Гаусова линия. §5 Теорема на Гаус. Векторен поток на индукция на електростатично поле

Chernoutsan A.I. Силови линии и теорема на Гаус // Quantum. - 1990. - № 3. - С. 52-55.

По специално споразумение с редакционната колегия и редакторите на сп. "Квант"

От училищния си курс по физика знаете, че визуално представяне на електрическото поле може да се получи от картина на силовите линии (нека се съгласим, че под „електрическо“ поле тук имаме предвид електростатичното поле). Като начертаем допирателна към линията на полето, откриваме посоката на вектора на напрежението (стрелките на линиите ще покажат точно къде да насочи този вектор), сравнявайки плътността на линиите на полето на различни места (т.е. броя на силови линии, минаващи през една перпендикулярна на нея област), намираме къде и колко пъти по-голяма е величината на напрежението. Но значението на силовите линии не свършва дотук.

Добре известното свойство за непрекъснатост на линиите в празното пространство всъщност отразява най-важното свойство на електрическото поле. Нека го формулираме: електрическото поле е проектирано по такъв начин, че е възможно да се начертаят силови линии, като се спазва правилото за плътност и без да се нарушават в празното пространство между зарядите; линиите започват с положителни заряди и завършват с отрицателни; Всеки заряд започва (или завършва) с брой линии, пропорционални на неговия размер.

Изненадан ли си? Това свойство ви се струва очевидно, самоочевидно? Това далеч не е вярно. Ако законът на Кулон беше малко по-различен, щеше да е невъзможно непрекъснато да се чертаят силови линии. Да вземем например точков заряд. Когато се отдалечите от него, плътността на линиите на полето намалява. По този начин, с увеличаване на разстоянието от заряда с коефициент 2, плътността на линиите ще намалее с коефициент 4 (броят на линиите няма да се промени, но площта на повърхността на сферата ще се увеличи с фактор 4). Силата на електрическото поле също ще намалее със същото количество. Но само поради факта, че законът на Кулон съдържа \(~\frac(1)(r^2)\)! Ако например имаше \(~\frac(1)(r^3)\), тогава напрежението щеше да намалее не с 4, а с 8 пъти и за да се спази правилото за плътност, половината от линиите на полето ще трябва да бъде отрязан по пътя от rдо 2 r. И това е на празно място!

Математически строг израз на свойството за непрекъснатост на линиите на електрическото поле е теоремата на Гаус. За да го формулираме и докажем, първо трябва да преминем от качествения език на силовите линии към прецизни количествени концепции. Нека започнем, като перифразираме донякъде свойството за непрекъснатост на линията.

Да разгледаме произволна затворена повърхност. Ако вътре в повърхността няма заряди, тогава броят на линиите, които излизат от нея, е точно равен на броя на линиите, които влизат. Удобно е да вземете предвид входящите линии заедно с изходящите, но им присвоете знак минус. Тогава можем да кажем, че общият брой на силовите линии, излизащи от „празната“ повърхност, е нула. Ако има заряд вътре в повърхността, това е очевидно общият брой линии, излизащи от повърхността, ще бъде пропорционален на големината на този заряд. Това е качествената формулировка на теоремата на Гаус. Но да продължим.

Нека въведем скаларното количество Φ - нарича се поток на вектора на напрежение през някаква малка област:

\(~\Phi = ES \cos \alpha\) . (1)

Тук \(~\vec E\) е силата на полето в местоположението на избраното място (тъй като мястото е малко, полето може да се счита за равномерно), С- площ на обекта, α - ъгълът между вектора \(~\vec E\) и вектора \(~\vec n\), нормален към мястото. Погледнете Фигура 1: броят на линиите на полето, проникващи в сайта С, е равно на произведението на тяхната плътност и площта на напречната площ \(~S_(\perp) = S \cos \alpha\). Тъй като плътността на линиите е пропорционална д, общият брой на електропроводите, преминаващи през обекта, е пропорционален на потока Φ . Всички силови линии, излъчвани от определена затворена повърхност, съответстват на поток през цялата тази повърхност (т.е. сумата от потоците през отделни малки участъци от повърхността). За да могат изходящите линии да имат положителен принос към потока, а входящите линии да имат отрицателен принос, ние се съгласяваме, че нормалата към повърхността „гледа“ навън навсякъде.

Сега е ясно, че теоремата на Гаус може да се формулира по следния начин: потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през всяка затворена повърхност е пропорционален на общия заряд, съдържащ се в тази повърхност. За да докажем тази теорема и в същото време да изчислим коефициента на пропорционалност, нека първо разгледаме едно просто, но много важно свойство на количеството Φ .

Нека запишем формула (1) във формата \(~\Phi = (E \cos \alpha) S = E_n S\), където д n е проекцията на вектора \(~\vec E\) върху посоката на нормалата \(~\vec n\). Ако полето е създадено от няколко заряда, тогава според принципа на суперпозиция \(~\vec E = \vec E_1 + \\vec E_2 + \ldots + \vec E_k\). Но проекцията на сумата от вектори е равна на сумата от проекциите: д n= д 1n+ д 2n + … + дкн. От това получаваме, че общият поток на вектора на интензитета е равен на сумата от потоците, създадени от отделни заряди: Φ = Φ 1 + Φ 2 + … + Φ к. Следователно можем да говорим за приноса към общия поток от всеки отделен заряд.

Нека първо докажем, че приносът към потока от точков заряд рразположена извън затворената повърхност е равна на нула. Нека разгледаме две малки области от повърхността, отрязани от тесен конус (фиг. 2). Ние имаме

\(~\begin(matrix) \Phi_1 = E_1 S_1 \cos \alpha_1 = -E_1 S_(1 \perp) \\ \Phi_2 = E_2 S_2 \cos \alpha_2 = E_2 S_(2 \perp) \end(matrix) \),

където \(~E_1 = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac(q)(r^2_1)\) , \(~E_2 = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac (q)(r^2_2)\) .

От приликата следва, че

\(~\frac(r^2_1)(r^2_2) = \frac(S_(1 \perp))(S_(2 \perp))\) .

По този начин,

\(~\Phi_1 = -\Phi_2\) или \(~\Phi_1 + \Phi_2 = 0\).

Подобно взаимно унищожаване на потоци се случва за всяка друга двойка съответстващи секции.

Нека сега изчислим приноса към потока от точков заряд, разположен вътре в затворена повърхност. Нека оградим заряда със сферична повърхност с радиус r(фиг. 3). Разсъждавайки подобно на предишното, установяваме, че в този случай Φ 1 = Φ 2, т.е. че потокът през произволната разглеждана повърхност е равен на потока през сферата. И потокът през сферата е лесен за изчисляване:

\(~\Phi = ES = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac(q)(r^2) 4 \pi r^2 = \frac(q)(\varepsilon_0)\) .

Така стигнахме до окончателната формулировка на теоремата на Гаус: потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през произволна затворена повърхност е равен на общия заряд, съдържащ се в тази повърхност, разделен на електрическата константа, т.е.

\(~\Phi = \frac(\sum q_(vnutr))(\varepsilon_0)\) . (2)

Сега да преминем към забавната част - да започнем да жънем предимствата. Първото приложение на теоремата на Гаус е да се изчисли напрегнатостта на електрическото поле. Нека веднага да направим резервация, че кръгът от проблеми, решени по този начин, не е много широк (за разлика от метода, основан на използването на принципа на суперпозицията). Но все пак съществува. Ако, например, знаем предварително посоката на вектора на напрежението във всички точки от пространството, които ни интересуват, ако сме успели да изберем затворена повърхност, за която изчисляването на потока на вектора на напрежение е просто, тогава може би успехът чака нас. Но какъв успех!

Както знаете, на Нютон бяха нужни много години, за да докаже, че силата на привличане на материална частица към топка (Земята) няма да се промени, ако цялата маса на топката е концентрирана в нейния център. За да извърши доказателството, използвайки принципа на суперпозицията, той трябваше значително да развие интегралното смятане. Сега вижте как лесно можем да се справим с почти същата задача. Вземете топка, равномерно заредена със заряд Q, и изчислете полето извън него - на разстояние rот центъра му (фиг. 4). От съображения за симетрия е ясно, че векторът на напрегнатост на полето \(~\vec E\) е навсякъде насочен по протежение на радиуса. Нека изразим потока на вектора на опън през сфера с радиус rдва начина. По дефиниция на потока

\(~\Phi = ES = 4 \pi E r^2\) ,

и според теоремата на Гаус

\(~\Phi = \frac(Q)(\varepsilon_0)\) .

От тук получаваме

\(~E = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac(Q)(r^2)\)

Полето на заредена топка извън нея съвпада с полето на точков заряд, поставен в центъра на топката.

Друг пример: нека намерим силата на полето на безкрайно заредена равнина с повърхностна плътност на заряда σ (фиг. 5). От симетрията е ясно, че векторът \(~\vec E\) е перпендикулярен на равнината навсякъде. Нека изберем затворена повърхност под формата на цилиндър, разположен симетрично спрямо равнината. Потокът на вектора на опън през страничната повърхност на цилиндъра е нула, а през всяка основа с площ Сто е равно ES, т.е.

\(~\Phi = 2 ES\) .

Но според теоремата на Гаус

\(~\Phi = \frac(\sigma S)(\varepsilon_0)\) .

Приравнявайки десните части на двете равенства, получаваме

\(~E = \frac(\sigma)(2 \varepsilon_0)\) .

И накрая, един последен пример. Това се отнася до едно много важно свойство на проводниците. Нека покажем, че статичните заряди на проводника винаги са разположени на повърхността му. Доказателството е много просто. Тъй като напрегнатостта на полето вътре в проводника е нула (в противен случай би имало движение на свободни заряди), тогава потокът на вектора на интензитета през всяка затворена повърхност, начертана вътре в проводника, е нула. А това означава, че зарядът вътре във всяка макар и малка повърхност в дебелината на проводника също е нула. Следователно всички заряди на проводника всъщност са разположени на неговата повърхност.

А сега - важна забележка. Доказателството за електрическата неутралност на обема на проводник се основава на теоремата на Гаус, която, подобно на свойството за непрекъснатост на силовите линии, е вярна само ако \(~\frac(1)(r^2)\) е в Закон на Кулон. Заключение: валидността на закона на Кулон може да се провери експериментално. За да направите това, достатъчно е да се гарантира, че дебелината на проводника е електрически неутрална.

Виждате колко интересни неща може да разкаже само една теорема – теоремата на Гаус.

Принципът на суперпозицията в комбинация със закона на Кулон осигурява ключа за изчисляване на електрическото поле на произволна система от заряди, но директното сумиране на полетата с помощта на формула (4.2) обикновено изисква сложни изчисления. Въпреки това, при наличието на една или друга симетрия на системата от заряди, изчисленията значително се опростяват, ако се въведе понятието поток на електрическо поле и се използва теоремата на Гаус.

Концепцията за потока на електрическото поле беше въведена в електродинамиката от хидродинамиката. В хидродинамиката потокът на течност през тръба, т.е. обемът на течност N, преминаващ през напречно сечение на тръба за единица време, е равен на v ⋅ S, където v е скоростта на течността, а S е площта на напречното сечение на тръбата. Ако скоростта на течността варира в напречното сечение, трябва да използвате интегралната формула N = ∫ S v → ⋅ d S → . Наистина, нека подчертаем малка област d S в полето на скоростта, перпендикулярна на вектора на скоростта (фиг. ).

Ориз. 1.4: Поток на течност

Обемът на течността, протичаща през тази зона за време d t, е равен на v d S d t. Ако платформата е наклонена спрямо потока, тогава съответният обем ще бъде v d S cos θ d t , където θ е ъгълът между вектора на скоростта v → и нормалата n → към платформата d S . Обемът на течността, протичаща през площта d S за единица време, се получава чрез разделяне на тази стойност на d t. То е равно на v d S cos θ d t , т.е. скаларно произведение v → ⋅ d S → вектор на скоростта v → от вектора на елемента на площта d S → = n → d S . Единичният вектор n → нормален към областта d S може да бъде начертан в две директно противоположни посоки. един от тях условно се приема за положителен. Нормалното n → е начертано в тази посока. Страната на площадката, от която излиза нормалата n → се нарича външна, а страната, в която влиза нормалата n → се нарича вътрешна. Векторът на елемента d S → е насочен по външната нормала n → към повърхността и по големина е равен на площта на елемента d S = ∣ d S → ∣ . Когато се изчислява обемът на течността, протичаща през област S с крайни размери, тя трябва да се развие в безкрайно малки области d S и след това да се изчисли интегралът ∫ S v → ⋅ d S → по цялата повърхност S .

Изрази като ∫ S v → ⋅ d S → се срещат в много клонове на физиката и математиката. Те се наричат ​​поток на вектора v → през повърхността S, независимо от природата на вектора v →. В електродинамиката интегралът

N = ∫ S E → ⋅ d S →

(5.1)

се нарича поток от напрегнатост на електрическото поле E → през произволна повърхност S, въпреки че с това понятие не се свързва реален поток.

Да приемем, че векторът E → е представен от геометрична сума

E → = ∑ j E → j .

Умножавайки това равенство скаларно по d S → и интегрирайки, получаваме

N = ∑ j N j .

където N j е потокът на вектора E → j през същата повърхност. Така от принципа на суперпозиция на напрегнатостта на електрическото поле следва, че потоците през една и съща повърхност се сумират алгебрично.

Теоремата на Гаус гласи, че потокът на вектора E → през произволна затворена повърхност е равен на общия заряд Q на всички частици, разположени вътре в тази повърхност, умножен по 4 π:

Ще проведем доказателството на теоремата на три етапа.

1. Нека започнем с изчисляване на потока на електрическото поле на един точков заряд q (фиг. ). В най-простия случай, когато интеграционната повърхност S е сфера и зарядът е в центъра й, валидността на теоремата на Гаус е почти очевидна. На повърхността на сферата напрегнатостта на електрическото поле е

E → = q r → ∕ r 3

постоянна по големина и навсякъде насочена нормално към повърхността, така че потокът на електрическото поле е просто равен на произведението E = q ∕ r 2 и площта на сферата S = 4 π r 2 . Следователно N = 4 π q. Този резултат не зависи от формата на повърхността около заряда. За да докажем това, избираме произволна област от повърхността с достатъчно малък размер с посока на външната норма n → зададена върху нея. На фиг. един такъв сегмент е показан в преувеличено голям (за яснота) размер.

Потокът на вектора E → през тази област е равен на d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S ,

където θ е ъгълът между направлението E → и външната нормала n → към областта d S . Тъй като E = q ∕ r 2 и d S cos θ ∕ ​​​​r 2 по абсолютна стойност е елементът на телесния ъгъл d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 , под който площта d S се вижда от точката, където се намира зарядът,

D N = ± q d Ω .

където знаците плюс и минус съответстват на знака cos θ, а именно: трябва да вземете знака плюс, ако векторът E → сключва остър ъгъл с посоката на външната нормала n →, и знака минус в противен случай.

2. Сега разгледайте крайна повърхност S, покриваща избран обем V. По отношение на този обем винаги е възможно да се определи коя от двете противоположни посоки на нормалата към всеки елемент от повърхността S трябва да се счита за външна. Външната нормала е насочена от обем V навън. Обобщавайки по сегменти, до знак имаме N = q Ω, където Ω е телесният ъгъл, под който повърхността S се вижда от точката, където се намира зарядът q. Ако повърхността S е затворена, тогава Ω = 4 π, при условие че зарядът q е вътре в S. В противен случай Ω = 0. За да изясним последното твърдение, можем отново да се позовем на фиг. .

Очевидно е, че потоците през сегменти от затворена повърхност, основани на равни телесни ъгли, но обърнати в противоположни посоки, се компенсират взаимно. Очевидно е също, че ако зарядът е извън затворената повърхност, тогава за всеки сегмент, обърнат навън, има съответен сегмент, обърнат навътре.

3. Накрая, използвайки принципа на суперпозицията, стигаме до окончателната формулировка на теоремата на Гаус (). Наистина, полето на система от заряди е равно на сумата от полетата на всеки заряд поотделно, но само зарядите, разположени вътре в затворената повърхност, имат ненулев принос към дясната страна на теоремата (). Това завършва доказателството.

В макроскопичните тела броят на носителите на заряд е толкова голям, че е удобно да се представи дискретен ансамбъл от частици под формата на непрекъснато разпределение, въвеждайки концепцията за плътност на заряда. По дефиниция, плътността на заряда ρ е отношението Δ Q ∕ Δ V в границата, когато обемът Δ V клони към физически безкрайно малка стойност:

където интегрирането от дясната страна се извършва върху обема V, затворен от повърхността S.

Теоремата на Гаус дава едно скаларно уравнение за три компонента на вектора E →, така че тази теорема сама по себе си не е достатъчна за изчисляване на електрическото поле. Необходима е известна симетрия на разпределението на плътността на заряда, за да може проблемът да се сведе до едно скаларно уравнение. Теоремата на Гаус дава възможност да се намери полето в случаите, когато повърхността на интегриране в () може да бъде избрана така, че напрегнатостта на електрическото поле E да е постоянна по цялата повърхност. Нека да разгледаме най-поучителните примери.

▸ Задача 5.1

Намерете полето на сфера, равномерно заредена по обем илиповърхности.

Решение: Електрическо поле на точков заряд E → = q r → ∕ r 3 клони към безкрайност при r → 0 . Този факт показва непоследователността на идеята елементарни частици по точкови заряди. Ако таксатар равномерно разпределени по обема на сфера с краен радиуса , тогава електрическото поле няма особености.

От симетрията на задачата става ясно, че електрическото поле E → навсякъде е насочен радиално, а напрежението му E = E(r) зависи само от разстоянието r към центъра на топката. Тогава електрическото поле преминава през сфера с радиус r е просто равно на 4 π r 2 E (фиг. ).

От друга страна, зарядът вътре в същата сфера е равен на общия зарядтопка Q, ако r ≥ a. Приравнявайки 4 π r 2 E към заряда q на топката, умножен по 4 π, получаваме: E (r) = q ∕ r 2 .

Така във външното пространство се създава заредена топка такова поле, сякаш целият заряд е концентриран в центъра му. Този резултат е валиден за всеки сферично симетричен разпределение на заряда.

Полето вътре в топката е E (r) = Q ∕ r 2, където Q е зарядът вътре в сярата с радиус r. Ако зарядът е равномерно разпределен в целия обем на топката, тогава Q = q (r ∕ a) 3 . В такъв случай

E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,

където ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) — плътност на заряда. Вътре в топката полето намалява линейно от своя максимум стойности на повърхността на топката до нула в нейния център (фиг. ).

Функция E(r) в същото време тя е крайна и непрекъсната навсякъде.

Ако зарядът е разпределен по повърхността на топката, тогава Q = 0 и следователно също E = 0. Този резултат е валиден и за случая, когато е вътре в сфера няма зарядна кухина и външните заряди са разпределени сферичносиметрично. ▸ Задача 5.2

Намерете полето на еднакво заредена безкрайна нишка; радиус на резбата a, заряд на единица дължина ϰ.

▸ Задача 5.3

Намерете полето на безкрайна права нишка и безкрайно дълга равномерно зареден цилиндър.

▸ Задача 5.4

Намерете полето на безкрайно заредена равнина и равномерно зареден безкраен плосък слой.

Решение: Поради симетрията на проблема полето е насочено нормално на слоя и зависи само от разстоянието x от равнина на симетрия на плочата. За да изчислите поле с помощта на Теоремата на Гаус, е удобно да се избере повърхността на интегриране S in под формата на паралелипипед, както е показано на фиг. .

Последният резултат се получава чрез преминаване към границатаа → 0 като същевременно увеличава плътността на зарядаρ, така че стойността σ = ρ a остана непроменена. От противоположните страни на самолета напрегнатостта на електрическото поле е еднаква по величина, но противоположна по посока. Затова при преминаване през заредена равнина, полето се променя рязко с количеството 4 π σ . Имайте предвид, че плочата може да се счита за безкрайна, ако разстоянието от е незначително в сравнение с неговия размер. На разстояния много големи в сравнение с размерите на плочата, то действа като точков заряд и полето му намалява обратно пропорционално на квадрата на разстоянието.

Експериментално установеният закон на Кулон и принципът на суперпозицията позволяват напълно да се опише електростатичното поле на дадена система от заряди във вакуум. Свойствата на електростатичното поле обаче могат да бъдат изразени в друга, по-обща форма, без да се прибягва до идеята за кулоново поле на точков заряд.

Нека въведем нова физическа величина, характеризираща електрическото поле – поток Φ на вектора на опън електрическо поле. Нека има достатъчно малка площ Δ в пространството, където се създава електрическото поле С. Произведение от векторен модул и площ Δ Си се нарича косинус на ъгъла α между вектора и нормалата към мястото елементарен поток на вектора на напрежението през платформата Δ С(фиг. 1.3.1):

Нека сега разгледаме произволна затворена повърхност С. Ако разделим тази повърхност на малки области Δ Саз, определят елементарните потоци ΔΦ азполета през тези малки области и след това ги сумираме, след което в резултат получаваме потока Φ на вектора през затворената повърхност С(фиг. 1.3.2):

В случай на затворена повърхност винаги избирайте външна норма .

Теоремата на Гаус гласи:

Векторен поток на напрегнатост на електростатично полепрез произволна затворена повърхност е равна на алгебричната сума на зарядите, разположени вътре в тази повърхност, разделена на електрическата константа ε 0 .

За да докажете това, разгледайте първо една сферична повърхност С, в центъра на който има точков заряд р. Електрическото поле във всяка точка на сферата е перпендикулярно на нейната повърхност и еднакво по големина

Където Р– радиус на сферата. Потокът Φ през сферична повърхност ще бъде равен на произведението дна сфера площ 4π Р 2. следователно

Нека сега оградим точковия заряд с произволна затворена повърхност Си помислете за спомагателна сфера с радиус Р 0 (фиг. 1.3.3).

Помислете за конус с малък плътен ъгъл ΔΩ в горната част. Този конус ще подчертае малка област Δ върху сферата С 0 , и на повърхността С– подложка Δ С. Елементарните потоци ΔΦ 0 и ΔΦ през тези области са еднакви. Наистина ли,

ΔΦ 0 = д 0 Δ С 0 , ΔΦ = дΔ С cos α = дΔ С ‘ .

Тук Δ С' = Δ С cos α – площ, разпределена от конус с телесен ъгъл ΔΩ върху повърхността на сфера с радиус н.

Тъй като , a , Следователно следва, че общият поток на електрическото поле на точков заряд през произволна повърхност, покриваща заряда, е равен на потока Φ 0 през повърхността на спомагателната сфера:

По подобен начин може да се покаже, че ако затворена повърхност Сне покрива точкова такса р, тогава потокът Φ = 0. Такъв случай е показан на фиг. 1.3.2. Всички линии на електрическо поле на точков заряд проникват през затворена повърхност Спрез. Вътре в повърхността Сняма заряди, така че в тази област линиите на полето не се прекъсват или възникват.

Обобщение на теоремата на Гаус за случай на произволно разпределение на заряда следва от принципа на суперпозицията. Полето на всяко разпределение на заряда може да бъде представено като векторна сума на електрическите полета на точковите заряди. Поток Φ на система от заряди през произволна затворена повърхност Сще се състои от потоци Φ азелектрически полета на отделни заряди. Ако таксата разсе озова вътре в повърхността С, тогава той прави принос към потока, равен на ако този заряд е извън повърхността, тогава приносът на неговото електрическо поле към потока ще бъде равен на нула.

Така теоремата на Гаус е доказана.

Теоремата на Гаус е следствие от закона на Кулон и принципа на суперпозицията. Но ако приемем твърдението, съдържащо се в тази теорема, като първоначална аксиома, тогава нейното следствие ще бъде законът на Кулон. Следователно теоремата на Гаус понякога се нарича алтернативна формулировка на закона на Кулон.

Използвайки теоремата на Гаус, в някои случаи е възможно лесно да се изчисли силата на електрическото поле около заредено тяло, ако даденото разпределение на заряда има някаква симетрия и общата структура на полето може да бъде отгатната предварително.

Пример е задачата за изчисляване на полето на тънкостенен кух равномерно зареден дълъг цилиндър с радиус Р. Този проблем има аксиална симетрия. От съображения за симетрия електрическото поле трябва да бъде насочено по радиуса. Следователно, за да се приложи теоремата на Гаус, е препоръчително да се избере затворена повърхност Спод формата на коаксиален цилиндър с някакъв радиус rи дължина л, затворен в двата края (фиг. 1.3.4).

При r ≥ Рцелият поток на вектора на опън ще премине през страничната повърхност на цилиндъра, чиято площ е равна на 2π rl, тъй като потокът през двете бази е нула. Приложението на теоремата на Гаус дава:

Този резултат не зависи от радиуса Рзареден цилиндър, така че се отнася и за полето на дълга равномерно заредена нишка.

За да се определи силата на полето вътре в зареден цилиндър, е необходимо да се изгради затворена повърхност за корпуса r < Р. Поради симетрията на проблема, потокът на вектора на интензитета през страничната повърхност на Гаусовия цилиндър също трябва да бъде равен в този случай на Φ = д 2π rl. Според теоремата на Гаус този поток е пропорционален на заряда, уловен в затворената повърхност. Тази такса е нула. От това следва, че електрическото поле вътре в равномерно зареден дълъг кух цилиндър е нула.

По подобен начин може да се приложи теоремата на Гаус за определяне на електрическото поле в редица други случаи, когато разпределението на зарядите има някакъв вид симетрия, например симетрия спрямо центъра, равнината или оста. Във всеки от тези случаи е необходимо да се избере затворена гаусова повърхност с подходяща форма. Например, в случай на централна симетрия е удобно да се избере гаусова повърхност под формата на сфера с център в точката на симетрия. При аксиална симетрия затворената повърхност трябва да бъде избрана под формата на коаксиален цилиндър, затворен от двата края (както в примера, разгледан по-горе). Ако разпределението на зарядите няма никаква симетрия и общата структура на електрическото поле не може да бъде отгатната, прилагането на теоремата на Гаус не може да опрости проблема за определяне на силата на полето.

Нека разгледаме друг пример за симетрично разпределение на заряда - определяне на полето на равномерно заредена равнина (фиг. 1.3.5).

В този случай повърхността на Гаус СПрепоръчително е да го изберете под формата на цилиндър с известна дължина, затворен в двата края. Оста на цилиндъра е насочена перпендикулярно на заредената равнина, а краищата му са разположени на същото разстояние от нея. Поради симетрията, полето на еднакво заредена равнина трябва да бъде насочено навсякъде по нормалата. Приложението на теоремата на Гаус дава:

където σ – повърхностна плътност на заряда , т.е. такса за единица площ.

Полученият израз за електрическото поле на равномерно заредена равнина е приложим и в случай на плоски заредени области с краен размер. В този случай разстоянието от точката, в която се определя напрегнатостта на полето, до заредената зона трябва да бъде значително по-малко от размера на зоната.

Електростатичното поле е специален вид материя, чрез която заредените тела взаимодействат.

Закон на Кулон: сила на взаимодействие Емежду два неподвижни точкови заряда р 1 и р 2 е право пропорционална на големината на тези заряди и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието rмежду тях:

Където ( д 0 – електрическа константа);

д– диелектрична проницаемост на средата, показваща колко пъти силата на взаимодействие на зарядите в дадена среда е по-малка от тази във вакуум.

Електрическите полета, които се създават от неподвижни електрически заряди, се наричат електростатичен.

Сила на електростатичното полев дадена точка има физическо количество, определено от силата, действаща върху положителния заряд на тестовата точка р 0, поставен в тази точка на полето, тоест:

Електростатичното поле може да бъде представено графично с помощта на електропроводи.електропровод -това е линия, чиято допирателна във всяка точка съвпада по посока с вектора на напрегнатостта на електростатичното поле в дадена точка (фиг. 1, 2).

Ако полето е създадено от точков заряд, тогава линиите на полето са радиални прави линии, излизащи от положителния заряд (фиг. 2, А), и включени в отрицателния заряд (фиг. 2, b).

Ориз. 1 Фиг. 2

С помощта на линиите на полето е възможно да се характеризира не само посоката, но и големината на напрегнатостта на електростатичното поле, като се свърже с плътността на линиите на полето. По-голямата плътност на силовите линии съответства на по-голяма стойност на напрежението (фиг. 1, 2). Количествено, броят на силовите линии, проникващи в една област, разположена перпендикулярно на силовите линии, е свързан с големината на силата на електростатичното поле. В този случай определена такса р, създавайки полето, съответства на определено число нсилови линии, напускащи (за) заряда или влизащи (за) заряда, а именно: .

Векторен поток на напрегнатост на електростатично полечрез произволна платформа Схарактеризира се с броя на силовите линии, проникващи в дадена област С.

Ако сайтът Сперпендикулярно на силовите линии (фиг. 3), след това потокът F Eвектор на напрежение през тази зона С: .

Ориз. 3 Фиг. 4

Ориз. 3

Ако сайтът Се разположен не перпендикулярно на силовите линии на електростатичното поле (фиг. 4), тогава векторният поток през тази област С:

,

Където α – ъгълът между векторите на опън и нормалата към площадката С.

За да намерите потока F Eвектор на опън през произволна повърхност С, е необходимо тази повърхност да се раздели на елементарни области dS(фиг. 5), дефинирайте елементарния поток dФ Eпрез всяка платформа dSпо формулата:

,

и след това всички тези елементарни потоци dФ Eдобавяне, което води до интеграция:

,

Където α – ъгълът между векторите на опън и нормалата към дадена елементарна област dS.

Ако въведете вектора (фиг. 5) като вектор, равен по размер на площта на сайта dSи насочен по нормален вектор към сайта dS, след това стойността , Където а –ъгълът между векторите и може да бъде записан като скаларно произведение на векторите и , т.е. като , а получената връзка за векторния поток приема формата:

.

Теоремата на Остроградски-Гаус за електростатичното поле.

Теоремата на Остроградски-Гаус за електростатичното поле свързва големината на потока F Eвектор на напрегнатост на електростатичното поле във вакуумпрез произволна затворена повърхност Сс размера на таксата рзатворен вътре в дадена затворена повърхност С(фиг. 6).

Ориз. 6

Тъй като всички силови линии, напускащи заряда (за ) или навлизащи в заряда (за ), проникват през произволна затворена повърхност С, покриващ този заряд (фиг. 6), след това стойността на потока F Eвектор през тази повърхност Сще се определя от броя нсилови линии, напускащи заряда (за ) или влизащи в заряда (за ):

.

Това съотношение е Теорема на Остроградски-Гаусза електростатично поле.

Тъй като потокът се счита за положителен, ако силовите линии излизат от повърхността Си отрицателен за линии, включени в повърхността С,тогава ако вътре в произволна затворена повърхност Сне е един, а няколко ( н) противоположни заряди, тогава Теорема на Остроградски-Гаусза електростатичното поле се формулира, както следва:

поток на вектора на напрегнатост на електростатичното поле във вакуумпрез произволна затворена повърхност е равна на алгебричната сума на зарядите, съдържащи се вътре в тази повърхност, разделена на e 0:

.

Тема 2. Работа на силите на електростатичното поле. потенциал

Ако в електростатично поле, създадено от точков заряд р, друг тестов заряд се движи р 0 от точката 1 точно 2 по произволна траектория (фиг. 7) , тогава се извършва работата на силите на електростатичното поле.

Елементарна работа dAсилата върху елементарното изместване е равна на: .

От фигура 7 става ясно, че .

Тогава ().

работа Апри преместване на заряд р 0 по траекторията от точката 1 към основния въпрос 2 :

Тоест работа при преместване на заряд от точка 1 V

точка 2 в електростатично поле не зависи от траекторията на движение, а се определя само от положенията на началната и крайната точка. Ето защо електростатично полеточковият заряд е потенциал.

Работа, извършена от силите на електростатичното поле при преместване на заряд р 0 от точката 1 точно 2 , се изразява, както следва:

,

Където φ 1И φ 2 – потенциали на електростатично полепо точки 1 И 2 .

Потенциалът на електростатичното поле се определя до произволна адитивна константа СЪС, тоест за полето на точков заряд р:

.

Тогава , .

Потенциална разликадве точки 1 И 2 в електростатично поле се определя от работата, извършена от силите на електростатичното поле при преместване на тестов точков заряд р 0 от точката 1 точно 2 :

.

Връзка между напрегнатостта на електростатичното поле и потенциала

Напрежение и потенциал φ електростатичните полета са свързани помежду си, както следва:

= – град φ

или , Където

– единични вектори на координатни оси о,о, Оз, съответно.

Знакът минус в горната формула означава, че векторът на напрегнатостта на електростатичното поле е насочен навътре страна на максимално намалениепотенциал й.

За да изобразим графично разпределението на потенциала на електростатичното поле, използваме еквипотенциални повърхности,тоест повърхности във всички точки, на които потенциалът йима същото значение.

Например за поле, създадено от точков заряд р, потенциал йсе определя от израза: , а еквипотенциалните повърхнини са концентрични сфери (фиг. 8).

От тази фигура става ясно, че в случай на точков заряд, линиите на полето (пунктирани линии на фигурата) нормално(перпендикулярно) към еквипотенциални повърхности (плътни линии на фигурата).

Този имот нормалноотносителната позиция на силовите линии и еквипотенциалните повърхности на електростатичното поле е обща за всички случаи на електростатично поле.

По този начин, знаейки местоположението на силовите линии на електростатичното поле, е възможно да се конструират еквипотенциалните повърхности на това електростатично поле и, обратно, въз основа на известното местоположение на еквипотенциалните повърхности на електростатичното поле е възможно да се конструират силовите линии на електростатичното поле.

Магнитно поле

Тема 3. Магнитно поле. Закон на Био-Савар-Лаплас

Електрическият ток създава поле, което действа върху магнитна стрелка. Стрелката е ориентирана допирателна към окръжност, лежаща в равнина, перпендикулярна на проводника с ток (фиг. 9).

Основната характеристика на магнитното поле е векторната индукция. Приема се, че векторът на индукция на магнитното поле е насочен към северния полюс на магнитната стрелка, поставена в дадена точка на полето (фиг. 9).

По аналогия с електрическото поле, магнитното поле също може да бъде представено графично с помощта на електропроводи (линии на магнитното поле).

електропровод- това е линия, чиято допирателна във всяка точка съвпада по посока с вектора на индукция на магнитното поле. Линиите на магнитното поле, за разлика от линиите на електростатичното поле, са затворени и обграждат тоководещи проводници. Посоката на силовите линии се определя от правилото на десния винт (правилото на гимлета): главата на винта, завинтена по посока на тока, се върти по посока на линиите Фиг. 9

магнитна индукция (фиг. 9).

За няколко източника на магнитно поле, съгласно принципа на суперпозиция на магнитни полета, индукцията на полученото магнитно поле е равна на векторната сума на индукциите на всички отделни магнитни полета:

Векторът на индукция на магнитното поле, създадено от проводник с ток, може да се определи с помощта на Закон на Био-Савар-Лаплас.В същото време е необходимо да се вземе предвид това Закон на Био-Савар-Лапласви позволява да намерите величината и посоката само на вектора на индукция на магнитното поле, създадено от проводящия елемент с ток. Следователно, за да се определи векторът на индукция на магнитното поле, създаден от проводник с ток, е необходимо първоначално този проводник да се раздели на проводникови елементи, като за всеки елемент се използва Законът на Био-Савар-Лапласнамерете вектора на индукция и след това, използвайки принципа на суперпозиция на магнитни полета, добавете векторно всички намерени вектори на индукция.

Тази теорема е само следствие от закона на Кулон и принципа на суперпозицията на електрическите полета. Ето формулировката му:

Потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през затворена повърхност във вакуум е равен на алгебричната сума на електрическите заряди, съдържащи се в тази повърхност, разделена на електрическата константа  0 .

Започваме доказателството на теоремата с най-простия случай: изчисляваме потока на вектора на силата на полето на точков заряд Q.

Силата на това поле е добре известна (виж 1.3)

Като вземем предвид сферичната симетрия на полето, първо избираме сфера с радиус r, с център в точката, където се намира зарядът Q(фиг. 2.5., 1). Потокът на вектора на опън през тази повърхност е лесен за изчисляване

Тук взехме предвид, че:

Ориз. 2.5.

Като вземем предвид последната забележка, записваме поток (2.7) в следната форма:

(2.8)

Така за първия най-прост случай теоремата на Гаус се оказа вярна. Какво следва от това?

Полученият резултат ни позволява да заключим, че намереният поток не зависи от радиуса на гаусовата повърхност. Това е лесно за разбиране: в края на краищата, с увеличаване на разстоянието от заряда Qплощ нарастващпропорционалноквадратен радиус и силата на полето намаляваобратноквадратен радиус.

Нека си припомним освен това, че потокът на вектора на интензитета е равен на броя на силовите линии, проникващи през повърхността на Гаус. Независимостта на потока от радиуса на повърхността означава, че силовите линии на точков заряд, започвайки от положителен заряд, се простират до безкрайност без прекъсване. Оттук и по-нататъшните заключения.

Поток на вектора на напрегнатост на полето на точков заряд всякаквизатворена повърхност (фиг. 2.5, 2), покриващ точков зарядQ, е равно на отношението

Това заключение е несъмнено, тъй като потокът е равен на предишния постоянен брой силови линии, пробиващи затворената повърхност.

Потокът на вектора на напрежение през произволна затворена повърхност, която не покрива електрически заряд, е равен на нула (фиг. 2.5, 3).

Това заключение също е лесно за разбиране, тъй като броят на линиите на полето, вливащи се в една гаусова повърхност, е равен на броя на линиите, които я напускат. Следователно общият поток през тази повърхност е нула.

Сега можем да се обърнем към разглеждането на общия случай: нека произволна затворена повърхност Скорици нточкови заряди (фиг. 2.6.). Нека изчислим потока на вектора на общата напрегнатост на полето през тази повърхност S, като вземем предвид, че в съответствие с принципа на суперпозицията, полученото поле е равно на векторната сума на отделните полета

Ориз. 2.6.

И така, използвайки определението за поток, ние го изчисляваме през произволна затворена повърхност С.

(2.9)

Полученият резултат е доказателство за валидността на теоремата на Гаус: потокът на вектора на напрегнатост на електростатичното поле във вакуум през всяка затворена повърхност е пропорционален на алгебричната сума на зарядите, съдържащи се вътре в тази повърхност.