Таблични стойности на тангенс и котангенс. Тригонометрични функции

Референтни данни за тангенс (tg x) и котангенс (ctg x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица на тангенси и котангенси, производни, интеграли, разширения на редове. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.

Геометрична дефиниция

|BD| - дължина на дъгата от окръжност с център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.

Тангенса ( тен α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .

Котангенс ( ctg α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .

Допирателна

Където н- цяло.

В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
;
;
.

Графика на функцията тангенс, y = tan x

Котангенс

Където н- цяло.

В западната литература котангенсът се означава по следния начин:
.
Приемат се и следните нотации:
;
;
.

Графика на функцията котангенс, y = ctg x

Свойства на тангенса и котангенса

Периодичност

Функции y = tg xи y = ctg xса периодични с период π.

Паритет

Функциите тангенс и котангенс са нечетни.

Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи

Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло).

	y = tg x	y = ctg x
Обхват и приемственост
Диапазон от стойности	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Повишаване на		-
Спускане	-
Крайности	-	-
Нули, y = 0
Пресечете точки с ординатната ос, x = 0	y = 0	-

Формули

Изрази, използващи синус и косинус

; ;
; ;
;

Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика

Останалите формули са лесни за получаване, например

Произведение на допирателните

Формула за сбор и разлика на тангенси

Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента.

Изрази, използващи комплексни числа

Изразяване чрез хиперболични функции

;
;

Деривати

; .

.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>

Интеграли

Разширения на сериите

За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.

В .

при .
Където Bn- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Където .
Или според формулата на Лаплас:

Обратни функции

Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.

Арктангенс, arctg

, Където н- цяло.

Аркотангенс, arcctg

, Където н- цяло.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.

Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберем добре тези, на пръв поглед, сложни понятия (които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да се уверим, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разберете концепцията за ъгъл.

Концепция за ъгъл: радиан, градус

Нека погледнем снимката. Векторът се е „завъртял“ спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.

Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, разбира се, ъглови единици!

Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.

Ъгъл (един градус) е централният ъгъл в окръжност, сложен от кръгова дъга, равна на част от окръжността. По този начин целият кръг се състои от „парчета“ кръгови дъги или ъгълът, описан от кръга, е равен.

Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, равен на, тоест този ъгъл лежи върху дъга от окръжност с размера на обиколката.

Ъгъл в радиани е централният ъгъл в окръжност, сключен от окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека го разберем от чертежа.

И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се опира на кръгла дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължина на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:

Къде е централният ъгъл в радиани.

Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана се съдържат в ъгъла, описан от окръжността? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколка. Ето я:

Е, сега нека съпоставим тези две формули и да открием, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, като съпоставим стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.

Колко радиана има? Това е вярно!

Схванах го? След това продължете напред и го поправете:

Имате затруднения? Тогава погледнете отговори:

Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл

И така, разбрахме концепцията за ъгъл. Но какво е синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За да направим това, ще ни помогне правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); катетите са двете останали страни и (тези, съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус от ъгъл- това е отношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник.

Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник.

Тангенс на ъгъла- това е съотношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка).

В нашия триъгълник.

Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

В нашия триъгълник.

Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

Косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!

За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата на оста и координатата на оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.

На какво е равен триъгълникът? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност, което означава . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

На какво е равен триъгълникът? Добре, разбира се, ! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:

И така, можете ли да кажете какви координати има точка, принадлежаща на окръжност? Е, няма начин? Ами ако осъзнаете това и сте само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! И на коя координата отговаря? Точно така, координати! Така точка.

На какво тогава са равни и ? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това, a.

Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Какви са стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжност е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти на или на? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.

Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.

По този начин от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула или (където е цяло число)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:

Не съществува;

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.

Отговори:

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:

Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример доста лесно да запомните съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъл (), както и стойността на тангенса на ъгъла. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.

Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните всички стойности от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?

Е, разбира се, че можете! Нека го извадим обща формула за намиране на координатите на точка.

Например, ето кръг пред нас:

Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точка, получена чрез завъртане на точката на градуси.

Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на кръга, тоест е равна. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

Тогава имаме това за координатата на точката.

Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,

Така че, като цяло, координатите на точките се определят по формулите:

Координати на центъра на кръга,

радиус на кръга,

Ъгълът на завъртане на радиуса на вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула и радиусът е равен на едно:

Е, нека изпробваме тези формули, като се упражняваме да намираме точки в окръжност?

1. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

2. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

3. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

4. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

5. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?

Решете тези пет примера (или станете добри в решаването им) и ще се научите да ги намирате!

1.

Можете да забележите това. Но знаем какво отговаря на пълно завъртане на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:

2. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Можете да забележите това. Знаем какво съответства на два пълни оборота на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:

Синус и косинус са таблични стойности. Припомняме си значенията и получаваме:

Така желаната точка има координати.

3. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Можете да забележите това. Нека изобразим въпросния пример на фигурата:

Радиусът образува ъгли, равни на и с оста. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинус и синус са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът приема положителна стойност, имаме:

Такива примери се обсъждат по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.

Така желаната точка има координати.

4.

Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)

За да определим съответните знаци на синус и косинус, конструираме единична окръжност и ъгъл:

Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:

Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:

Така желаната точка има координати.

5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където

Координати на центъра на кръга (в нашия пример,

Радиус на окръжност (по условие)

Ъгъл на завъртане на радиуса на вектора (по условие).

Нека заместим всички стойности във формулата и да получим:

и - таблични стойности. Нека запомним и ги заместим във формулата:

Така желаната точка има координати.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка) страна.

Котангенсът на ъгъл е отношението на съседната (близка) страна към противоположната (далечна) страна.

Таблица с основни тригонометрични функции за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

От тригонометричните дефиниции на функциите $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$ можете да разберете техните стойности за ъгли $0$ и $90$ градуса:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не е дефинирано;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не се определя.

В училищен курс по геометрия, когато изучават правоъгълни триъгълници, намират тригонометричните функции на ъглите $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.

Намерени стойности на тригонометрични функции за посочените ъгли в градуси и радиани, съответно ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) за по-лесно запомняне и използване се въвеждат в таблица, наречена тригонометрична таблица, таблица на основните стойности на тригонометричните функциии така нататък.

Когато се използват формули за редукция, тригонометричната таблица може да бъде разширена до ъгъл $360°$ и съответно $2\pi$ радиана:

Използвайки свойствата на периодичността на тригонометричните функции, всеки ъгъл, който ще се различава от вече известния с $360°$, може да бъде изчислен и записан в таблица. Например тригонометричната функция за ъгъл $0°$ ще има една и съща стойност за ъгъл $0°+360°$, и за ъгъл $0°+2 \cdot 360°$, и за ъгъл $0°+3 \cdot 360°$ и т.н.

С помощта на тригонометрична таблица можете да определите стойностите на всички ъгли на единична окръжност.

В училищен курс по геометрия трябва да запомните основните стойности на тригонометричните функции, събрани в тригонометрична таблица за удобство при решаването на тригонометрични проблеми.

Използване на маса

В таблицата е достатъчно да намерите необходимата тригонометрична функция и стойността на ъгъла или радианите, за които трябва да се изчисли тази функция. В пресечната точка на реда с функцията и колоната със стойността получаваме желаната стойност на тригонометричната функция на дадения аргумент.

На фигурата можете да видите как да намерите стойността на $\cos⁡60°$, която е равна на $\frac(1)(2)$.

Разширената тригонометрична таблица се използва по същия начин. Предимството на използването му е, както вече беше споменато, изчисляването на тригонометричната функция на почти всеки ъгъл. Например можете лесно да намерите стойността $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Таблици на Брадис на основните тригонометрични функции

Възможността за изчисляване на тригонометричната функция на абсолютно всяка стойност на ъгъл за цяло число от градуси и цяло число от минути се осигурява от използването на таблиците на Bradis. Например, намерете стойността на $\cos⁡34°7"$. Таблиците са разделени на 2 части: таблица със стойностите на $\sin$ и $\cos$ и таблица със стойностите на $ \tan$ и $\cot$.

Таблиците на Bradis позволяват да се получат приблизителни стойности на тригонометричните функции с точност до 4 знака след десетичната запетая.

Използване на таблици на Bradis

Използвайки таблиците на Брадис за синуси, намираме $\sin⁡17°42"$. За да направите това, в лявата колона на таблицата със синуси и косинуси намираме стойността на градусите - $17°$, а в горния ред намираме стойността на минутите - $42"$. В тяхното пресичане получаваме желаната стойност:

$\sin17°42"=0,304$.

За да намерите стойността $\sin17°44"$, трябва да използвате корекцията от дясната страна на таблицата. В този случай към стойността $42"$, която е в таблицата, трябва да добавите корекция за $2 "$, което е равно на $0,0006$. Получаваме:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

За да намерим стойността $\sin17°47"$, ние също използваме корекцията от дясната страна на таблицата, само че в този случай вземаме стойността $\sin17°48"$ като основа и изваждаме корекцията за $1"$ :

$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.

Когато изчисляваме косинусите, извършваме подобни действия, но гледаме градусите в дясната колона и минутите в долната колона на таблицата. Например $\cos20°=0,9397$.

Няма корекции за стойности на тангенс до $90°$ и котангенс на малък ъгъл. Например, нека намерим $\tan 78°37"$, което според таблицата е равно на $4,967$.

ТАБЛИЦА НА СТОЙНОСТИТЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ

Таблицата със стойности на тригонометричните функции е съставена за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градуса и съответните стойности на ъглите във врадиани. От тригонометричните функции таблицата показва синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. За удобство при решаване на училищни примери, стойностите на тригонометричните функции в таблицата са записани под формата на дроб, като се запазват знаците за извличане на квадратен корен от числа, което много често помага за намаляване на сложни математически изрази. За тангенс и котангенс стойностите на някои ъгли не могат да бъдат определени. За стойностите на тангенса и котангенса на такива ъгли има тире в таблицата със стойности на тригонометричните функции. Общоприето е, че тангенсът и котангенсът на такива ъгли са равни на безкрайност. На отделна страница има формули за редуциране на тригонометрични функции.

Таблицата със стойности за тригонометричната синусова функция показва стойностите за следните ъгли: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градуси, което съответства на sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi в радианова мярка за ъгли. Ученическа таблица на синусите.

За тригонометричната косинусова функция таблицата показва стойностите за следните ъгли: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градуси, което съответства на cos 0 pi , cos pi по 6, cos pi по 4, cos pi по 3, cos pi по 2, cos pi, cos 3 pi по 2, cos 2 pi в радианова мярка за ъгли. Ученическа маса от косинуси.

Тригонометричната таблица за тригонометричната тангенс функция дава стойности за следните ъгли: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусна мярка, което съответства на tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi в радианова мярка за ъгли. Следните стойности на тригонометричните допирателни функции не са дефинирани tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 и се считат за равни на безкрайност.

За котангенса на тригонометричната функция в тригонометричната таблица са дадени стойностите на следните ъгли: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусна мярка, което съответства на ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 в радианова мярка за ъгли. Следните стойности на тригонометричните котангенси не са дефинирани ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi и се считат за равни на безкрайност.

Стойностите на тригонометричните функции секанс и косеканс са дадени за същите ъгли в градуси и радиани като синус, косинус, тангенс, котангенс.

Таблицата със стойности на тригонометрични функции на нестандартни ъгли показва стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли в градуси 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градуса и в радиани pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиана. Стойностите на тригонометричните функции се изразяват чрез дроби и квадратни корени, за да се улесни редуцирането на дроби в училищните примери.

Още три тригонометрични чудовища. Първият е тангенсът от 1,5 градус и половина или пи, делено на 120. Второто е косинус от пи, делено на 240, пи/240. Най-дългият е косинус от пи, делено на 17, пи/17.

Тригонометричният кръг от стойности на функциите синус и косинус визуално представя знаците на синус и косинус в зависимост от големината на ъгъла. Специално за блондинките косинусовите стойности са подчертани със зелено тире, за да се намали объркването. Преобразуването на градуси в радиани също е много ясно представено, когато радианите са изразени чрез пи.

Тази тригонометрична таблица представя стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли от 0 нула до 90 деветдесет градуса на интервали от един градус. За първите четиридесет и пет градуса имената на тригонометричните функции трябва да се гледат в горната част на таблицата. Първата колона съдържа градуси, стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са записани в следващите четири колони.

За ъгли от четиридесет и пет градуса до деветдесет градуса имената на тригонометричните функции са написани в долната част на таблицата. Последната колона съдържа градуси; стойностите на косинусите, синусите, котангенсите и тангенсите са записани в предходните четири колони. Трябва да внимавате, защото имената на тригонометричните функции в долната част на тригонометричната таблица са различни от имената в горната част на таблицата. Синусите и косинусите се разменят, точно както тангенсът и котангенсът. Това се дължи на симетрията на стойностите на тригонометричните функции.

Знаците на тригонометричните функции са показани на фигурата по-горе. Синусът има положителни стойности от 0 до 180 градуса или от 0 до пи. Синусът има отрицателни стойности от 180 до 360 градуса или от pi до 2 pi. Косинусовите стойности са положителни от 0 до 90 и 270 до 360 градуса или от 0 до 1/2 pi и 3/2 до 2 pi. Тангенсът и котангенсът имат положителни стойности от 0 до 90 градуса и от 180 до 270 градуса, съответстващи на стойности от 0 до 1/2 pi и pi до 3/2 pi. Отрицателните стойности на тангенса и котангенса са от 90 до 180 градуса и от 270 до 360 градуса, или от 1/2 pi до pi и от 3/2 pi до 2 pi. Когато определяте знаците на тригонометричните функции за ъгли, по-големи от 360 градуса или 2 pi, трябва да използвате свойствата на периодичност на тези функции.

Тригонометричните функции синус, тангенс и котангенс са нечетни функции. Стойностите на тези функции за отрицателни ъгли ще бъдат отрицателни. Косинусът е четна тригонометрична функция - стойността на косинус за отрицателен ъгъл ще бъде положителна. Правилата за знаци трябва да се спазват при умножаване и деление на тригонометрични функции.

1. Таблицата със стойности за тригонометричната синусова функция показва стойностите за следните ъгли

   Документ

   На отделна страница има формули за намаление тригонометриченфункции. IN масастойностиЗатригонометриченфункциисинуситедаденостойностиЗаследнотоъгли: грях 0, грях 30, грях 45 ...

2. Предложеният математически апарат е пълен аналог на комплексното смятане за n-мерни хиперкомплексни числа с произволен брой степени на свобода n и е предназначен за математическо моделиране на нелинейни

   Документ

   ... функцииравно на функцииИзображения. От тази теорема Трябва, Какво Занамиране на координатите U, V, достатъчно е да се изчисли функция... геометрия; полинарен функции(многоизмерни аналози на двуизмерни тригонометриченфункции), техните свойства, масии приложение; ...