Какво е правилна призма? Определение за призма, нейните елементи и видове. Основни характеристики на фигурата

Определение. Призмае многостен, всичките чиито върхове са разположени в две успоредни равнини и в същите тези две равнини лежат две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни, и всички ръбове, които не лежат в тези равнини, са успоредни.

Две равни лица се наричат призмени основи(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички останали лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Всички странични лица се образуват странична повърхност на призмата .

Всички странични стени на призмата са успоредници .

Ръбовете, които не лежат в основите, се наричат ​​странични ръбове на призмата ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагонал на призмата е сегмент, чиито краища са два върха на призма, които не лежат на едно и също лице (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна едновременно на двете основи, се нарича височина на призмата .

Обозначаване:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в реда на преминаване, са посочени върховете на една основа, а след това, в същия ред, върховете на друга; краищата на всеки страничен ръб са обозначени със същите букви, обозначени са само върховете, лежащи в една основа с букви без индекс, а в другия - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 има петоъгълник в основата, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но защото такава призма има 7 лица, тогава тя седмостен(2 лица - основите на призмата, 5 лица - успоредници, - нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява определен тип: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

паралелепипед

Правоъгълен паралелепипед- прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

,

където d е диагоналът на квадрата;
a е страната на квадрата.

Идеята за призма се дава от:

• различни архитектурни структури;
• Детски играчки;
• опаковъчни кутии;
• дизайнерски артикули и др.

Площта на общата и страничната повърхност на призмата

S пълен = S страничен + 2S основен,

Където S пълен- обща площ, S страна- странична повърхност, S база- основна площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна= P основен * h,

Където S страна- площ на страничната повърхност на права призма,

P main - периметър на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.

Определение 1. Призматична повърхност
Теорема 1. Върху успоредни сечения на призматична повърхнина
Определение 2. Перпендикулярно сечение на призматична повърхнина
Определение 3. Призма
Определение 4. Височина на призмата
Определение 5. Права призма
Теорема 2. Площта на страничната повърхност на призмата

паралелепипед:
Определение 6. Паралелепипед
Теорема 3. На пресечната точка на диагоналите на паралелепипед
Определение 7. Прав паралелепипед
Определение 8. Правоъгълен паралелепипед
Определение 9. Измервания на паралелепипед
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоедър
Теорема 4. Върху диагоналите на правоъгълен паралелепипед
Теорема 5. Обем на призма
Теорема 6. Обем на права призма
Теорема 7. Обем на правоъгълен паралелепипед

Призмае многостен, чиито две лица (основи) лежат в успоредни равнини, а ръбовете, които не лежат в тези лица, са успоредни един на друг.
Лица, различни от основите, се наричат страничен.
Страните на страничните лица и основите се наричат призмени ребра, краищата на ръбовете се наричат върховете на призмата. Странични ребрасе наричат ​​ръбове, които не принадлежат на основите. Обединението на страничните лица се нарича странична повърхност на призмата, а обединението на всички лица се нарича цялата повърхност на призмата. Височина на призматанаречен перпендикуляр, спуснат от точката на горната основа към равнината на долната основа или дължината на този перпендикуляр. Директна призманаречена призма, чиито странични ребра са перпендикулярни на равнините на основите. Правилнонаречена права призма (фиг. 3), в основата на която лежи правилен многоъгълник.

Обозначения:
l - странично ребро;
P - периметър на основата;
S o - основна площ;
H - височина;
P^ - периметър на перпендикулярно сечение;
S b - странична повърхност;
V - обем;
S p е площта на общата повърхност на призмата.

Определение 2 . Перпендикулярно сечение на призматична повърхност е сечение на тази повърхност с равнина, перпендикулярна на нейните ръбове. Въз основа на предишната теорема всички перпендикулярни сечения на една и съща призматична повърхност ще бъдат равни многоъгълници.

Определение 3 . Призмата е полиедър, ограничен от призматична повърхност и две равнини, успоредни една на друга (но не успоредни на ръбовете на призматичната повърхност)
Лицата, разположени в тези последни равнини, се наричат призмени основи; лица, принадлежащи на призматичната повърхност - странични лица; ръбове на призматичната повърхност - странични ребра на призмата. По силата на предишната теорема основата на призмата е равни многоъгълници. Всички странични лица на призмата - успоредници; всички странични ребра са равни едно на друго.
Очевидно, ако са дадени основата на призмата ABCDE и един от ръбовете AA" по размер и посока, тогава е възможно да се конструира призма чрез начертаване на ръбове BB", CC", ... равни и успоредни на ръба AA" .

Определение 4 . Височината на призмата е разстоянието между равнините на нейните основи (HH").

Определение 5 . Призма се нарича права, ако нейните основи са перпендикулярни участъци от призматичната повърхност. В този случай височината на призмата, разбира се, е нейната странично ребро; страничните ръбове ще бъдат правоъгълници.
Призмите могат да бъдат класифицирани според броя на страничните лица, равен на броя на страните на многоъгълника, който служи като негова основа. Така призмите могат да бъдат триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и т.н.

Теорема 2 . Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на страничния ръб и периметъра на перпендикулярното сечение.
Нека ABCDEA"B"C"D"E" е дадена призма и abcde нейното перпендикулярно сечение, така че сегментите ab, bc, .. са перпендикулярни на страничните й ръбове. Лицето ABA"B" е успоредник; неговата площ е равно на произведението на основата AA " до височина, която съвпада с ab; площта на лицето ВСВ "С" е равна на произведението на основата ВВ" по височината bc и т.н. Следователно страничната повърхност (т.е. сумата от площите на страничните лица) е равна на продукта на страничния ръб, с други думи, общата дължина на сегментите AA", ВВ", .., за сумата ab+bc+cd+de+ea.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Общи сведения за правата призма

Страничната повърхност на призмата (по-точно площта на страничната повърхност) се нарича сумаобласти на страничните лица. Общата повърхност на призмата е равна на сумата от страничната повърхност и площите на основите.

Теорема 19.1. Страничната повърхност на права призма е равна на произведението от периметъра на основата и височината на призмата, т.е. дължината на страничния ръб.

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници. Основите на тези правоъгълници са страните на многоъгълника, лежащ в основата на призмата, а височините са равни на дължината на страничните ръбове. От това следва, че страничната повърхност на призмата е равна на

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

където a 1 и n са дължините на основните ръбове, p е периметърът на основата на призмата, а I е дължината на страничните ръбове. Теоремата е доказана.

Практическа задача

Проблем (22) . В наклонена призма се извършва раздел, перпендикулярна на страничните ребра и пресичаща всички странични ребра. Намерете страничната повърхност на призмата, ако периметърът на сечението е равен на p, а страничните ръбове са равни на l.

Решение. Равнината на начертаното сечение разделя призмата на две части (фиг. 411). Нека подложим една от тях на паралелен превод, комбинирайки основите на призмата. В този случай получаваме права призма, чиято основа е напречното сечение на оригиналната призма, а страничните ръбове са равни на l. Тази призма има същата странична повърхност като оригиналната. По този начин страничната повърхност на оригиналната призма е равна на pl.

Обобщение на засегнатата тема

Сега нека се опитаме да обобщим темата, която разгледахме за призмите и да си спомним какви свойства притежава призмата.

Свойства на призмата

Първо, призмата има всички свои основи като равни многоъгълници;
Второ, в призмата всички нейни странични лица са успоредници;
Трето, в такава многостранна фигура като призма всички странични ръбове са равни;

Също така трябва да се помни, че полиедри като призми могат да бъдат прави или наклонени.

Коя призма се нарича права призма?

Ако страничният ръб на призмата е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича права.

Не би било излишно да припомним, че страничните стени на права призма са правоъгълници.

Какъв тип призма се нарича наклонена?

Но ако страничният ръб на призмата не е разположен перпендикулярно на равнината на нейната основа, тогава можем спокойно да кажем, че това е наклонена призма.

Коя призма се нарича правилна?

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава такава призма е правилна.

Сега нека си припомним свойствата, които има правилната призма.

Свойства на правилната призма

Първо, правилните многоъгълници винаги служат като основи на правилна призма;
Второ, ако разгледаме страничните стени на правилна призма, те винаги са равни правоъгълници;
Трето, ако сравните размерите на страничните ребра, тогава в обикновена призма те винаги са равни.
Четвърто, правилната призма винаги е права;
Пето, ако в правилната призма страничните лица имат формата на квадрати, тогава такава фигура обикновено се нарича полуправилен многоъгълник.

Напречно сечение на призмата

Сега нека да разгледаме напречното сечение на призмата:

Домашна работа

Сега нека се опитаме да затвърдим темата, която сме научили, като решаваме задачи.

Нека начертаем наклонена триъгълна призма, разстоянието между ръбовете й ще бъде равно на: 3 cm, 4 cm и 5 cm, а страничната повърхност на тази призма ще бъде равна на 60 cm2. Имайки тези параметри, намерете страничния ръб на тази призма.

Знаете ли, че геометричните фигури постоянно ни заобикалят, не само в уроците по геометрия, но и в ежедневието има предмети, които приличат на една или друга геометрична фигура.

Всеки дом, училище или работа има компютър, чийто системен модул е ​​с форма на права призма.

Ако вземете обикновен молив, ще видите, че основната част на молива е призма.

Разхождайки се по централната улица на града, виждаме, че под краката ни лежи плочка, която има формата на шестоъгълна призма.

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Стереометрията е клон на геометрията, който изучава фигури, които не лежат в една и съща равнина. Един от обектите на изследване на стереометрията са призмите. В статията ще дефинираме призмата от геометрична гледна точка, а също така ще изброим накратко свойствата, които са характерни за нея.

Геометрична фигура

Дефиницията на призмата в геометрията е следната: това е пространствена фигура, състояща се от два еднакви n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, свързани помежду си с техните върхове.

Получаването на призма не е трудно. Нека си представим, че има два еднакви n-ъгълника, където n е броят на страните или върховете. Нека ги поставим така, че да са успоредни един на друг. След това върховете на един многоъгълник трябва да бъдат свързани със съответните върхове на другия. Получената фигура ще се състои от две n-ъгълни страни, които се наричат ​​основи, и n четириъгълни страни, които като цяло са успоредници. Наборът от паралелограми образува страничната повърхност на фигурата.

Има и друг начин за геометрично получаване на въпросната фигура. Така че, ако вземем n-ъгълник и го прехвърлим в друга равнина, използвайки успоредни сегменти с еднаква дължина, тогава в новата равнина ще получим оригиналния многоъгълник. И двата многоъгълника и всички успоредни сегменти, изтеглени от техните върхове, образуват призма.

Картината по-горе демонстрира това.Нарича се така, защото основите му са триъгълници.

Елементи, които изграждат фигура

По-горе беше дадено определение за призма, от което става ясно, че основните елементи на фигурата са нейните ръбове или страни, които ограничават всички вътрешни точки на призмата от външното пространство. Всяко лице на въпросната фигура принадлежи към един от двата типа:

• страничен;
• основания.

Има n странични парчета и те са успоредници или техните специфични видове (правоъгълници, квадрати). По принцип страничните лица се различават една от друга. Има само две лица на основата; те са n-ъгълници и са равни помежду си. Следователно всяка призма има n+2 страни.

В допълнение към страните, фигурата се характеризира със своите върхове. Те представляват точки, в които три лица се докосват едновременно. Освен това две от трите лица винаги принадлежат към страничната повърхност, а една към основата. По този начин в призмата няма специално отделен връх, както например в пирамидата, всички те са равни. Броят на върховете на фигурата е 2*n (n броя за всяка основа).

И накрая, третият важен елемент на призмата са нейните ребра. Това са сегменти с определена дължина, които се образуват в резултат на пресичането на страните на фигура. Подобно на лицата, ръбовете също имат два различни типа:

• или образувани само от страни;
• или възникват на кръстовището на успоредника и страната на n-ъгълната основа.

Следователно броят на ръбовете е равен на 3*n, а 2*n от тях принадлежат към втория от посочените типове.

Видове призми

Има няколко начина за класифициране на призмите. Всички те обаче се основават на две характеристики на фигурата:

• по вида на n-въглеродната основа;
• на страничен тип.

Първо, нека се обърнем към втората характеристика и да дадем дефиниция на права линия. Ако поне едната страна е общ успоредник, тогава фигурата се нарича наклонена или наклонена. Ако всички паралелограми са правоъгълници или квадрати, тогава призмата ще бъде права.

Определението може да се даде и малко по-различно: права фигура е призма, чиито странични ръбове и лица са перпендикулярни на нейните основи. Фигурата показва две четириъгълни фигури. Левият е прав, десният е наклонен.

Сега нека да преминем към класификацията според вида на n-gon, лежащ в основите. Може да има еднакви страни и ъгли или различни. В първия случай многоъгълникът се нарича правилен. Ако въпросната фигура съдържа в основата си многоъгълник с равни страни и ъгли и е права, тогава тя се нарича правилна. Според това определение правилната призма може да има в основата си равностранен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник или шестоъгълник и т.н. Изброените регулярни цифри са представени на фигурата.

Линейни параметри на призми

За описание на размерите на въпросните фигури се използват следните параметри:

• височина;
• страни на основата;
• дължина на страничните ребра;
• обемни диагонали;
• диагонали на страните и основите.

За правилните призми всички тези величини са свързани една с друга. Например, дължините на страничните ребра са еднакви и равни на височината. За конкретна n-ъгълна правилна фигура има формули, които ви позволяват да определите всички останали, като използвате всеки два линейни параметъра.

Повърхност на фигура

Ако се позовем на определението за призма, дадено по-горе, тогава няма да е трудно да разберем какво представлява повърхността на фигурата. Повърхността е площта на всички лица. За права призма се изчислява по формулата:

S = 2*S o + P o *h

където S o е площта на основата, P o е периметърът на n-ъгълника в основата, h е височината (разстоянието между основите).

Обем на фигурата

Заедно с повърхността за упражнение е важно да знаете обема на призмата. Може да се определи по следната формула:

Този израз е валиден за абсолютно всеки тип призма, включително тези, които са наклонени и образувани от неправилни многоъгълници.

За правилните тя е функция от дължината на страната на основата и височината на фигурата. За съответната n-ъгълна призма формулата за V има специфичен вид.