Една от областите на математиката, с които учениците се борят най-много, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да използвате тригонометрията, когато доказвате теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

Исторически основният обект на изследване в този клон на математическата наука са били правоъгълните триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори в изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говореха за връзката между ъгли и страни изключително чрез примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на използване в ежедневието на този клон на математиката.

Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват придобитите знания по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, които започват в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс и котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат различни правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този участък не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му, най-малкото защото земната повърхност, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде „дъгообразна“ в триизмерно пространство.

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Моля, обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Сферичната геометрия се занимава с такива форми, които се използват в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема числената му стойност е равна на корена от сбора на квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е равна на 180 градуса.

Определение

И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, човек може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е отношението на съседната страна към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата.Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако в отговора си на задача получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е очевидно неправилен.

И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: според формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същата връзка като в дефиницията на допирателната.

Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим едно на тангенса.

И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да преминем към формулите.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаването на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сборът от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равен на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да знаете размера на ъгъла, а не на страната.

Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правила за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.

Формули за двойни ъгли и събиране на аргументи

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.

Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете ъгъла алфа равен на ъгъла бета.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат пренаредени, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.

Синусовата теорема гласи, че разделянето на дължината на всяка страна на триъгълник на противоположния ъгъл води до същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на даден триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки от невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.

Първо, не трябва да преобразувате дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като дроб, освен ако не е посочено друго в условията. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще си загубите времето в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или корен от две, защото те се намират в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозните“ числа.

Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейния практически смисъл. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, с които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит или да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването върху повърхност или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

Накрая

Така че вие ​​сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.

Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че с помощта на известните параметри на триъгълник трябва да изчислите неизвестните. Има общо шест параметъра: дължината на трите страни и размера на трите ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входни данни.

Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на катетите или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричен проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.

Синусът и косинусът първоначално възникват от необходимостта да се изчисляват количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко тези страни се променят по дължина, винаги остава същото.

Така бяха въведени понятията синус и косинус. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата, а косинусът е отношението на страната, съседна на хипотенузата.

Теореми за косинуси и синуси

Но косинусите и синусите могат да се използват за нещо повече от правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл или страна на всеки триъгълник, е достатъчно да приложите теоремата за косинусите и синусите.

Косинусовата теорема е доста проста: „Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези страни и косинуса на ъгъла между тях.“

Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според второстепенното: „В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни.“ Тази теорема често се разширява поради свойството на описаната окръжност на триъгълника: „В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност.“

Деривати

Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функция спрямо промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.

Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синус е косинус, а косинусът е синус, но със знак минус.

Приложение в математиката

Синусите и косинусите се използват особено често при решаване на правоъгълни триъгълници и задачи, свързани с тях.

Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Ъглите и страните бяха лесни за оценяване с помощта на косинусовата и синусовата теореми, разбивайки сложни форми и обекти на „прости“ триъгълници. Инженерите, които често се занимават с изчисления на аспектни съотношения и степенни мерки, изразходват много време и усилия за изчисляване на косинусите и синусите на нетабличните ъгли.

Тогава на помощ дойдоха таблиците на Bradis, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на различни ъгли. В съветско време някои учители принуждаваха своите ученици да запомнят страници от таблиците на Брадис.

Радианът е ъгловата стойност на дъга, чиято дължина е равна на радиуса или 57,295779513° градуса.

Градус (в геометрията) е 1/360 от окръжност или 1/90 от прав ъгъл.

π = 3.141592653589793238462… (приблизителна стойност на Pi).

Таблица на косинусите за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Ъгъл x (в градуси)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Ъгъл x (в радиани)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

синуситеостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението противоположносткатет към хипотенуза.
Означава се по следния начин: sin α.

КосинусОстрият ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Означава се както следва: cos α.

Допирателнаостър ъгъл α е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Означава се както следва: tg α.

Котангенсостър ъгъл α е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Означава се както следва: ctg α.

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъла зависят само от размера на ъгъла.

правила:

Основни тригонометрични идентичности в правоъгълен триъгълник:

(α – остър ъгъл срещу крака b и в съседство с крака а . отстрани с – хипотенуза. β – втори остър ъгъл).

b sin α = - ° С	sin 2 α + cos 2 α = 1
а cos α = - ° С	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b тен α = - а	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
а ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
грях α tg α = -- cos α

С нарастването на острия ъгълsin α иtan α увеличение, иcos α намалява.

За всеки остър ъгъл α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-обяснение:

Пуснете правоъгълен триъгълник ABC
AB = 6,
BC = 3,
ъгъл A = 30º.

Нека намерим синуса на ъгъл A и косинуса на ъгъл B.

Решение .

1) Първо намираме стойността на ъгъл B. Тук всичко е просто: тъй като в правоъгълен триъгълник сумата от острите ъгли е 90º, тогава ъгъл B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Нека изчислим sin A. Знаем, че синусът е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата. За ъгъл A противоположната страна е страната BC. Така:

пр. н. е. 3 1
грях А = -- = - = -
AB 6 2

3) Сега нека изчислим cos B. Знаем, че косинусът е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. За ъгъл B, съседният катет е същата страна BC. Това означава, че отново трябва да разделим BC на AB - тоест да извършим същите действия, както при изчисляването на синуса на ъгъл A:

пр. н. е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Резултатът е:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

От това следва, че в правоъгълен триъгълник синусът на един остър ъгъл е равен на косинуса на друг остър ъгъл - и обратно. Точно това означават нашите две формули:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Нека се уверим в това отново:

1) Нека α = 60º. Замествайки стойността на α във формулата за синус, получаваме:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Нека α = 30º. Замествайки стойността на α във формулата за косинус, получаваме:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(За повече информация относно тригонометрията вижте раздела Алгебра)

В тази статия ще разгледаме изчерпателно. Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл и позволяват да се намери всяка от тези тригонометрични функции чрез известна друга.

Нека веднага изброим основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Нека ги запишем в таблица, а по-долу ще дадем резултата от тези формули и ще предоставим необходимите обяснения.

Навигация в страницата.

Връзка между синус и косинус на един ъгъл

Понякога те не говорят за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за едно единствено основна тригонометрична идентичностмил . Обяснението на този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и и равенствата И следват от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще говорим за това по-подробно в следващите параграфи.

Тоест равенството е от особен интерес, което получи името на основната тригонометрична идентичност.

Преди да докажем основната тригонометрична идентичност, даваме нейната формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на единица. Сега нека го докажем.

Основното тригонометрично тъждество се използва много често, когато преобразуване на тригонометрични изрази. Позволява сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменена с единица. Не по-рядко основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на всеки ъгъл.

Тангенс и котангенс през синус и косинус

Тъждества, свързващи тангенс и котангенс със синус и косинус на един зрителен ъгъл и следват непосредствено от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Наистина, по дефиниция синусът е ординатата на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. , а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. .

Благодарение на такава очевидност на тъждествата и Тангенсът и котангенсът често се определят не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синус и косинус. Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.

В заключение на този параграф трябва да се отбележи, че идентичностите и се извършват за всички ъгли, при които тригонометричните функции, включени в тях, имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко , различно от (в противен случай знаменателят ще има нула и не сме дефинирали деление на нула), и формулата - за всички, различни от , където z е всяко.

Връзка между тангенс и котангенс

Още по-очевидна тригонометрична идентичност от предишните две е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че се извършва за всякакви ъгли, различни от , в в противен случайтангенс или котангенс не е дефиниран.

Доказателство на формулата много просто. По определение и откъде . Доказателството можеше да се проведе малко по-различно. От , Че .

Тангенсът и котангенсът на един и същ ъгъл, при който имат смисъл, са .

Таблица със стойности на тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за представяне на корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, показваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, ​​в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани

Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Така пи радианите са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.

Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани (чрез пи)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава за дадена стойност на градусната мярка на ъгъла функцията няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълват таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18