Представяне на операции с комплексни числа. Презентация на тема комплексни числа. Твърдение на комплексни числа в математиката

Локтионова Г.Н.

учител по математика

GAPOU "Автотранспортен колеж"

„Комплексни числа и действия

над тях"

• След изучаване на темата студентите трябва: Зная:алгебрични, геометрични и тригонометрични форми на комплексни числа. Умейте да:извършват операции събиране, умножение, изваждане, деление, степенуване и извличане на корен от комплексно число върху комплексни числа; преобразуват комплексни числа от алгебрични в геометрични и тригонометрични форми; използват геометричната интерпретация на комплексни числа; в най-простите случаи намерете сложни корени на уравнения с реални коефициенти.

• Историческа справка
• Основни понятия
• Геометрично представяне на комплексни числа
• Форми за запис на комплексни числа
• Операции с комплексни числа

• Гусак, А.А. Висша математика: учебник за студенти: в 2 тома. Т.1. /А.А. Гандер. – 5-то изд. – Минск: TetraSystems, 2004. – 544 с.
• Канатников, A.N. Линейна алгебра. / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. - М .: Издателство на MSTU im. Н.Е. Бауман, 2001 – 336 с.
• Курош, А.Г. Курс по висша алгебра. / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1971-432.
• Написано D.T. Конспекти от лекции по висша математика. 1 част. – 2-ро изд., рев. – М.: Ирис-прес, 2003. – 288 с.
• Сикорская, Г.А. Курс от лекции по алгебра и геометрия: учебник за студенти от транспортния факултет / G.A. Сикорская. - Оренбург: ИПК ГОУ ОСУ, 2007. – 374 с.

т.1 Историческа справка

Концепцията за комплексно число възниква от практиката и теорията за решаване на алгебрични уравнения.

Математиците за първи път се сблъскват с комплексни числа при решаване на квадратни уравнения. До 16 век математиците по света, не намирайки приемливо тълкуване на сложните корени, възникнали при решаването на квадратни уравнения, ги обявяват за неверни и не ги вземат под внимание.

Кардано, който работи върху решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен, е един от първите математици, които формално оперират с комплексни числа, въпреки че тяхното значение остава до голяма степен неясно за него.

Значението на комплексните числа е обяснено от друг италиански математик Р. Бомбели. В своята книга „Алгебра“ (1572) той за първи път излага правилата за работа с комплексни числа в съвременна форма.

Въпреки това до 18 век комплексните числа се смятат за „въображаеми“ и безполезни. Интересно е да се отбележи, че дори такъв изключителен математик като Декарт, който идентифицира реални числа с сегменти от числовата линия, вярваше, че не може да има истинска интерпретация за комплексни числа и те завинаги ще останат въображаеми, въображаеми. Великите математици Нютон и Лайбниц поддържаха подобни възгледи.

Едва през 18 век много проблеми на математическия анализ, геометрията и механиката изискват широкото използване на операции с комплексни числа, което създава условия за развитието на тяхната геометрична интерпретация.

В приложните трудове на д'Аламбер и Ойлер в средата на 18 век авторите представят произволни въображаеми величини във формата z=a+ib, което позволява такива величини да бъдат представени чрез точки от координатната равнина. Именно тази интерпретация беше използвана от Гаус в работата му, посветена на изследването на решенията на алгебрични уравнения.

И едва в началото на 19 век, когато ролята на сложните числа в различни области на математиката вече е изяснена, е разработена много проста и естествена геометрична интерпретация на тях, което позволява да се разбере геометричният смисъл на операциите върху сложни числа.

П. 2 Основни понятия

Комплексно число zнаречен израз на формата z=a+ib, Където аИ b– реални числа, аз – имагинерна единица, което се определя от отношението:

В този случай числото аНаречен реална частчисла z

(а = Re z), А b - въображаема част (b = Аз съм z).

Ако а = рез =0 , това число zще чисто въображаемо, Ако b = Аз съм z =0 , след това числото zще валиден .

Числа z=a+ibи се наричат комплексно - спрегнат .

Две комплексни числа z 1 =а 1 +ib 1 И z 2 =а 2 +ib 2 са наречени равен, ако реалната и имагинерната им части са съответно равни:

а 1 =а 2 ; b 1 =б 2

Комплексното число е равно на нула, ако реалната и имагинерната част са равни съответно на нула.

Комплексните числа също могат да бъдат записани, например, във формата z=x+iy , z=u+iv .

П. 3 Геометрично представяне на комплексни числа

Всяко комплексно число z=x+iyможе да се представи с точка M(x;y)самолет xOyтакова, че х = рез , г = Аз съм z. И, обратно, всяка точка M(x;y)координатната равнина може да се разглежда като образ на комплексно число z=x+iy(снимка 1).

Снимка 1

Равнината, на която са изобразени комплексните числа, се нарича сложна равнина .

Абсцисната ос се нарича реална ос, тъй като съдържа реални числа z=x+0i=x .

Нарича се ординатната ос въображаема ос, съдържа въображаеми комплексни числа z=0+yi=yi .

Често вместо точки в самолета се вземат те радиус вектори

тези. вектори, започващи с точка O(0;0), край M(x;y) .

Дължина на вектора, представляващ комплексно число z , Наречен модултози номер е обозначен | z|или r .

Големината на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора, представляващ комплексно число, се нарича аргументна това комплексно число е означено Арг zили φ .

Аргумент на комплексното число z=0неопределен.

Аргумент на комплексното число z ≠ 0 - количеството е многозначно и се определя с точност до сбора 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Арг z=арг z+2 π к,

Където арг z - основно значение на аргумента , заключи междувременно (- π , π ] .

т.4 Форми за запис на комплексни числа

Записване на число във формуляра z=x+iyНаречен алгебрична формакомплексно число.

От фигура 1 става ясно, че x=rcos φ , y=rsin φ , следователно, комплекс z=x+iyчислото може да се запише като:

Тази форма на запис се нарича тригонометрична нотациякомплексно число.

Модул r=|z|се определя еднозначно от формулата

Аргумент φ определени от формулите

При преминаване от алгебричната форма на комплексно число към тригонометричната е достатъчно да се определи само основната стойност на аргумента на комплексното число, т.е. броя φ =арг z .

Тъй като от формулата получаваме това

За вътрешни точки аз , IVчетвъртинки;

За вътрешни точки IIчетвъртинки;

За вътрешни точки IIIчетвъртинки.

Пример 1.Представяне на комплексни числа в тригонометрична форма.

Решение. Комплексно число z=x+iyв тригонометрична форма има формата z=r(cos φ +исин φ ) , Където

1) z 1 = 1 +i(номер z 1 принадлежи азчетвъртинки), x=1, y=1.

По този начин,

2) (номер z 2 принадлежи IIчетвъртинки)

От тогава

следователно

Отговор:

Помислете за експоненциалната функция w=e z, Където z=x+iy- комплексно число.

Може да се покаже, че функцията wможе да се запише като:

Това равенство се нарича Уравнение на Ойлер.

За комплексни числа следните свойства ще бъдат верни:

Където м– цяло число.

Ако в уравнението на Ойлер експонентата се приеме за чисто имагинерно число ( х=0), тогава получаваме:

За комплексно спрегнато число получаваме:

От тези две уравнения получаваме:

Тези формули се използват за намиране на стойностите на степените на тригонометрични функции чрез функции на множество ъгли.

Ако представите комплексно число в тригонометрична форма

z=r(cos φ +исин φ )

и използвайте формулата на Ойлер д аз φ =cos φ +исин φ , тогава комплексното число може да бъде записано като

z=r e аз φ

Полученото равенство се нарича експоненциална формакомплексно число.

П. 5 Операции с комплексни числа

1) Действия върху комплексни числа, дадени в алгебрична форма

а) Събиране на комплексни числа

Количестводве комплексни числа z 1 =x 1 +y 1 азИ z 2 =x 2 +y 2 аз

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Свойства на операцията събиране:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (з 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

б) Изваждане на комплексни числа

Изваждането се определя като обратното на събирането.

По разликадве комплексни числа z 1 =x 1 +y 1 азИ z 2 =x 2 +y 2 азтакова комплексно число се нарича z, което, когато се добави към z 2 , дава номера z 1 и се определя от равенството

z=z 1 – з 2 =(x 1 - х 2 )+i(y 1 -y 2 ).

в) Умножение на комплексни числа

Работатакомплексни числа z 1 =x 1 +y 1 азИ z 2 =x 2 +y 2 аз, определени от равенството

z=z 1 z 2 =(x 1 х 2 –y 1 г 2 )+i(x 1 г 2 -х 2 г 1 ).

От тук по-специално следва най-важното отношение

аз 2 = – 1.

Свойства на операцията умножение:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (з 1 z 2 )z 3 =z 1 (з 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

г) Деление на комплексни числа

Делението се определя като обратното на умножението.

Частното на две комплексни числа z 1 И z 2 ≠ 0 се нарича комплексно число z, което, умножено по z 2 , дава номера z 1 , т.е. Ако z 2 z = z 1 .

Ако поставите z 1 =x 1 +y 1 аз , z 2 =x 2 +y 2 аз ≠ 0, z=x+yi , след това от равенството (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 аз,Трябва

Решавайки системата, намираме стойностите хИ г :

По този начин,

На практика вместо получената формула се използва следната техника: те умножават числителя и знаменателя на фракцията по числото, свързано със знаменателя („отървете се от въображаемото в знаменателя“).

Пример 2.Дадени комплексни числа 10+8i , 1+i.Нека намерим техния сбор, разлика, произведение и частно.

Решение.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 аз +8 аз +8 аз 2 =2+18i;

д) Построяване на комплексно число, дадено в алгебрична форма в н та степен

Нека запишем целите степени на въображаемата единица:

Най-общо резултатът може да се запише по следния начин:

Пример 3.Изчисли аз 2 092 .

Решение.

• Нека представим показателя във формата н = 4k+lи използвайте свойството на степен с рационален показател z 4k+1 =(z 4 ) к ∙ z л .

Ние имаме: 2092=4 ∙ 523 .

По този начин, аз 2 092 = аз 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , но тъй като аз 4 = 1 , тогава най-накрая получаваме аз 2 092 = 1 .

Отговор: аз 2 092 = 1 .

При конструиране на комплексно число а+бина втора и трета степен, използвайте формулата за квадрат и куб на сумата от две числа и при повдигане на степен н (н- естествено число, н ≥ 4 ) – биномна формула на Нютон:

За да намерите коефициентите в тази формула, е удобно да използвате триъгълника на Паскал.

д) Извличане на корен квадратен от комплексно число

Корен квадратенКомплексно число е комплексно число, чийто квадрат е равен на даденото.

Нека обозначим корен квадратен от комплексно число x+yiпрез u+vi, тогава по дефиниция

Формули за намиране uИ vизглежда като

Знаци uИ vса избрани така, че получените uИ vудовлетворено равенство 2uv=y .

0, тогава u и v са едно комплексно число от еднакви знаци.) Отговор: content" width="640"

Пример 4.Намиране на корен квадратен от комплексно число z=5+12i .

Решение.

Нека обозначим квадратния корен на числото zпрез u+vi, Тогава (u+vi) 2 =5+12i .

Защото в този случай х=5 , y=12, тогава с помощта на формули (1) получаваме:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Така се намират две стойности на квадратния корен: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Знаците са избрани според равенството 2uv=y, т.е. тъй като y=120, Че uИ vедно комплексно число от еднакви знаци.)

Отговор:

2) Операции с комплексни числа, дадени в тригонометрична форма

Помислете за две комплексни числа z 1 И z 2 , дадени в тригонометрична форма

а) Произведение на комплексни числа

Умножение на числа z 1 И z 2 , получаваме

б) Частното на две комплексни числа

Нека са дадени комплексни числа z 1 И z 2 ≠ 0 .

Нека разгледаме коефициента, който имаме

Пример 5. Дадени са две комплексни числа

Решение.

1) Използване на формулата. получаваме

следователно

2) Използване на формулата. получаваме

следователно

Отговор:

V) Построяване на комплексно число, дадено в тригонометрична форма в н та степен

От операцията за умножение на комплексни числа следва, че

В общия случай получаваме:

Където н – положително цяло число.

Следователно , когато комплексно число се повишава на степен, модулът се повишава на същата степен и аргументът се умножава по експонентата .

Извиква се израз (2). Формулата на Моавър .

Абрахам дьо Моавър (1667 - 1754) - английски математик от френски произход.

Заслуги на Moivre:

• открива (1707) формулата на Moivre за степенуване (и извличане на корени) на комплексни числа, дадени в тригонометрична форма;
• първият започна да използва степенуване на безкрайни серии;
• направи голям принос към теорията на вероятностите: той доказа специален случай на теоремата на Лаплас, проведе вероятностно изследване на хазарта и редица статистически данни за населението.

Формулата на Moivre може да се използва за намиране на тригонометрични функции на двойно, тройно и т.н. ъгли

Пример 6.Намерете формули грях 2  И cos 2  .

Решение.

Помислете за някакво комплексно число

Тогава от една страна

Според формулата на Moivre:

Приравнявайки, получаваме

защото две комплексни числа са равни, ако техните реални и имагинерни части са равни, тогава

Получихме добре познатите формули за двоен ъгъл.

г) Екстракция на корен П

корен П -та степен на комплексно число zсе нарича комплексно число w, удовлетворяващи равенството w н =z, т.е. Ако w н =z .

Ако поставим и след това, по дефиницията на корен и формулата на Moivre, получаваме

От тук имаме

Следователно равенството приема формата

където (т.е. от 0 до n-1).

По този начин, извличане на корени н -та степен на комплексно число z винаги е възможно и дава н различни значения. Всички значения на корена н та степен, разположена върху окръжност с радиус с център нула и разделете този кръг на н равни части.

Пример 7.Намерете всички стойности

Решение.

Първо, нека представим числото в тригонометрична форма.

В такъв случай х=1 , , По този начин,

следователно

Използване на формула

Където k=0,1,2,…,(n-1),ние имаме:

Нека запишем всички стойности:

Отговор:

Въпроси за самоконтрол

1 . Формулирайте дефиницията на комплексно число.

2. Какво комплексно число се нарича чисто имагинерно?

3. Кои две комплексни числа се наричат ​​спрегнати?

4. Обяснете какво означава да събирате комплексни числа, дадени в алгебрична форма; умножете комплексно число по реално число.

5. Обяснете принципа на деление на комплексни числа, дадени в алгебрична форма.

6. Напишете в общи линии целите степени на имагинерната единица.

7. Какво означава да повдигнете комплексно число, дадено от алгебрична форма, на степен (n е естествено число)?

8. Разкажете ни как се изобразяват комплексни числа на равнина.

9. Каква форма на запис се нарича тригонометрична форма на комплексни числа?

10. Формулирайте дефиницията на модул и аргумент на комплексно число.

11. Формулирайте правилото за умножение на комплексни числа, записани в тригонометрична форма.

12. Формулирайте правило за намиране на частното на две комплексни числа, дадени в тригонометрична форма.

13. Формулирайте правилото за повдигане на комплексни числа, дадени в тригонометрична форма, на степени.

14. Формулирайте правило за извличане на корен n-та от комплексно число, дадено в тригонометрична форма.

15. Разкажете ни за значението на n-тия корен от единица и обхвата на неговото приложение.

Слайд 2

1. Развитие на понятието число

Древногръцките математици са смятали само естествените числа за „реални“. Наред с естествените числа се използваха дроби - числа, съставени от цяло число дроби на единица.

Слайд 3

Въвеждането на отрицателните числа - това е направено от китайските математици два века пр.н.е. д. Още през 8 век е установено, че квадратният корен от положително число има две значения – положително и отрицателно, като квадратният корен не може да се вади от отрицателните числа.

Слайд 4

2. По пътя към комплексните числа

През 16 век, във връзка с изучаването на кубични уравнения, стана необходимо да се извлекат квадратни корени от отрицателни числа.

Слайд 5

Във формулата за решаване на кубични уравнения от формата:

Слайд 6

кубичен и квадратен корен:

Слайд 7

Тази формула работи безупречно в случая, когато уравнението има един реален корен, а ако има три реални корена, тогава под знака за квадратен корен се появява отрицателно число. Оказа се, че пътят до тези корени води през невъзможната операция за извличане на корен квадратен от отрицателно число.

Слайд 8

Слайд 9

Освен x=1, има още два корена

Слайд 10

Италианският алгебраист Г. Кардано през 1545 г. предлага въвеждането на числа от нов характер. Той показа, че системата от уравнения

Слайд 11

който няма решения в множеството от реални числа, има решения от вида

Слайд 12

просто трябва да се съгласите да действате върху такива изрази според правилата на обикновената алгебра и да приемете, че

Слайд 13

3. Твърдение на комплексни числа в математиката

Кардано нарече такива количества „чисто отрицателни“ и дори „софистично отрицателни“, смяташе ги за безполезни и се опитваше да не ги използва. Но още през 1572 г. е публикувана книга на италианския алгебраист Р. Бомбели, в която са установени първите правила за аритметични операции с такива числа, до извличането на кубични корени от тях.

Слайд 14

Наименованието "въображаеми числа" е въведено през 1637 г. от френския математик и философ Р. Декарт. През 1777 г. един от най-големите математици на 18-ти век, Л. Ойлер, предлага използването на първата буква от френската дума imaginaire (въображаем) за обозначаване на число (въображаема единица). Този символ влезе в обща употреба благодарение на К. Гаус. Терминът „комплексни числа“ също е въведен от Гаус през 1831 г.

Слайд 15

Думата комплекс (от лат. complexus) означава връзка, комбинация, съвкупност от понятия, предмети, явления и др., които образуват едно цяло.

Слайд 16

Л. Ойлер извежда забележителна формула през 1748 г

Слайд 17

който свързва експоненциалната функция с тригонометричната. Използвайки формулата на Л. Ойлер, беше възможно да се повиши числото e до всяка сложна степен.

Слайд 18

В края на 18-ти век френският математик Ж. Лагранж може да каже, че математическият анализ вече не е усложнен от въображаеми количества.

Слайд 19

След създаването на теорията на комплексните числа възникна въпросът за съществуването на „хиперкомплексни” числа – числа с няколко „въображаеми” единици. Такава система е построена през 1843 г. от ирландския математик У. Хамилтън, който ги нарича "кватерниони"

Слайд 20

Слайд 21

4. Геометрично представяне на комплексно число

Слайд 22

Такава равнина се нарича сложна. Реалните числа върху нея заемат хоризонталната ос, имагинерната единица е изобразена като единица по вертикалната ос; поради тази причина хоризонталната и вертикалната ос се наричат ​​съответно реална и имагинерна ос.

Слайд 23

5. Тригонометрична форма на комплексно число.

Абсцисата a и ордината b на комплексно число a + bi се изразяват чрез модула r и аргумента q. Формули a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r е дължината на вектора (a+bi), q е ъгълът, който образува с положителната посока на абсцисната ос

Слайд 24

Комплексните числа, въпреки тяхната „фалшивост“ и невалидност, имат много широко приложение. Те играят важна роля не само в математиката, но и в такива науки като физиката и химията. В момента комплексните числа се използват активно в електромеханиката, компютърната и космическата индустрия

Слайд 25

Следователно всяко комплексно число може да бъде представено във формата r(cos q + i sin q), където r > 0, т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Този израз се нарича нормална тригонометрична форма или накратко тригонометрична форма на комплексно число.

Слайд 26

Благодаря ви за вниманието!

Вижте всички слайдове

Комплексни числа Комплексни числа и операции върху тях.

Числова система Допустими алгебрични операции Частично допустими алгебрични операции. Естествени числа, N Събиране, умножение Изваждане, деление, вадене на корени. Но от друга страна, уравнението няма корени в N цели числа, Z събиране, изваждане, умножение. Разделяне, извличане на корен. Но от друга страна, уравнението няма корени в Z Рационални числа, Q Събиране, изваждане, умножение, деление. Извличане на корени от неотрицателни числа. Но от друга страна, уравнението няма корени в Q Реални числа, R Събиране, изваждане, умножение, деление, вземане на корен на неотрицателни числа. Извличане на корени от произволни числа. Но от друга страна, уравнението няма корени в R Комплексни числа, C Всички операции

УСЛОВИЯ, на които трябва да отговарят комплексните числа... 1. Има комплексно число, чийто квадрат е -1 2. Множеството от комплексни числа съдържа всички реални числа. 3. Операциите събиране, изваждане, умножение и деление на комплексни числа отговарят на обичайния закон на аритметичните операции (комбинативно, комутативно, разпределително)

Вид комплексно число Най-общо правилата на аритметичните операции с чисто имагинерни числа са следните: ai+bi =(a+b) i ; ai -bi=(a-b) i ; a(bi)=(ab) i ; (ai)(bi)=abi²=- ab (a и b са реални числа) i²= -1, i - въображаема единица

Дефиниции Дефиниция № 1 Комплексното число е сбор от реално число и чисто имагинерно число. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – въображаема единица. В записа z = a+bi числото a се нарича реална част от комплексното число z, а числото b се нарича имагинерна част от комплексното число z. Определение № 2 Две комплексни числа се наричат ​​равни, ако реалните им части са равни, а имагинерните им части са равни. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Определение № 3 Ако запазите реалната част на комплексно число и промените знака на имагинерната част, получавате комплексно число, спрегнато на даденото. Z=X+YI X - YI

Формули Сума от комплексни числа: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) Разлика на комплексни числа: z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Продукт на комплексни числа: (a+bi)(c+di)= i (ac- bd )+( bc+ad) Формула за частното на две комплексни числа: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Свойства Свойство 1 Ако z = x + yi, тогава z*z = x ² + y ² z 1 И числителят, и знаменателят на дробта трябва да бъдат умножени по числото, спрегнато към знаменателя. Свойство 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 т.е. число, спрегнато на сбора от две комплексни числа, е равно на сбора на спрегнатите на тези числа. Свойство 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, т.е. спрегнатата разлика на две комплексни числа е равна на разликата на спрегнатите на тези числа.

Свойство 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 т.е. числото, спрегнато на произведението на две комплексни числа, е равно на произведението на спрегнатите на тези числа. От друга страна, Z 1= a-bi, c- di, което означава Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Свойство 5 Свойство 6

Геометрична интерпретация на комплексно число. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Събиране и умножение на комплексни числа. Алгебрична форма Геометрична форма Продукт Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 · Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1 + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] Продукт (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Сума (A+iB) + (C+iD )= (A+C)+(B+D)I

Формула на Moivre За всяко Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 и всяко естествено число n

Теорема на Гаус: всяко алгебрично уравнение има поне един корен в множеството от комплексни числа Всяко алгебрично уравнение от степен n има точно n корена в множеството от комплексни числа. Втората формула на Moivre определя всички корени на биномиално уравнение от степен n

Благодаря за вниманието! Презентацията беше направена от ученик от 10 „а“ клас на MOAU „Гимназия № 7“ в Оренбург Елимова Мария.

След изучаване на темата „Комплексни числа
студентите трябва:
Зная:
алгебрични, геометрични и тригонометрични форми
комплексно число.
Умейте да:
извършване на операции за събиране на комплексни числа,
умножение, изваждане, деление, степенуване, извличане
корен от комплексно число;
преобразувайте комплексни числа от алгебрична форма в
геометрични и тригонометрични;
използват геометричната интерпретация на комплексни числа;
в най-простите случаи намерете сложни корени на уравнения с
реални коефициенти.

С какви набори от числа познавате?

I. Подготовка за изучаване на нов материал
С какви набори от числа познавате?
н
З
Q
N Z Q R
Р

Бройна система
Естествено
числа, Н
Цели числа, Z
Рационални числа, Q
реални числа,
Р
Комплекс
числа, C
Приемливо
алгебричен
операции
допълнение,
умножение
Събиране, изваждане,
умножение
Събиране, изваждане,
умножение, деление
Събиране, изваждане,
умножение, деление,
вкореняване
неотрицателни числа
Всички операции
частично
приемливо
алгебричен
операции
Изваждане, деление,
извличане на корени
дивизия,
извличане на корени
Извличане на корени от
неотрицателни
числа
Извличане на корен
от произволен
числа

Минимални условия, които трябва да бъдат изпълнени
комплексни числа:
C1) Има квадратен корен от, т.е. съществува
комплексно число, чийто квадрат е равен на.
C2) Наборът от комплексни числа съдържа всички реални
числа.
C3) Операции събиране, изваждане, умножение и деление
комплексните числа отговарят на обичайните закони
аритметични операции (комбинативни, комутативни,
разпространение).
Изпълнението на тези минимални условия ни позволява да определим
цялото множество C от комплексни числа.

Въображаеми числа

i = -1, i – въображаема единица
i, 2i, -0.3i - чисто имагинерни числа
Аритметични операции с чисто имагинерни числа
са изпълнени в съответствие с условие C3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
Като цяло правилата на аритметичните операции са чисто въображаеми
числата са:
a b i;
a bi ab i;
ай би
ai bi a b i;
ai bi abi a
където a и b са реални числа.
2

Комплексни числа

Определение 1. Комплексно число е сумата
реално число и чисто имагинерно число.
z a bi C a R, b R,
i е имагинерната единица.
a Re z, b Im z
Определение 2. Извикват се две комплексни числа
равни, ако реалните им части са равни и равни
техните въображаеми части:
a bi c di a c, b d .

Класификация на комплексни числа

Комплексни числа
а+би
Реални числа
b=o
Рационално
числа
Ирационално
числа
Въображаеми числа
b≠o
Въображаеми числа с
ненулев
валиден
част
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
въображаем
числа
a = 0, b ≠ 0.

Аритметични действия с комплексни числа

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
аз
2
2
c di (c di)(c di) c d
c d

Конюгирани комплексни числа

Определение: Ако се пази комплексно число
реална част и след това сменете знака на имагинерната част
резултатът е комплексно число, спрегнато на даденото.
Ако дадено комплексно число се означи с буквата z, то
спрегнатото число се означава с z:
z x yi z x yi
От всички комплексни числа, реалните числа (и само те)
са равни на техните спрегнати числа.
Числата a + bi и a - bi се наричат ​​взаимно спрегнати
комплексни числа.

Свойства на спрегнатите числа

1. Сборът и произведението на две спрегнати числа е число
истински.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Спрегнатото число на сумата от две комплексни числа е равно на
сумата от спрегнатите числа.
z1 z2 z1 z2
3. Спрегнатото число на разликата на две комплексни числа е равно на
разликата между конюгатите на дадени числа.
z1 z2 z1 z2
4. Спрегнатото число на произведението на две комплексни числа е равно на
произведението на конюгатите на дадени числа.
z1z2 z1 z2

Свойства на спрегнатите числа

5. Числото, спрегнато на n-та степен на комплексното число z,
равно на n-та степен на числото, спрегнато на числото z, т.е.
z n (z)n, n N
6. Спрегнатото число на две комплексни числа от
чийто делител е различен от нула, е равно на частното
спрегнати числа, т.е.
а би а би
c di c di

Сили на въображаема единица

По дефиниция първата степен на i е
1
себе си
числото i, а втората степен е числото -1:
i1 = i, i2 = -1
.
По-високите степени на i се намират, както следва
1
начин:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 и т.н.
Очевидно за всяко естествено число n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Извличане на квадратни корени от комплексни числа в алгебрична форма.

Определение. Числото w се нарича корен квадратен от
2
комплексно число z, ако неговият квадрат е равен на z: w z
Теорема. Нека z=a+bi е ненулево комплексно число.
Тогава има два взаимно противоположни комплекса
числа, чиито квадрати са равни на z. Ако b≠0, тогава тези две числа
изразено с формулата:
w
a2 b2 a
подписвамb
2
a 2 b 2 a
, Където
2
1 ако b 0
signb 1 ако b 0
0, ако b е 0
За b 0, a 0 имаме: w a , за b 0, a 0 имаме: w i a .

Геометрично представяне на комплексни числа.

Комплексно число z в координатната равнина
съответства на точка M(a, b).
Често вместо точки в самолета се вземат те
радиус вектори
ОМ
Определение: Модул на комплексно число z = a + bi
наричаме неотрицателно числоa 2 b2
,
равно на разстоянието от точка М до началото
z a 2 b2
координати
cos
г
М (а, б)
b
φ
О
а
х
а
и грях
b
a2 b2
a2 b2
аргумент комплексно число
;

Тригонометрична форма на комплексно число

z r cos i sin
където φ е аргументът на комплексно число,
r=
a 2 b2 - модул на комплексно число,
cos
а
a2 b2
и грях
b
a2 b2

Умножение и деление на комплексни числа, дадени в тригонометрична форма

Теорема
Ако
1.
z1 0, z2 0
И
z1 r1 cos 1 i sin 1, z2 r2 cos 2 i sin 2, тогава:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
защото 1 2 и грях 1 2
z2 r2
Теорема 2 (формула на Моавър).
Нека z е всяко различно от нула
комплексно число, n - произволно цяло число.
Тогава
z r cos i sin r n cosn i sin n.
н
н

Извличане на корен от комплексно число.

Теорема. За всяко естествено число n и
съществува ненулево комплексно число z
n различни стойности на n-корена.
Ако
z r cos i sin ,
тогава тези стойности се изразяват с формулата
2k
2k
wk r cos
е в
,
н
н
където k 0,1,..., (n 1)

1. История на развитието на числата.

Говорител:Знаете ли, че в древността вие и аз най-вероятно сме били смятани за магьосници? В древни времена човек, който може да брои, се е смятал за магьосник. Не всички грамотни хора са притежавали такова „магьосничество“. Това бяха предимно писари, които знаеха как да броят, а също и, разбира се, търговци.

Появяват се търговци.
Търговци.Събирането, най-простото аритметично действие, може да се усвои с известна доза въображение. Всичко, което трябваше да направите, беше да си представите еднакви пръчици, камъчета и черупки.

Говорител:Приблизително така са ни учили да броим в първи клас. В пети клас НАУЧИХМЕ името на тези числа. Как се наричат ​​и обозначават? ? (естествено" н » - естествено , Слайд № 1)Какви операции са позволени върху множеството от естествени числа? (събиране, умножение)
Но проблемите вече започваха с изваждането. Не винаги е било възможно да се извади едно число от друго. Понякога отнемате, отнемате и ето, нищо не остава. Нищо повече за отнемане! Така че изваждането се смяташе за сложно действие и не винаги беше възможно да се извърши.
Но тогава търговците се притекоха на помощ.

„Две черни пръчки са, да речем, две овце, които трябва да раздадете, но още не сте се отказали. Това е задължение!

Говорител:Като цяло човечеството трябва да тълкува отрицателните числа и в същото време да дефинира концепцията за цели числа З -« нула » отне повече от хиляда години. Но операциите станаха допустими...( събиране, изваждане и умножение).

Като цяло проблеми, подобни на описаните по-горе с отрицателни числа, възникват при всички „обратни“ аритметични операции. Две цели числа могат да бъдат умножени, за да се получи цяло число. Но резултатът от разделянето на две цели числа на цяло число не винаги се оказва цяло число. Това също доведе до объркване.

Търговци:сцена за споделяне на шоколад. Вижте, спечелихме малко сладки. Да споделим!!!

Но като? тя е сама, а ние сме двама, а също и гости... измислих части от нея на части...

Говорител:Тоест, за да може винаги да съществува резултатът от деленето, беше необходимо да се въведе, овладее и разбере, така да се каже, „физическото значение“ на дробните числа. Ето как рационалните числа влязоха в игра - Q - "коефициент" - "съотношение".

Много операции са станали допустими в системата на рационалните числа. Но това, което не винаги се получаваше ? (извличането на корени от неотрицателни числа беше частично допустимо. Например „корен от 81“ и „корен от 2.“)

Тази необходимост доведе до въвеждането на множеството от реални числа (R – real), за които извличането на корени от неотрицателни числа беше допустима алгебрична операция. И все пак имаше един недостатък - това...? ( вземане на корен от отрицателни числа.)

2. Нов материал.

През 18 век математиците измислиха специални числа, за да извършат друга „обратна“ операция, като извадиха корен квадратен от отрицателни числа. Това са така наречените „комплексни” числа (C-комплекс). Трудно е да си ги представим, но е възможно да свикнем с тях. Смята се, че всички алгебрични операции са допустими върху множеството от комплексни числа. А ползите от използването на комплексни числа са големи. Съществуването на тези "странни" числа значително улеснява изчисляването на сложни променливотокови електрически вериги и също така прави възможно изчисляването на профила на крилото на самолета. Нека ги опознаем по-добре.

Нека изброим минималните условия, на които трябва да отговарят комплексните числа:

• C1: Има комплексно число, чийто квадрат е -1

C2 Наборът от комплексни числа съдържа всички реални числа.

C3 Операциите събиране, изваждане, умножение и деление отговарят на законите на аритметичните операции (комбинативни, комутативни, разпределителни)

Извиква се число, чийто квадрат е -1 имагинерна единицаи е обозначен аз –въображаем - въображаем, въображаем...Тази нотация е предложена от Леонхард Ойлер през 18 век. По този начин:

i 2 =-1, i-въображаема единица

Определение 1:

Числата от формата bi, където i е имагинерната единица, се наричат ​​чисто имагинерни.

Например 2i, -3i, 0.5i

Определение 2:

Комплексното число е сбор от реално число и чисто въображаемо число.

Комплексното число се записва като z = a + bi.

Номер а се нарича реална част от числото z,

номер bi е имагинерната част от числото z.

Те се означават съответно: a = Re z, b = Im z.

Аритметични операции:

Сравнение

a + bi = c + di означава, че a = c и b = d (две комплексни числа са равни тогава и само ако техните реални и имагинерни части са равни)

Допълнение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Изваждане

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение

(a + bi)× (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

дивизия

3. Практикувайте.

Учебник Mordkovich A.G. Ниво на профил. 11 клас. Нека да разгледаме най-простите примери за работа върху набор от комплексни числа.

Разгледайте пример № 1,2 - два начина. (стр.245).

Работа с учебника. № 32.7, 32.10, 32.12

4.Тест(Приложение)

Д/З № 32.5, 32.8, 32.11 а, б