Какви геометрични характеристики характеризират полиедрите. Какво е полиедър? III. Домашна работа

Многостениса тела, чиито повърхности се състоят от краен брой многоъгълници, наречени лица на многостена. Страните и върховете на тези многоъгълници се наричат ​​съответно ребраИ върховеполиедър.

Полиедрите се делят на:изпъкнали и неизпъкнали.

ИзпъкналПолиедърът е полиедър, такъв че ако вземем равнината на което и да е от лицата му, тогава целият многостен ще бъде от едната страна на тази равнина.

Изпъкналите полиедри се делят на: правилно и неправилно.

Правилен многостен– изпъкнал многостен с възможно най-голяма симетрия.

Полиедърът се нарича правилен, ако:

Той е изпъкнал;

Всички негови лица са равни правилни многоъгълници;

Същият брой ръбове се събират във всеки от върховете му.

Изпъкнал многостен се нарича топологично правилен, ако лицата му са многоъгълници с еднакъв брой страни и еднакъв брой лица се събират във всеки връх.

Например, всички триъгълни пирамиди са топологично правилни полиедри, еквивалентни един на друг. Всички паралелепипеди също са еквивалентни топологично правилни полиедри . Четириъгълните пирамиди не са топологично правилни полиедри.
Колко топологично правилни многостени, които не са еквивалентни един на друг, съществуват?

Има 5 правилни полиедра:

Тетраедър– съставен от 4 равностранни триъгълника. Всеки негов връх е връх на три триъгълника. Сума от равнинни ъгли във всеки връх = 180°. По този начин тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

куб –съставен от 6 квадрата. Всеки негов връх е връх на три квадрата. Сума от равнинни ъгли във всеки връх = 270°. Така кубът има 6 лица, 8 върха и 12 ръба.

октаедър –съставен от 8 равностранни триъгълника. Всеки негов връх е връх на четири триъгълника. Сума от равнинните ъгли във всеки връх = 240°. Така октаедърът има 8 лица, 6 върха и 12 ръба.

икосаедър –съставен от 20 равностранни триъгълника. Всеки негов връх е връх на 5 триъгълника. Сума от равнинни ъгли във всеки връх = 300°. Така икосаедърът има 20 лица, 12 върха и 30 ръба.

додекаедър –съставен от 12 равностранни петоъгълника. Всеки негов връх е връх на три петоъгълника. Сума от равнинни ъгли във всеки връх = 324°. Така додекаедърът има 12 лица, 20 върха и 30 ръба.

Наричат ​​се още правилни полиедри платонови тела. Платон свързва всеки от правилните полиедри с 4 „земни“ елемента: земя (куб), вода (икозаедър), огън (тетраедър), въздух (октаедър), както и с „земния“ елемент - небе (додекаедър).

Изглежда, че трябва да има много повече топологично правилни полиедри. Оказва се обаче, че няма други топологично правилни политопи, които да не са еквивалентни на вече известните правилни.

За да докажем това, ще използваме теоремата на Ойлер.

Теорема на Ойлерза полиедри – теорема, установяваща връзка между броя на върховете, ръбовете и лицата за полиедри, които са топологично еквивалентни на сфера:

„Сума от броя на лицата и върховете = броя на ръбовете, увеличен с 2“ - G+V=P+2(тази формула е вярна за всеки изпъкнал полиедър).

Нека е даден топологично правилен многостен, чиито лица са n-ъгълници и m ръба се събират във всеки връх. Ясно е, че n и m са по-големи или равни на три. Нека означим, както преди, B броя на върховете, P броя на ръбовете и G броя на лицата на този многостен. Тогава

nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; B = 2P/m.

По теоремата на Ойлер B - P + G = 2 и следователно 2P/m-P+2P/n=2

Къде е P = 2nm/(2n+2m-nm).

От полученото равенство по-специално следва, че неравенството 2n + 2m – nm > 0 трябва да е в сила, което е еквивалентно на неравенството (n – 2)(m – 2)< 4.

Нека намерим всички възможни стойности нИ м, удовлетворяващи намереното неравенство, и попълнете следната таблица

n m
	B=4, P=6, G=4 тетраедър	B=6, P=12, G=8 октаедър	H=12, P=30, D=20 икосаедър
	H=8, P=12, D=4 куб	Не съществува	Не съществува
	H=20, P=30, D=12 додекаедър	Не съществува	Не съществува

Например ценностите n= 3, m = 3 удовлетворяват неравенството ( н - 2)(м – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.
Стойности n= 4, m = 4 не отговарят на неравенството ( н - 2)(м – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

От тази таблица следва, че единствените възможни топологично правилни полиедри са правилните полиедри (тетраедър, куб, октаедър, икосаедър, додекаедър).

Анализ на учебните планове и програми по математика

В училищната програма са предвидени около 2000 учебни часа за изучаване на математика от 1 до 11 клас. В системата на избираемите дисциплини (8-11 клас) са предвидени допълнителни часове за изучаване на математика.

Нормативен, задължителен документ, който определя основното съдържание на училищния курс по математика, обема на знанията, които трябва да усвоят учениците от всеки клас, придобитите умения и способности и др. програма за обучение.

Учебната програма на училището се основава на принципите на съответствие на програмата с основните цели на училището, осигуряващи приемственост на обучението, получено от учениците в 1-3 клас (основно училище), 5-9 клас, 10-11 клас.

Учениците, които след завършване на деветгодишно училище ще завършат средно образование в системата на професионалните училища, в средните специализирани учебни заведения, във вечерните (кореспондентски) училища, трябва да получат математическа подготовка в същия размер като учениците, завършващи средно общо образование . училище. Така всички ученици със завършено средно образование имат равни възможности да продължат образованието си.

Съдържанието на училищното обучение по математика, предвидено в програмата, въпреки промените, настъпващи в него, запазва основното си ядро ​​за доста дълго време. Тази стабилност на основното съдържание на програмата се обяснява с факта, че математиката, придобивайки много нови неща в своето развитие, запазва и всички натрупани преди това научни знания, без да ги изхвърля като остарели и ненужни.

„Ядрото“ на съвременната програма по математика е:

1. Бройни системи. 2. Количества.

3. Уравнения и неравенства. 4. Тъждествени преобразувания на математически изрази.
5. Координати. 6. Функции.
7. Геометрични фигури и техните свойства. Измерване на геометрични величини. Геометрични трансформации. 8. Вектори.
9. Начало на математическия анализ. 10. Основи на информатиката и компютърните технологии.

Всеки от разделите, включени в това „ядро“, има своя история на развитие като предмет на обучение в средното училище. На какъв възрастов етап, в какви класове, с каква дълбочина и с какъв брой часове се изучават тези раздели се определя от програмата по математика за средното училище.

Разделът "Бройни системи" се изучава през всички години на обучение. Въпросите за числовите системи са включени в училищната програма от дълго време. Но с течение на времето възрастта, на която учениците изучават темите, включени в програмата, намалява и дълбочината на тяхното представяне се увеличава. В момента се търсят възможности в програмата да се включи последната тема от този раздел – „Комплексни числа”.

Изучаването на количествата в програмите и учебниците по математика не е отделено в специален раздел. Но през всички години на обучение студентите извършват действия с различни количества при решаване на проблеми, особено проблеми, които отразяват връзките на курса по математика с дисциплините от природните науки и техническите цикли.

Значителна част от цялото учебно време е посветена на изучаването на уравнения и неравенства. Особеното значение на темата се състои в широкото приложение на уравнения и неравенства в голямо разнообразие от области на приложение на математиката. Доскоро системното изучаване на уравненията започваше едва в 7 клас. През последните десетилетия запознаването с уравненията и приложението на уравненията за решаване на проблеми стана част от курсовете по математика в началното училище и 5-ти и 6-ти клас.

Извършването на идентични трансформации и овладяването на специфичния език на математиката изисква от учениците не само разбиране, но и развитие на солидни практически умения чрез достатъчно голям брой тренировъчни упражнения. Такива упражнения, чието съдържание във всеки раздел на курса има свои собствени характеристики, се изпълняват от ученици от всички класове.

Координатите и функциите са включени в курсовете по математика в гимназията едва през първата четвърт на 20 век. Характерна особеност на съвременния училищен курс по математика е разширяването на тези раздели и нарастващата роля на метода на координатите и функциите при изучаването на други теми от училищната програма.

През последните десетилетия курсът по геометрия придоби най-голяма актуалност при обсъждането на въпроси от неговото съдържание. Тук в много по-голяма степен, отколкото в други раздели на училищния курс по математика, възникнаха проблеми във връзката на традиционното съдържание с необходимите нови допълнения. Но въпреки всички различия в подходите за решаване на този проблем, включването на геометрични трансформации в курса получи общо одобрение.

Векторите бяха въведени за първи път в курса по геометрия на нашето училище едва в средата на 70-те години. Голямото общообразователно значение на тази тема и широките практически приложения са осигурили нейното общо признание. Въпреки това въпросите за разбираемо представяне на този раздел в училищните учебници за всички ученици и прилагането на вектори за решаване на значими проблеми все още са в процес на разработка и могат да бъдат решени само въз основа на задълбочен анализ и като се вземат предвид резултатите на училищното преподаване.

Елементи на математическия анализ наскоро бяха включени в общообразователната училищна програма. Включването на тези раздели в програмата се дължи на голямото им практическо значение.

Разделът за основите на информатиката и компютърните технологии отразява изискванията към съвременната математическа подготовка на младите хора във връзка с широкото навлизане на компютрите в практиката.

Тристенни и многостенни ъгли:
Тристенният ъгъл е фигура
образувана от три равнини, ограничени от три лъча, излизащи от
една точка и не лежи в една
самолет.
Нека разгледаме някой апартамент
многоъгълник и точка, разположена отвън
равнини на този многоъгълник.
Нека начертаем лъчи от тази точка,
преминавайки през върховете
многоъгълник. Ще получим фигура
който се нарича полиедър
ъгъл.

Тристенният ъгъл е част от пространството
ограничена от три равнинни ъгъла с общ
Горна част
И
по двойки
общ
партита,
Не
лежащи в същата равнина. Общ връх За тези
ъгли
Наречен
Горна част
тристенен
ъгъл.
Страните на ъглите се наричат ​​ръбове, равнинни ъгли
при върха на тристенния ъгъл се нарича негов
ръбове. Всяка от трите двойки лица на тристенен ъгъл
образува двустенен ъгъл

Основни свойства на тристенния ъгъл
1. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сумата
другите му два равнинни ъгъла.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - равнинни ъгли,
A, B, C - двустенни ъгли, образувани от равнини
ъгли β и γ, α и γ, α и β.
2. Сборът от равнинните ъгли на тристенния ъгъл е по-малък
360 градуса
3. Първа косинусна теорема
за тристенен ъгъл
4. Втора косинусова теорема за тристенни ъгли

,
5. Теорема за синусите
Многостенен ъгъл, чиято вътрешна площ
разположени от едната страна на равнината на всеки
на неговите лица се нарича изпъкнал многостен
ъгъл. В противен случай многостенен ъгъл
се нарича неконвексен.

Полиедърът е тяло, повърхност
който се състои от краен брой
плоски многоъгълници.

Многостенни елементи
Лицата на многостен са
полигони, които
форма.
Ръбовете на многостена са страните
полигони.
Върховете на многостена са
върховете на многоъгълника.
Диагоналът на многостен е
сегмент, свързващ 2 върха,
не принадлежащи към едно и също лице.

Многостени
изпъкнал
неизпъкнал

Полиедърът се нарича изпъкнал
ако е разположен от едната страна
равнина на всеки многоъгълник върху неговата
повърхности.

ИЗПЪКНАЛИ МНОГОСТЪЛНИ ЪГЛИ

Многостенният ъгъл се нарича изпъкнал, ако е изпъкнал
фигура, т.е. заедно с произволни две от точките си съдържа изцяло и
отсечката, която ги свързва.
Фигурата показва примери
изпъкнал
И
неизпъкнал
многостенни ъгли.
Теорема. Сумата от всички равнинни ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°.

ИЗПЪКНАЛИ МНОГОГЛЕДИ

Ъгълът на полиедър се нарича изпъкнал, ако е изпъкнала фигура,
т.е., заедно с произволни две свои точки, той изцяло съдържа свързващото
техния сегмент.
Куб, паралелепипед, триъгълна призма и пирамида са изпъкнали
полиедри.
Фигурата показва примери за изпъкнала и неизпъкнала пирамида.

ИМОТ 1

Свойство 1. В изпъкнал многостен всички лица са
изпъкнали многоъгълници.
Наистина, нека F е някакво лице на полиедъра
M, а точките A, B принадлежат на лицето F. От условието за изпъкналост
полиедър M, следва, че отсечката AB се съдържа изцяло
в многостена M. Тъй като тази отсечка лежи в равнината
многоъгълник F, той ще се съдържа изцяло в това
многоъгълник, т.е. F е изпъкнал многоъгълник.

ИМОТ 2

Свойство 2. Всеки изпъкнал многостен може да бъде съставен от
пирамиди с общ връх, чиито основи образуват повърхност
полиедър.
Наистина, нека M е изпъкнал многостен. Да вземем малко
вътрешна точка S на многостена M, т.е. такава негова точка, която не е
не принадлежи на нито едно лице на многостена M. Свържете точката S с
върховете на многостена M по сегменти. Имайте предвид, че поради изпъкналост
полиедър M, всички тези сегменти се съдържат в M. Помислете за пирамиди с
връх S, чиито основи са лицата на многостена M. Тези
пирамидите се съдържат изцяло в M и всички заедно образуват многостена M.

Правилни полиедри

Ако лицата на многостена са
правилни многоъгълници с едно и
същия брой страни и във всеки връх
полиедър събира едно и също число
ръбове, след това изпъкнал многостен
наречен правилно.

Имена на полиедри

идва от древна Гърция,
те показват броя на лицата:
лице "едър";
"тетра" 4;
"хекса" 6;
"окта" 8;
"икос" 20;
"додека" 12.

Правилен тетраедър

Ориз. 1
Съставен от четири
равностранен
триъгълници. всеки
горната му част е
върха на трите
триъгълници.
Следователно сумата
плоски ъгли при
всеки връх е равен
180º.

Правилен октаедър
Ориз. 2
Съставен от осем
равностранен
триъгълници. всеки
връх на октаедър
е върха
четири триъгълника.
Следователно сумата
плоски ъгли при
всеки връх е 240º.

Правилен икосаедър
Ориз. 3
Съставен от двадесет
равностранен
триъгълници. всеки
връх на икосаедъра
е на върха на петте
триъгълници.
Следователно сумата
плоски ъгли при
всеки връх е равен
300º.

Куб (хексахедър)

Ориз.
4
Съставен от шест
квадрати. всеки
върхът на куба е
горната част на три квадрата.
Следователно сумата
плоски ъгли за всеки
върхът е 270º.

Правилен додекаедър
Ориз. 5
Съставен от дванадесет
правилно
петоъгълници. всеки
връх на додекаедър
е на върха на трите
правилно
петоъгълници.
Следователно сумата
плоски ъгли при
всеки връх е равен
324º.

Таблица №1
Правилно
полиедър
Номер
лица
върхове
ребра
Тетраедър
4
4
6
куб
6
8
12
Октаедър
8
6
12
додекаедър
12
20
30
Икосаедър
20
12
30

Формула на Ойлер
Сумата от броя на лицата и върховете на всяко
полиедър
равен на броя на ръбовете, увеличен с 2.
G+V=P+2
Брой лица плюс брой върхове минус число
ребра
във всеки полиедър е равно на 2.
G+V P=2

Таблица № 2
Номер
Правилно
полиедър
Тетраедър
ръбове и
върхове
(G + V)
ребра
(R)
4+4=8
6
"тетра" 4;
куб
6 + 8 = 14
12
"хекса"
6;
Октаедър
8 + 6 = 14
12
"окта"
додекаедър
12 + 20 = 32
30
додека"
12.
30
"Икоса"
20
Икосаедър
20 + 12 = 32
8

Двойственост на правилните многостени

Форма на хексаедър (куб) и октаедър
двойна двойка полиедри. Номер
лица на един полиедър е равно на броя
върховете на другия и обратно.

Вземете произволен куб и помислете за полиедър с
върхове в центровете на лицата му. Колко е лесно
уверете се, че получаваме октаедър.

Центровете на лицата на октаедъра служат като върхове на куба.

Полиедри в природата, химията и биологията
Кристалите на някои познати ни вещества имат формата на правилни полиедри.
Кристал
пирит-
естествено
модел
додекаедър.
кристали
готварство
соли се предават
форма на куб
Монокристал
Антимон
Кристал
алуминиев сулфат
(призма)
калиев стипца натрий - тетраедър.
има формата
октаедър.
В една молекула
метанът има
форма
правилно
тетраедър.
Икосаедърът е във фокуса на вниманието на биолозите в споровете им относно формата
вируси. Вирусът не може да бъде идеално кръгъл, както се смяташе досега. Да се
за да установят формата му, те взеха различни полиедри и насочиха светлина към тях
под същите ъгли като потока от атоми върху вируса. Оказа се, че само един
полиедърът дава абсолютно същата сянка - икосаедърът.
По време на процеса на делене на яйцата първо се образува тетраедър от четири клетки, след това
октаедър, куб и накрая додекаедрично-икозаедричната структура на гаструлата. И накрая,
Може би най-важното - ДНК структурата на генетичния код на живота - представлява
е четириизмерно развитие (по времевата ос) на въртящ се додекаедър!

Полиедри в изкуството
"Портрет на Монна Лиза"
Композицията на рисунката е базирана на злато
триъгълници, които са части
правилен звезден петоъгълник.
гравюра "Меланхолия"
На преден план на снимката
е изобразен додекаедър.
"Тайната вечеря"
Върху е изобразен Христос с неговите ученици
фон на огромен прозрачен додекаедър.

Полиедри в архитектурата
Музеи на плодовете
Музеи на плодовете в Яманаши, създадени с помощта на
триизмерно моделиране.
Пирамиди
Александрийски фар
Спаската кула
Кремъл.
Четиристепенна Спаска кула с църквата на Спасителя
Не е направено от ръце - главният вход на Казанския Кремъл.
Построен през 16 век от псковските архитекти Иван
Ширяем и Постник Яковлев, по прякор
"Барма". Четирите нива на кулата са
куб, полиедри и пирамида.

Полиедрите не само заемат видно място в геометрията, но се срещат и в ежедневието на всеки човек. Да не говорим за изкуствено създадени битови предмети под формата на различни многоъгълници, от кибритена кутия до архитектурни елементи, в природата има и кристали под формата на куб (сол), призма (кристал), пирамида (шеелит), октаедър (диамант ) и т.н. .d.

Концепцията за многостен, видове многостени в геометрията

Геометрията като наука съдържа раздела стереометрия, който изучава характеристиките и свойствата на обемни тела, чиито страни в триизмерното пространство са образувани от ограничени равнини (лица), наречени "многостени". Има десетки видове полиедри, които се различават по броя и формата на лицата.

Въпреки това всички полиедри имат общи свойства:

1. Всички те имат 3 интегрални компонента: лице (повърхността на многоъгълник), връх (ъглите, образувани на кръстовището на лицата), ръб (страната на фигурата или сегмент, образуван на кръстовището на две лица). ).
2. Всеки ръб на многоъгълник свързва две и само две страни, които са съседни една на друга.
3. Изпъкналостта означава, че тялото е напълно разположено само от едната страна на равнината, върху която лежи едно от лицата. Правилото важи за всички лица на полиедъра. В стереометрията такива геометрични фигури се наричат ​​изпъкнали полиедри. Изключение правят звездовите полиедри, които са производни на правилни многостенни геометрични тела.

Полиедрите могат да бъдат разделени на:

1. Видове изпъкнали полиедри, състоящи се от следните класове: обикновени или класически (призма, пирамида, паралелепипед), правилни (наричани още Платонови тела), полуправилни (друго име е Архимедови тела).
2. Неизпъкнали полиедри (звездовидни).

Призма и нейните свойства

Стереометрията като клон на геометрията изучава свойствата на триизмерни фигури, видове полиедри (сред тях призма). Призмата е геометрично тяло, което задължително има две напълно еднакви лица (те се наричат ​​още основи), разположени в успоредни равнини, и n-то число странични лица под формата на паралелограми. От своя страна, призмата също има няколко разновидности, включително такива видове полиедри като:

1. Паралелепипед се образува, ако основата е успоредник - многоъгълник с 2 двойки равни срещуположни ъгли и две двойки еднакви срещуположни страни.
2. има ребра, перпендикулярни на основата.
3. характеризиращ се с наличието на непреки ъгли (различни от 90) между ръбовете и основата.
4. Правилната призма се характеризира с основи под формата на равни странични лица.

Основни свойства на призмата:

• Конгруентни основи.
• Всички ръбове на призмата са равни и успоредни един на друг.
• Всички странични лица имат формата на успоредник.

Пирамида

Пирамидата е геометрично тяло, което се състои от една основа и n-тия брой триъгълни стени, свързващи се в една точка - върха. Трябва да се отбележи, че ако страничните стени на пирамидата са задължително представени от триъгълници, тогава в основата може да има триъгълен многоъгълник, четириъгълник, петоъгълник и така нататък до безкрайност. В този случай името на пирамидата ще съответства на многоъгълника в основата. Например, ако в основата на пирамида има триъгълник - това е четириъгълник и т.н.

Пирамидите са многогранници с форма на конус. Видовете полиедри в тази група, в допълнение към изброените по-горе, включват и следните представители:

1. има правилен многоъгълник в основата си, а височината му е проектирана в центъра на окръжност, вписана в основата или описана около нея.
2. Правоъгълна пирамида се образува, когато един от страничните ръбове пресича основата под прав ъгъл. В този случай този ръб може да се нарече и височина на пирамидата.

Свойства на пирамидата:

• Ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви (с еднаква височина), тогава всички те се пресичат с основата под същия ъгъл и около основата можете да нарисувате кръг с центъра, съвпадащ с проекцията на върха на пирамидата. пирамида.
• Ако правилен многоъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава всички странични ръбове са еднакви, а лицата са равнобедрени триъгълници.

Правилен многостен: видове и свойства на многостените

В стереометрията специално място заемат геометричните тела с абсолютно равни лица, във върховете на които са свързани еднакъв брой ръбове. Тези тела се наричат ​​платонови тела или правилни полиедри. Има само пет вида полиедри с тези свойства:

1. Тетраедър.
2. Хексаедър.
3. Октаедър.
4. додекаедър.
5. Икосаедър.

Правилните полиедри дължат името си на древногръцкия философ Платон, който описва тези геометрични тела в своите произведения и ги свързва с природните елементи: земя, вода, огън, въздух. Петата фигура получи сходство със структурата на Вселената. Според него атомите на природните елементи имат форма на правилни полиедри. Благодарение на най-завладяващото си свойство - симетрията, тези геометрични тела са представлявали голям интерес не само за древните математици и философи, но и за архитекти, художници и скулптори от всички времена. Наличието на само 5 вида полиедри с абсолютна симетрия се смяташе за фундаментална находка, те дори бяха свързани с божествения принцип.

Хексаедър и неговите свойства

Във формата на шестоъгълник наследниците на Платон приемат сходство със структурата на атомите на земята. Разбира се, в момента тази хипотеза е напълно опровергана, което обаче не пречи на фигурите в съвремието да привличат умовете на известни фигури със своята естетика.

В геометрията хексаедърът, известен също като куб, се счита за специален случай на паралелепипед, който от своя страна е вид призма. Съответно свойствата на куба са свързани помежду си, като единствената разлика е, че всички лица и ъгли на куба са равни помежду си. От това следват следните свойства:

1. Всички ръбове на куба са еднакви и лежат в успоредни равнини един спрямо друг.
2. Всички лица са съвпадащи квадрати (има 6 от тях в куба), всяко от които може да се вземе за основа.
3. Всички междустенни ъгли са равни на 90.
4. Всеки връх има равен брой ръбове, а именно 3.
5. Кубът има 9, които се пресичат в точката на пресичане на диагоналите на хексаедъра, наречен център на симетрия.

Тетраедър

Тетраедърът е тетраедър с равни лица във формата на триъгълници, всеки от върховете на които е точка на свързване на три лица.

Свойства на правилния тетраедър:

1. Всички лица на тетраедър - това означава, че всички лица на тетраедър са еднакви.
2. Тъй като основата е представена от правилна геометрична фигура, тоест има равни страни, тогава лицата на тетраедъра се събират под същия ъгъл, тоест всички ъгли са равни.
3. Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180, тъй като всички ъгли са равни, тогава всеки ъгъл на правилен тетраедър е 60.
4. Всеки връх се проектира до точката на пресичане на височините на противоположното (ортоцентърно) лице.

Октаедър и неговите свойства

Когато се описват видовете правилни полиедри, не може да не се отбележи такъв обект като октаедър, който може да бъде визуално представен като две четириъгълни правилни пирамиди, залепени заедно в техните основи.

Свойства на октаедъра:

1. Самото наименование на едно геометрично тяло подсказва броя на лицата му. Октаедърът се състои от 8 еднакви равностранни триъгълника, във всеки от върховете на които се събират равен брой лица, а именно 4.
2. Тъй като всички лица на октаедъра са равни, неговите междинни ъгли също са равни, всеки от които е равен на 60, а сумата от равнинните ъгли на всеки от върховете е 240.

додекаедър

Ако си представим, че всички лица на едно геометрично тяло са правилен петоъгълник, тогава получаваме додекаедър - фигура от 12 многоъгълника.

Свойства на додекаедъра:

1. Три лица се пресичат във всеки връх.
2. Всички лица са равни и имат еднаква дължина на ръба, както и еднаква площ.
3. Додекаедърът има 15 оси и равнини на симетрия и всяка от тях минава през върха на лицето и средата на ръба срещу него.

Икосаедър

Не по-малко интересна от додекаедъра фигурата икосаедър е триизмерно геометрично тяло с 20 равни лица. Сред свойствата на правилния 20-хедър може да се отбележи следното:

1. Всички лица на икосаедъра са равнобедрени триъгълници.
2. Пет лица се срещат във всеки връх на многостена, а сумата от съседните ъгли на върха е 300.
3. Икосаедърът, подобно на додекаедъра, има 15 оси и равнини на симетрия, минаващи през средните точки на противоположни лица.

Полуправилни многоъгълници

В допълнение към Платоновите тела, групата на изпъкналите многостени включва и Архимедовите тела, които са пресечени правилни многостени. Видовете полиедри в тази група имат следните свойства:

1. Геометричните тела имат по двойки равни лица от няколко вида, например пресеченият тетраедър има, подобно на обикновения тетраедър, 8 лица, но в случай на Архимедово тяло 4 лица ще бъдат с триъгълна форма и 4 ще бъдат шестоъгълни.
2. Всички ъгли на един връх са еднакви.

Звездни полиедри

Представители на необемни типове геометрични тела са звездни полиедри, чиито лица се пресичат помежду си. Те могат да се образуват от сливането на две правилни триизмерни тела или в резултат на удължаване на лицата им.

По този начин, такива звездовидни полиедри са известни като: звездовидни форми на октаедър, додекаедър, икозаедър, кубоктаедър, икозидодекаедър.

Многостен- тяло, чиято повърхност се състои от краен брой многоъгълници, наречени лица на полиедър. Страните и върховете на тези многоъгълници се наричат ​​съответно ръбове и върхове на полиедъра Въз основа на броя на лицата се разграничават 4-хедри, 5-едри и т.н. Отсечка, свързваща два върха, които не принадлежат на едно и също лице, се нарича диагонал на полиедър.

Историята на откриването на полиедъра датира от древни времена. Първите споменавания на полиедри са известни три хиляди години пр.н.е. в Египет и Вавилон.

Полиедърът е пространствена фигура (пространствено тяло).Визуално тялото трябва да си представим като част от пространството, заето от физическо тяло и ограничено от повърхност. Полиедрите се изучават в раздела стереометрия. Раздел от геометрията, който изучава положението, формата, размера и свойствата на пространствените фигури. Думата „стереометрия“ произлиза от гръцките думи „στερεοσ“ – обемен, пространствен и „μετρεο“ – измервам.

Примери за полиедри са:

куб- многостен, чиято повърхност се състои от шест квадрата. Куб (правилен хексаедър) има всички лица - квадрати; Три ръба се събират във всеки връх. Кубът е правоъгълен паралелепипед с равни ръбове. Кубът има 12 ръба, 6 лица, 8 върха.

паралелепипед- многостен, чиято повърхност се състои от шест лица на паралелепипед, които нямат общи върхове, се нарича противоположни. Противоположните лица на паралелепипеда са успоредни и равни. Диагоналът на паралелепипед, подобно на полиедър като цяло, е сегмент, свързващ върховете на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице.

Правоъгълен паралелепипед- паралелепипед, чиито лица са правоъгълници, излизащи от един връх, се наричат ​​неговите размери или линейни размери. Правоъгълният паралелепипед има три измерения.

Прав паралелепипеде паралелепипед с 4 правоъгълни странични лица.

Наклонен паралелепипеде паралелепипед, чиито странични лица не са перпендикулярни на основите.

Призма- многостен, чиято повърхност се състои от два равни многоъгълника, наречени основи на призмата, и успоредници, които имат общи страни с всяка от основите, многоъгълниците се наричат ​​основи на призмата, а сегментите, свързващи съответните им върхове страничните ръбове на призмата са равни и лежат в успоредни равнини. Страничните ръбове на призмата са равни и успоредни. Повърхността на призмата се състои от две основи, а страничната повърхност на всяка призма се състои от успоредници, всяка от които има две страни, които са съответните страни на основите, а другите две са съседни странични ръбове на призма е всеки от перпендикулярите, прекарани от точка на едната основа към равнината на другата основа на призмата.

Права призма- се нарича, ако ръбовете му са перпендикулярни на равнините на основите. В противен случай призмата се нарича страничен ръб на правата призма.

Правилна призма- права призма, чиито основи са правилни многоъгълници.

Пирамида- многостен, чиято повърхност се състои от многоъгълник, наречен основа на пирамидата, и триъгълници, които имат общ връх. Сегментите, свързващи върха на пирамидата с върховете на основата, се наричат ​​странични ръбове. Повърхността на пирамидата се състои от основа и странични лица. Всяко странично лице е триъгълник. Един от неговите върхове е върхът на пирамидата, а противоположната страна е страната на основата на пирамидата. Височината на пирамидата е перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата. Пирамидата се нарича n-ъгълник, ако нейната основа е n-ъгълник. Триъгълната пирамида се нарича още тетраедър.

Правилна пирамида- пирамида с правилен многоъгълник в основата си и всички странични ръбове на която са равни. Оста на правилната пирамида е права линия, съдържаща нейните странични стени на еднакви равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изчертана от върха й до страната на основата, се нарича апотема.

Платонови тела- многостен, чиито лица са правилни и равни многоъгълници, се нарича правилен. Ъглите при върховете на такъв полиедър са равни един на друг.

Има пет вида правилни полиедри. Тези полиедри и техните свойства са описани преди повече от две хиляди години от древногръцкия философ Платон, което обяснява общото им име.

Всеки правилен многостен съответства на друг правилен многостен с брой лица, равен на броя на върховете на дадения многостен. И двата многостена имат еднакъв брой ръбове. Те включват:

Тетраедър (огън)- правилен тетраедър. Тя е ограничена от четири равностранни триъгълника (това е правилна триъгълна пирамида, която има 4 лица, 4 върха и 6 ръба).

Правилният тетраедър има лица, които са правилни триъгълници; Три ръба се събират във всеки връх Правилен тетраедър е един от петте правилни полиедра.

Октаедър (въздух)- правилен октаедър. Състои се от осем равностранни и равни триъгълника, свързани с четири във всеки връх. Лицата на октаедъра са правилни триъгълници, но за разлика от тетраедъра, четири ръба се събират във всеки връх. Това е пълно съкращаване на тетраедъра. Правилният октаедър е квадратна двойна пирамида във всяка от трите ортогонални посоки. Това също е триъгълна антипризма във всяка от четирите посоки. Октаедърът е триизмерен вариант на по-общата концепция за хипероктаедър.

Хексаедър (земя)- правилен шестоъгълник. Това е куб, състоящ се от шест равни квадрата.

додекаедър- правилен додекаедър, състои се от дванадесет правилни и равни петоъгълници, свързани с три близо до всеки връх. Додекаедърът има 12 лица (петоъгълник), 30 ръба и 20 върха (3 ръба се събират във всеки).

Икосаедър (вода)- състои се от 20 равностранни и еднакви триъгълника, свързани по пет близо до всеки връх. Броят на ръбовете е 30, броят на върховете е 12. Икосаедърът има 59 звезди.

Полиедрите могат да бъдат изпъкнали или неизпъкнали. Полиедърът се нарича изпъкнал, ако е разположен от едната страна на равнината на всяко от лицата му. Тетраедърът, паралелепипедът и октаедърът са изпъкнали многостени. Ясно е, че всички лица на изпъкнал многостен са изпъкнали многоъгълници. Може лесно да се докаже, че в изпъкнал многостен сумата от всички равнинни ъгли във всеки връх е по-малка от 360°.

За изпъкнал многостен е вярна теоремата на Ойлер B + G − P = 2, където B е броят на върховете на многостена, G е броят на лицата, P е броят на ръбовете.

Изпъкнал полиедър, чиито върхове лежат в две успоредни равнини, се нарича призматоид. Призма, пирамида и пресечена пирамида са специални случаи на призматоид. Всички странични лица на призматоида са триъгълници или четириъгълници, а четириъгълните лица са трапец или успоредници.

Полиедърът също се разделя на правилен и неправилен. Многостенът се нарича правилен, ако лицата му са правилни многоъгълници (т.е. тези, при които всички страни и ъгли са равни) и всички многостенни ъгли във върховете са равни. Правилните полиедри са били известни още от древни времена. Евклид е дал пълно математическо описание на правилните полиедри в последната, XIII книга на Елементите. Има и полуправилни полиедри- в общия случай това са различни изпъкнали многостени, които, макар и да не са правилни, имат някои свои характеристики, например: всички лица са равни, или всички лица са правилни многоъгълници, или има определени пространствени симетрии. Дефиницията може да варира и да включва различни видове полиедри, но основно включва архимедови тела.

Звезден полиедър (звездовидно тяло) е неизпъкнал многостен, чиито лица се пресичат помежду си. Както при незвездните полиедри, лицата са свързани по двойки в ръбове (в този случай вътрешните пресечни линии не се считат за ръбове. Формата на звезда на многостен е многостен, получен чрез удължаване на лицата на даден многостен. ръбове, докато следващото им пресичане с други лица по нови ръбове.

Правилни звездовидни полиедри- това са звездни полиедри, лицата на които са еднакви (конгруентни) правилни или звездовидни многоъгълници. За разлика от петте класически правилни полиедра (платонови тела), тези полиедри не са изпъкнали тела.

През 1811 г. Августин Лу Коши установява, че има само 4 правилни звездовидни тела (те се наричат ​​тела на Кеплер-Поансо), които не са съединения на Платонови и звездни тела. Те включват малкия звездовиден додекаедър и големия звездовиден додекаедър, открити през 1619 г. от Йоханес Кеплер, както и големия додекаедър и големия икосаедър, открити през 1809 г. от Луис Поансо. Останалите правилни звездовидни полиедри са или съединения на платонови тела, или съединения на тела на Кеплер-Поансо.

Полуправилни звездни полиедри- това са звездовидни полиедри, чиито лица са правилни или звездовидни многоъгълници, но не непременно еднакви. В този случай структурата на всички върхове трябва да бъде еднаква (условие за еднородност). G. Coxeter, M. Longuet-Higgins и J. Miller през 1954 г. изброяват 53 такива тела и допускат, че техният списък е пълен. Едва много по-късно, през 1969 г., С. П. Сопов успява да докаже, че представеният от тях списък с полиедри е наистина пълен.

Много форми на звездни полиедри са предложени от самата природа. Например снежинките са равнинни проекции на звездни полиедри. Някои молекули имат правилни структури от триизмерни фигури.

Свойства на многостените:

Свойство 1. В изпъкнал многостен всички лица са изпъкнали многоъгълници.

Свойство 2. Изпъкналият многостен може да бъде съставен от пирамиди с общ връх, чиито основи образуват повърхността на многостена.

Свойство 3. Изпъкнал многостен лежи от едната страна на равнината на всяко от лицата му.

Свойство 4. Във всеки изпъкнал многостен има лице с брой ръбове по-малък или равен на пет.

Не всички от изброените видове полиедри се изучават и прилагат в началното училище. Най-често учениците в часовете по математика се запознават с куба, многоъгълника, пирамидата, цилиндъра и паралелепипеда. Пример за автори на учебници е А.И. 3 клас, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. 3 клас, Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 клас; те започват по същия начин, опознават се във 2 клас, това е пример за учебници на Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. 2 клас.

Така разгледахме понятията многостен и неговите свойства. Изброява видовете многостени. Научихме за историята на откриването на полиедъра. Установено е, че полиедрите са от голямо значение в природата и за човека. Например многостените се използват в строителството.