالًا. يؤخذ في الاعتبار أيضًا تطبيق الخاصية الأساسية للكسر عند اختزال الكسور واختزال الكسور إلى مقام جديد.

التنقل في الصفحة.

الخاصية الرئيسية للكسر هي الصياغة والإثبات والأمثلة التوضيحية

دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح الخاصية الأساسية للكسر. لنفترض أن لدينا مربعًا مقسمًا إلى 9 مربعات "كبيرة"، وكل مربع من هذه المربعات "الكبيرة" مقسم إلى 4 مربعات "صغيرة". وبالتالي، يمكننا أيضًا أن نقول إن المربع الأصلي مقسم إلى 4 9 = 36 مربعًا "صغيرًا". لنرسم 5 مربعات "كبيرة". في هذه الحالة، 4·5=20 مربعًا "صغيرًا" سيتم تظليلها. هنا رسم يتوافق مع مثالنا.

الجزء المظلل هو 5/9 من المربع الأصلي، أو، وهو نفسه، 20/36 من المربع الأصلي، أي أن الكسور 5/9 و 20/36 متساوية: أو. من هذه التساويات، وكذلك من التساويات 20=5·4، 36=9·4، 20:4=5 و36:4=9، يتبع ذلك و.

لدمج المادة المفككة، فكر في حل المثال.

مثال.

تم ضرب البسط والمقام لبعض الكسر المشترك في 62، وبعد ذلك تم تقسيم البسط والمقام للكسر الناتج على 2. هل الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي؟

حل.

ضرب بسط ومقام الكسر في أي عدد طبيعي، خاصة في 62، يعطي كسرًا، نظرًا للخاصية الأساسية للكسر، يساوي الكسر الأصلي. الخاصية الرئيسية للكسر تسمح لنا بالقول أنه بعد قسمة البسط والمقام للكسر الناتج على 2، فإن الكسر الناتج سيكون مساويا للكسر الأصلي.

إجابة:

نعم، الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.

تطبيق الخاصية الأساسية للكسر

تُستخدم الخاصية الأساسية للكسر بشكل أساسي في حالتين: أولاً، عند اختزال الكسور إلى مقام جديد، وثانيًا، عند اختزال الكسور.

تسمح لك الخاصية الرئيسية للكسر بتقليل الكسور، ونتيجة لذلك، انتقل من الكسر الأصلي إلى كسر مساوٍ، ولكن ببسط ومقام أصغر. يتكون تقليل الكسر من قسمة بسط ومقام الكسر الأصلي على أي بسط ومقام موجب غير واحد (إذا لم يكن هناك مثل هذه المقسومات المشتركة، فإن الكسر الأصلي غير قابل للاختزال، أي لا يمكن اختزاله). على وجه الخصوص، فإن القسمة على ستؤدي إلى تقليل الكسر الأصلي إلى شكل غير قابل للاختزال.

فهرس.

• فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف إيه.إس.، شفارتسبورد إس.آي. الرياضيات: كتاب مدرسي للصف الخامس. المؤسسات التعليمية.
• فيلينكين ن.يا. وغيرها الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

في هذا الدرس سوف نلقي نظرة على الخاصية الرئيسية للكسور الجبرية. تعد القدرة على تطبيق هذه الخاصية بشكل صحيح وبدون أخطاء إحدى أهم المهارات الأساسية في كامل دورة الرياضيات المدرسية وسيتم مواجهتها ليس فقط خلال دراسة هذا الموضوع، ولكن أيضًا في جميع أقسام الرياضيات التي سيتم دراستها في المستقبل تقريبًا . لقد درسنا بالفعل اختزال الكسور العادية، وفي هذا الدرس سنتناول اختزال الكسور النسبية. على الرغم من الاختلاف الخارجي الكبير الموجود بين الكسور العقلانية والعادية، إلا أن لديهم الكثير من القواسم المشتركة، أي أن الكسور العادية والعادية لها نفس الخاصية الأساسية والقواعد العامة لإجراء العمليات الحسابية. كجزء من الدرس، سنتعرف على مفاهيم تبسيط الكسر وضرب وقسمة البسط والمقام بنفس التعبير - وننظر إلى الأمثلة.

دعونا نتذكر الأساسيات خاصية الكسر المشترك: لا تتغير قيمة الكسر إذا تم ضرب أو قسمة بسطه ومقامه على نفس الرقم غير الصفر. تذكر أن قسمة بسط ومقام الكسر على نفس العدد غير الصفر تسمى تخفيض.

على سبيل المثال: في هذه الحالة لا يتغير معنى الكسور. ومع ذلك، عند تطبيق هذه الخاصية، غالبًا ما يرتكب العديد من الأشخاص أخطاء معيارية:

1) - في المثال المذكور، حدث خطأ في قسمة حد واحد فقط من البسط على 2، وليس البسط بأكمله. يبدو التسلسل الصحيح للإجراءات كما يلي: أو .

2) - هنا نرى خطأ مماثلا، بالإضافة إلى ذلك، نتيجة للقسمة، يتم الحصول على 0، وليس 1، وهو خطأ أكثر شيوعا وخطورة.

الآن نحن بحاجة إلى المضي قدما للنظر فيها جزء جبري. دعونا نتذكر هذا المفهوم من الدرس السابق.

تعريف.الكسر العقلاني (الجبري).هو تعبير كسري للنموذج، حيث توجد كثيرات الحدود. - البسط والمقام.

الكسور الجبرية هي، بمعنى ما، تعميم للكسور العادية ويمكن إجراء نفس العمليات عليها كما هو الحال مع الكسور العادية.

يمكن ضرب كل من البسط والمقام للكسر وتقسيمهما على نفس كثيرة الحدود (أحادية الحد) أو على رقم آخر غير الصفر. سيكون هذا هو التحويل المطابق للكسر الجبري. تذكر أنه، كما في السابق، فإن قسمة بسط ومقام الكسر على نفس التعبير غير الصفري تسمى تخفيض.

الخاصية الرئيسية للكسر الجبرييسمح لك بتقليل الكسور وتقليلها إلى أدنى قاسم مشترك.

لتقليل الكسور العادية لجأنا إليها النظرية الأساسية للحساب، حلل كل من البسط والمقام إلى عوامل أولية.

تعريف.رقم اولي- عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسه. تسمى جميع الأعداد الطبيعية الأخرى أرقامًا مركبة. 1 ليس رقمًا أوليًا ولا مركبًا.

مثال 1.أ) حيث تكون العوامل التي تنقسم إليها بسط ومقامات الكسور المشار إليها هي أعداد أولية.

إجابة.; .

لذلك، ل تقليل الكسوريجب عليك أولًا تحليل بسط الكسر ومقامه، ثم تقسيمهما إلى عوامل مشتركة. أولئك. يجب أن تعرف كيفية تحليل كثيرات الحدود.

مثال 2.تقليل الكسر أ) , ب) ، ج) .

حل. أ). تجدر الإشارة إلى أن البسط هو مربع كامل، والمقام هو الفرق بين المربعين. وبعد الاختصار يجب الإشارة إلى ذلك لتجنب القسمة على صفر.

ب) . المقام هو العامل العددي المشترك، وهو أمر مفيد في أي حالة تقريبًا حيثما أمكن ذلك. وكما في المثال السابق نشير إلى ذلك.

الخامس) . في المقام نخرج الطرح (أو رسميًا ). لا تنس أنه عند تقليل .

إجابة.;; .

الآن دعونا نعطي مثالا على اختزال قاسم مشترك، ويتم ذلك بنفس الطريقة مع الكسور العادية.

مثال 3.

حل.للعثور على القاسم المشترك الأدنى، عليك أن تجد أقل مضاعف مشترك (شهادة عدم الممانعة) قاسمين، أي. لوك (3؛ 5). بمعنى آخر، ابحث عن أصغر عدد يقبل القسمة على 3 و5 في نفس الوقت. من الواضح أن هذا هو الرقم 15، ويمكن كتابته بهذه الطريقة: LCM(3;5)=15 - سيكون هذا هو القاسم المشترك لهذه الكسور.

لتحويل المقام من 3 إلى 15، يجب ضربه في 5، ولتحويل 5 إلى 15، يجب ضربه في 3. وفقًا للخاصية الأساسية للكسر الجبري، يجب ضربه في نفس الأرقام والعدد البسط المقابلة للكسور المشار إليها.

إجابة.; .

مثال 4.تقليل الكسور وإلى قاسم مشترك.

حل.لنقم بتنفيذ إجراءات مشابهة للمثال السابق. المضاعف المشترك الأصغر للمقامات LCM(12;18)=36. لنحضر كلا الكسرين إلى هذا المقام:

و .

إجابة.; .

الآن دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي توضح استخدام تقنيات اختزال الكسور لتبسيطها في الحالات الأكثر تعقيدًا.

مثال 5.احسب قيمة الكسر: أ) ، ب) ، ج) .

أ) . عند الاختصار نستخدم قاعدة تقسيم السلطات.

بعد أن كررنا الاستخدام الخاصية الرئيسية للكسر المشتركيمكننا الانتقال إلى النظر في الكسور الجبرية.

مثال 6.قم بتبسيط الكسر وحساب القيم المعطاة للمتغيرات: أ) ؛ ، ب) ؛

حل.عند الاقتراب من الحل، يكون الخيار التالي ممكنًا - قم فورًا باستبدال قيم المتغيرات والبدء في حساب الكسر، لكن في هذه الحالة يصبح الحل أكثر تعقيدًا ويزداد الوقت اللازم لحله، ناهيك عن خطورته من ارتكاب الأخطاء في الحسابات المعقدة. لذلك، من الملائم أولاً تبسيط التعبير بشكل حرفي، ثم استبدال قيم المتغيرات.

أ) . عند التخفيض بعامل، من الضروري التحقق مما إذا كان يصل إلى الصفر في قيم المتغير المحددة. عند الاستبدال نحصل على مما يجعل من الممكن التخفيض بهذا العامل.

ب) . نضع علامة ناقص في المقام، كما فعلنا بالفعل مثال 2. عند التبسيط، نتحقق مرة أخرى مما إذا كنا نقسم على صفر: .

إجابة.; .

مثال 7.اختزل الكسور أ) و ب) و و ج) إلى قاسم مشترك.

حل.أ) في هذه الحالة، سنتعامل مع الحل بالطريقة التالية: لن نستخدم مفهوم المضاعف المشترك الأصغر، كما في المثال الثاني، ولكن ببساطة نضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني والعكس صحيح - سيسمح لنا ذلك بتقريب الكسور إلى نفس المقام. بالطبع، لا تنس ضرب بسط الكسور في نفس التعبيرات.

. تم فتح الأقواس في البسط، واستخدمت صيغة فرق المربعات في المقام.

. إجراءات مماثلة.

يمكن ملاحظة أن هذه الطريقة تسمح لك بضرب مقام وبسط كسر واحد في العنصر المفقود من مقام الكسر الثاني. يتم تنفيذ إجراءات مماثلة مع كسر آخر، ويتم تقليل المقامات إلى قيمة مشتركة.

ب) لنقم بنفس الخطوات كما في الفقرة السابقة:

. دعونا نضرب البسط والمقام في عنصر مقام الكسر الثاني المفقود (في هذه الحالة، في المقام بأكمله).

. على نفس المنوال.

الخامس) . في هذه الحالة، ضربنا 3 (عامل موجود في مقام الكسر الثاني وغائب في الأول).

.

إجابة. أ) ؛ ، ب) ؛ ، الخامس) ؛ .

في هذا الدرس تعلمنا الخاصية الرئيسية للكسر الجبريواستعرضت المهام الرئيسية مع استخدامه. في الدرس التالي، سنلقي نظرة فاحصة على اختزال الكسور إلى مقام مشترك باستخدام صيغ الضرب المختصرة وطريقة التجميع للتحليل.

فهرس

1. باشماكوف م. الجبر الصف الثامن. - م: التربية، 2004.
2. دوروفييف جي في، سوفوروفا إس بي، بونيموفيتش إي. وغيرها الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التربية، 2010.
3. نيكولسكي إس إم، بوتابوف إم إيه، ريشيتنيكوف إن إن، شيفكين إيه في. الجبر الصف الثامن. كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. - م: التربية، 2006.

1. امتحان الدولة الموحد في الرياضيات ().
2. مهرجان الأفكار التربوية "الدرس المفتوح" ().
3. الرياضيات في المدرسة: خطط الدروس ().

العمل في المنزل

جزء- شكل من أشكال تمثيل الرقم في الرياضيات. يشير شريط الكسر إلى عملية القسمة. البسطالكسر يسمى الأرباح، و المقام - صفة مشتركة - حالة- مقسم. على سبيل المثال، في الكسر، البسط هو 5 والمقام هو 7.

صحيحيسمى الكسر الذي يكون فيه معامل البسط أكبر من معامل المقام. إذا كان الكسر صحيحًا، فإن معامل قيمته يكون دائمًا أقل من 1. وجميع الكسور الأخرى كذلك خطأ.

يسمى الكسر مختلطإذا كان مكتوبا على شكل عدد صحيح وكسر. وهذا هو نفس مجموع هذا الرقم والكسر:

الخاصية الرئيسية للكسر

إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر في نفس العدد، فإن قيمة الكسر لن تتغير، أي على سبيل المثال:

اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

لجلب كسرين إلى قاسم مشترك، تحتاج إلى:

1. اضرب بسط الكسر الأول في مقام الثاني
2. اضرب بسط الكسر الثاني في مقام الأول
3. استبدل مقامات الكسرين بمنتجهما

العمليات مع الكسور

إضافة.لإضافة كسرين تحتاج

1. أضف البسطين الجديدين لكلا الكسرين واترك المقام دون تغيير

مثال:

الطرح.لطرح جزء واحد من آخر، تحتاج

1. تقليل الكسور إلى قاسم مشترك
2. اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، واترك المقام دون تغيير

مثال:

عمليه الضرب.لضرب كسر في آخر، اضرب بسطيه ومقاميه.