القيم المتوسطة وتطبيقاتها في الإحصاء. المتوسط ​​الحسابي للمتسلسلة الفاصلة. شروط الحساب الصحيح

في عملية الحسابات المختلفة والعمل مع البيانات، غالبا ما يكون من الضروري حساب متوسط ​​قيمتها. ويتم حسابها عن طريق جمع الأرقام وتقسيم المجموع على عددها. دعونا نتعرف على كيفية حساب متوسط ​​مجموعة من الأرقام باستخدام Microsoft Excel بطرق مختلفة.

الطريقة الأسهل والأكثر شهرة للعثور على الوسط الحسابي لمجموعة من الأرقام هي استخدام زر خاص على شريط Microsoft Excel. حدد نطاقًا من الأرقام الموجودة في عمود أو صف من المستند. أثناء وجودك في علامة التبويب "الصفحة الرئيسية"، انقر فوق الزر "جمع تلقائي"، الموجود على الشريط في كتلة أداة "التحرير". من القائمة المنسدلة، حدد "المتوسط".

بعد ذلك، باستخدام وظيفة "المتوسط"، يتم إجراء الحساب. يتم عرض المتوسط ​​الحسابي لمجموعة معينة من الأرقام في الخلية أسفل العمود المحدد، أو على يمين الصف المحدد.

هذه الطريقة جيدة لبساطتها وراحتها. ولكن لديها أيضا عيوب كبيرة. باستخدام هذه الطريقة، يمكنك حساب متوسط ​​​​قيمة تلك الأرقام التي يتم ترتيبها في صف واحد في عمود واحد أو في صف واحد فقط. لكن لا يمكنك العمل مع مصفوفة من الخلايا، أو مع خلايا متفرقة على ورقة، باستخدام هذه الطريقة.

على سبيل المثال، إذا قمت بتحديد عمودين وحساب الوسط الحسابي بالطريقة الموضحة أعلاه، فسيتم تقديم الإجابة لكل عمود على حدة، وليس لمجموعة الخلايا بأكملها.

الحساب باستخدام معالج الوظائف

بالنسبة للحالات التي تحتاج فيها إلى حساب الوسط الحسابي لصفيف من الخلايا، أو الخلايا المتفرقة، يمكنك استخدام "معالج الدالة". يستخدم نفس الدالة "المتوسط"، المعروفة لنا من طريقة الحساب الأولى، ولكنها تفعل ذلك بطريقة مختلفة قليلاً.

انقر على الخلية التي نريد عرض نتيجة حساب القيمة المتوسطة فيها. انقر فوق الزر "إدراج وظيفة" الموجود على يسار شريط الصيغة. أو اكتب المجموعة Shift+F3 على لوحة المفاتيح.

يبدأ معالج الوظائف. في قائمة الوظائف المعروضة، ابحث عن "المتوسط". حدده وانقر على زر "موافق".

يتم فتح نافذة الوسائط لهذه الوظيفة. يتم إدخال وسيطات الوظيفة في حقول "الرقم". يمكن أن تكون هذه أرقامًا عادية أو عناوين للخلايا التي توجد بها هذه الأرقام. إذا كنت غير مرتاح لإدخال عناوين الخلايا يدويًا، فيجب عليك النقر فوق الزر الموجود على يمين حقل إدخال البيانات.

بعد ذلك، سيتم تصغير نافذة وسيطات الدالة، وستكون قادرًا على تحديد مجموعة الخلايا في الورقة التي تأخذها للحساب. ثم انقر مرة أخرى على الزر الموجود على يسار حقل إدخال البيانات للعودة إلى نافذة وسائط الوظيفة.

إذا كنت تريد حساب الوسط الحسابي بين الأرقام الموجودة في مجموعات منفصلة من الخلايا، فقم بنفس الإجراءات المذكورة أعلاه في حقل "الرقم 2". وهكذا حتى يتم تحديد جميع مجموعات الخلايا الضرورية.

بعد ذلك، انقر على زر "موافق".

سيتم تمييز نتيجة حساب الوسط الحسابي في الخلية التي حددتها قبل تشغيل معالج الوظائف.

شريط الصيغة

هناك طريقة ثالثة لتشغيل وظيفة AVERAGE. للقيام بذلك، انتقل إلى علامة التبويب "الصيغ". حدد الخلية التي سيتم عرض النتيجة فيها. بعد ذلك، في مجموعة أدوات "مكتبة الوظائف" الموجودة على الشريط، انقر فوق الزر "وظائف أخرى". تظهر قائمة تحتاج فيها إلى مراجعة العناصر "إحصائية" و"متوسط" بالتسلسل.

بعد ذلك، يتم تشغيل نفس نافذة الوسائط الوظيفية تمامًا كما هو الحال عند استخدام معالج الوظائف، الذي وصفنا عمله بالتفصيل أعلاه.

الإجراءات الإضافية هي نفسها تمامًا.

إدخال الوظيفة يدويًا

لكن لا تنس أنه يمكنك دائمًا إدخال وظيفة "المتوسط" يدويًا إذا كنت ترغب في ذلك. سيكون له النمط التالي: "=AVERAGE(cell_range_address(number); cell_range_address(number)).

وبطبيعة الحال، هذه الطريقة ليست مريحة مثل الطرق السابقة، وتتطلب من المستخدم الاحتفاظ بصيغ معينة في رأسه، لكنها أكثر مرونة.

حساب متوسط ​​القيمة حسب الحالة

بالإضافة إلى الحساب المعتاد لمتوسط ​​القيمة، من الممكن حساب متوسط ​​القيمة حسب الحالة. في هذه الحالة، سيتم أخذ الأرقام الموجودة في النطاق المحدد والتي تستوفي شرطًا معينًا فقط في الاعتبار. على سبيل المثال، إذا كانت هذه الأرقام أكبر أو أقل من قيمة معينة.

ولهذه الأغراض، يتم استخدام الدالة "AVERAGEIF". مثل الدالة AVERAGE، يمكنك تشغيلها من خلال معالج الدالة، أو من شريط الصيغة، أو عن طريق إدخالها يدويًا في الخلية. بعد فتح نافذة وسيطات الوظيفة، تحتاج إلى إدخال معلماتها. في حقل "النطاق"، أدخل نطاق الخلايا التي ستشارك قيمها في تحديد المتوسط ​​الحسابي. نحن نفعل ذلك بنفس الطريقة كما هو الحال مع وظيفة "المتوسط".

ولكن في حقل "الشرط" يجب أن نشير إلى قيمة محددة، وأرقام أكبر أو أقل منها ستشارك في الحساب. ويمكن القيام بذلك باستخدام علامات المقارنة. على سبيل المثال، أخذنا التعبير ">=15000". وهذا يعني أنه سيتم أخذ الخلايا الموجودة في النطاق الذي يحتوي على أرقام أكبر من أو تساوي 15000 فقط للحساب، إذا لزم الأمر، بدلاً من رقم محدد، يمكنك تحديد عنوان الخلية التي يوجد بها الرقم المقابل.

حقل "متوسط ​​النطاق" اختياري. إدخال البيانات فيه مطلوب فقط عند استخدام الخلايا التي تحتوي على محتوى نصي.

بعد إدخال جميع البيانات، انقر على زر "موافق".

بعد ذلك يتم عرض نتيجة حساب المتوسط ​​الحسابي للنطاق المحدد في خلية محددة مسبقا، باستثناء الخلايا التي لا تستوفي بياناتها الشروط.

كما ترون، يوجد في Microsoft Excel عدد من الأدوات التي يمكنك من خلالها حساب القيمة المتوسطة لسلسلة محددة من الأرقام. علاوة على ذلك، هناك وظيفة تقوم تلقائيًا باختيار الأرقام من النطاق الذي لا يستوفي المعيار المحدد من قبل المستخدم. وهذا يجعل العمليات الحسابية في Microsoft Excel أكثر سهولة في الاستخدام.

الأهم من ذلك كله في مكافئ. ومن الناحية العملية، علينا استخدام الوسط الحسابي، والذي يمكن حسابه على أنه الوسط الحسابي البسيط والمرجح.

المتوسط ​​الحسابي (SA)-نالنوع الأكثر شيوعا من المتوسط. يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم الخاصية المتغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم خصائص وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بجمع (إجمالي) أحجام ذات خصائص مختلفة، وهذا يحدد نطاق تطبيق SA ويفسر انتشاره كمؤشر عام، على سبيل المثال: صندوق الرواتب العام هو مجموع رواتب جميع الموظفين.

لحساب SA، تحتاج إلى تقسيم مجموع كل قيم الميزات على عددها.يتم استخدام SA في شكلين.

دعونا نفكر أولاً في المتوسط ​​الحسابي البسيط.

1-CA بسيط (الأولي، النموذج التعريفي) يساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للخاصية التي يتم حساب متوسطها، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (يستخدم عندما تكون هناك قيم فهرس غير مجمعة للخاصية):

يمكن تعميم الحسابات التي تم إجراؤها في الصيغة التالية:

(1)

أين - القيمة المتوسطة للخاصية المتغيرة، أي المتوسط ​​الحسابي البسيط؛

يعني الجمع، أي إضافة الخصائص الفردية؛

س- القيم الفردية ذات الخصائص المتغيرة، والتي تسمى المتغيرات؛

ن - عدد وحدات السكان

مثال 1،ويشترط إيجاد متوسط ​​إنتاج عامل واحد (ميكانيكي)، إذا كان معروفاً عدد الأجزاء التي أنتجها كل عامل من 15 عاملاً، أي. نظرا لسلسلة من الصناعات. قيم السمات، أجهزة الكمبيوتر: 21؛ 20؛ 20؛ 19؛ 21؛ 19؛ 18؛ 22؛ 19؛ 20؛ 21؛ 20؛ 18؛ 19؛ 20.

يتم حساب SA البسيط باستخدام الصيغة (1)، أجهزة الكمبيوتر:

مثال2. لنحسب SA بناءً على البيانات الشرطية لـ 20 متجرًا مدرجًا في الشركة التجارية (الجدول 1). الجدول 1

توزيع مخازن الشركة التجارية "فيسنا" حسب مساحة المبيعات بالمتر المربع م

رقم المتجر		رقم المتجر

لحساب متوسط ​​مساحة المتجر ( ) من الضروري جمع مساحات جميع المخازن وتقسيم النتيجة الناتجة على عدد المخازن:

وبالتالي، يبلغ متوسط ​​مساحة المتجر لهذه المجموعة من مؤسسات البيع بالتجزئة 71 مترًا مربعًا.

لذلك، لتحديد SA بسيط، تحتاج إلى تقسيم مجموع كل قيم سمة معينة على عدد الوحدات التي تمتلك هذه السمة.

2

أين F 1 , F 2 , … ,F ن – الوزن (تكرار تكرار العلامات المتطابقة)؛

- مجموع منتجات حجم الميزات وتردداتها؛

– إجمالي عدد الوحدات السكانية.

- SA مرجح - معوسط الخيارات التي تتكرر عدة مرات، أو كما يقولون، لها أوزان مختلفة. الأوزان هي عدد الوحدات في مجموعات مختلفة من السكان (يتم دمج الخيارات المتطابقة في مجموعة). SA مرجح – متوسط ​​القيم المجمعة س 1 , س 2 , .., سن، – محسوب: (2)

أين X- خيارات؛

F- التردد (الوزن).

SA المرجح هو حاصل قسمة مجموع منتجات الخيارات والترددات المقابلة لها على مجموع جميع الترددات. الترددات ( F) التي تظهر في صيغة SA تسمى عادةً مقاييسونتيجة لذلك يسمى SA المحسوب مع الأوزان مرجحًا.

سنوضح تقنية حساب SA المرجح باستخدام المثال 1 الذي تمت مناقشته أعلاه، للقيام بذلك، سنقوم بتجميع البيانات الأولية ووضعها في الجدول.

يتم تحديد متوسط ​​البيانات المجمعة على النحو التالي: أولا، يتم ضرب الخيارات في التكرارات، ثم يتم إضافة المنتجات وتقسيم المجموع الناتج على مجموع التكرارات.

وفقًا للصيغة (2)، يكون SA الموزون متساويًا، قطعة:

توزيع العمال لإنتاج قطع الغيار

ص

يمكن دمج البيانات المقدمة في المثال السابق 2 في مجموعات متجانسة، والتي يتم عرضها في الجدول. طاولة

توزيع مخازن فيسنا حسب منطقة المبيعات بالمتر المربع م

وهكذا كانت النتيجة واحدة. ومع ذلك، سيكون هذا بالفعل قيمة متوسطة حسابية مرجحة.

في المثال السابق قمنا بحساب المتوسط ​​الحسابي بشرط معرفة التكرارات المطلقة (عدد المخازن). ومع ذلك، في عدد من الحالات، تكون التكرارات المطلقة غائبة، ولكن التكرارات النسبية معروفة، أو كما يطلق عليها عادة، الترددات التي تظهر النسبة أونسبة الترددات في المجموعة بأكملها.

عند حساب الاستخدام المرجح لـ SA التردداتيسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية عندما يتم التعبير عن التردد بأرقام كبيرة متعددة الأرقام. يتم الحساب بنفس الطريقة، ومع ذلك، نظرًا لزيادة القيمة المتوسطة بمقدار 100 مرة، يجب تقسيم النتيجة على 100.

عندها ستبدو صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح كما يلي:

أين د- تكرار، أي. حصة كل تردد في المجموع الكلي لجميع الترددات.

(3)

في مثالنا 2، نقوم أولاً بتحديد حصة المتاجر حسب المجموعة في إجمالي عدد متاجر شركة Vesna. لذلك، بالنسبة للمجموعة الأولى فإن الثقل النوعي يتوافق مع 10٪
. نحصل على البيانات التالية الجدول 3

وهذا المصطلح له معاني أخرى، انظر المعنى المتوسط.

متوسط(في الرياضيات والإحصاء) مجموعات من الأرقام - مجموع كل الأرقام مقسومًا على عددها. وهو أحد مقاييس النزعة المركزية الأكثر شيوعاً.

تم اقتراحه (مع الوسط الهندسي والوسط التوافقي) من قبل الفيثاغوريين.

الحالات الخاصة للمتوسط ​​الحسابي هي المتوسط ​​(عموم السكان) ومتوسط ​​العينة (العينة).

مقدمة

دعونا نشير إلى مجموعة البيانات X = (س 1 , س 2 , …, س ن) ، تتم الإشارة عادةً إلى متوسط ​​العينة بواسطة شريط أفقي فوق المتغير (x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))، ويُنطق " سمع خط").

يُستخدم الحرف اليوناني μ للدلالة على الوسط الحسابي لجميع السكان. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يتم تحديد القيمة المتوسطة له، μ هو المتوسط ​​الاحتماليأو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. إذا مجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية ذات الوسط الاحتمالي μ لأي عينة س أنامن هذه المجموعة μ = E( س أنا) هو التوقع الرياضي لهذه العينة.

من الناحية العملية، الفرق بين μ وx ¯ (\displaystyle (\bar (x))) هو أن μ هو متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية عينة بدلاً من المجتمع بأكمله. ولذلك، إذا تم تمثيل العينة بشكل عشوائي (من حيث نظرية الاحتمالات)، فيمكن التعامل مع x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))) (ولكن ليس μ) كمتغير عشوائي له توزيع احتمالي على العينة ( التوزيع الاحتمالي للمتوسط).

ويتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

لو Xمتغير عشوائي ثم التوقع الرياضي Xيمكن اعتباره الوسط الحسابي للقيم في القياسات المتكررة للكمية X. وهذا مظهر من مظاهر قانون الأعداد الكبيرة. ولذلك، يتم استخدام متوسط ​​العينة لتقدير القيمة المتوقعة غير المعروفة.

وقد ثبت في الجبر الابتدائي أن المتوسط ن+ 1 أرقام فوق المتوسط نأرقام إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أكبر من المتوسط ​​القديم، وأقل إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أقل من المتوسط، ولا يتغير إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد يساوي المتوسط. الاكثر نكلما قل الفرق بين المتوسطين الجديد والقديم.

لاحظ أن هناك العديد من "المتوسطات" الأخرى المتاحة، بما في ذلك متوسط ​​القوة، ومتوسط ​​كولموجوروف، والمتوسط ​​التوافقي، والمتوسط ​​الحسابي الهندسي، والمتوسطات المرجحة المختلفة (على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي المرجح، والوسط الهندسي المرجح، والمتوسط ​​التوافقي المرجح).

أمثلة

• بالنسبة لثلاثة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 3:

س 1 + س 2 + س 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• بالنسبة لأربعة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 4:

س 1 + س 2 + س 3 + س 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

أو بشكل أبسط: 5+5=10، 10:2. لأننا كنا نضيف رقمين، وهو ما يعني عدد الأرقام التي نضيفها، فإننا نقسمها على هذا العدد.

متغير عشوائي مستمر

بالنسبة للكمية الموزعة باستمرار f (x) (\displaystyle f(x))، المتوسط ​​الحسابي في الفترة [ a ; b ] (\displaystyle ) يتم تحديده من خلال تكامل محدد:

و (خ) ¯ [ أ ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) و (خ) دكس)

بعض مشاكل استخدام المتوسط

عدم وجود متانة

المقال الرئيسي: المتانة في الإحصاء

على الرغم من أن المتوسطات الحسابية تستخدم غالبًا كمتوسطات أو اتجاهات مركزية، إلا أن هذا المفهوم ليس إحصائية قوية، مما يعني أن المتوسط ​​الحسابي يتأثر بشدة بـ "الانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات معامل الانحراف الكبير، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "المتوسط"، وقد تصف قيم الوسط من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال، الوسيط) بشكل أفضل الوسط المركزي نزعة.

والمثال الكلاسيكي هو حساب متوسط ​​الدخل. من الممكن أن يساء تفسير المتوسط ​​الحسابي باعتباره متوسطًا، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص ذوي الدخل الأعلى أكبر من العدد الفعلي. يتم تفسير الدخل "المتوسط" على أنه يعني أن معظم الناس لديهم دخل حول هذا الرقم. وهذا "المتوسط" (بمعنى المتوسط ​​الحسابي) أعلى من دخل معظم الناس، حيث أن الدخل المرتفع مع انحراف كبير عن المتوسط ​​يجعل المتوسط ​​الحسابي منحرفا للغاية (على النقيض من متوسط ​​الدخل عند المتوسط). "يقاوم" مثل هذا الانحراف). ومع ذلك، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل المتوسط ​​(ولا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل النموذجي). ومع ذلك، إذا أخذت مفهومي "المتوسط" و"معظم الناس" باستخفاف، فقد تتوصل إلى استنتاج غير صحيح مفاده أن معظم الناس لديهم دخل أعلى مما هم عليه في الواقع. على سبيل المثال، تقرير عن "متوسط" صافي الدخل في المدينة المنورة بواشنطن، والذي يتم حسابه على أنه المتوسط ​​الحسابي لكل صافي الدخول السنوية للمقيمين، من شأنه أن ينتج رقماً ضخماً إلى حد مدهش بسبب بيل جيتس. النظر في العينة (1، 2، 2، 2، 3، 9). المتوسط ​​الحسابي هو 3.17، لكن خمس من أصل ست قيم أقل من هذا المتوسط.

الفائدة المركبة

المقال الرئيسي: العائد على الاستثمار

إذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، عليك استخدام الوسط الهندسي وليس الوسط الحسابي. غالبًا ما يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.

على سبيل المثال، إذا انخفض السهم بنسبة 10% في السنة الأولى وارتفع بنسبة 30% في السنة الثانية، فمن غير الصحيح حساب الزيادة "المتوسطة" خلال هذين العامين بالمتوسط ​​الحسابي (-10% + 30%) / 2 = 10%؛ المتوسط ​​الصحيح في هذه الحالة هو معدل النمو السنوي المركب الذي يعطي معدل نمو سنوي حوالي 8.16653826392% ≈ 8.2% فقط.

والسبب في ذلك هو أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30% هي 30% من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا بدأ السهم بسعر 30 دولارًا وانخفض بنسبة 10٪، فإن قيمته تبلغ 27 دولارًا في بداية السنة الثانية. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط ​​الحسابي لهذا النمو هو 10%، ولكن بما أن السهم ارتفع بمقدار 5.1 دولار فقط على مدار عامين، فإن متوسط ​​النمو بنسبة 8.2% يعطي النتيجة النهائية البالغة 35.1 دولارًا:

[30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا]. إذا استخدمنا المتوسط ​​الحسابي 10% بنفس الطريقة، فلن نحصل على القيمة الفعلية: [30 دولارًا (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولارًا].

الفائدة المركبة في نهاية السنتين: 90% * 130% = 117%، أي أن إجمالي الزيادة 17%، ومتوسط ​​الفائدة المركبة السنوية 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\حوالي 108.2\%) أي بمتوسط ​​زيادة سنوية 8.2%.

الاتجاهات

المقال الرئيسي: إحصائيات الوجهة

عند حساب الوسط الحسابي لبعض المتغيرات التي تتغير دوريا (مثل الطور أو الزاوية)، يجب توخي الحذر بشكل خاص. على سبيل المثال، متوسط ​​1° و359° سيكون 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. هذا الرقم غير صحيح لسببين.

• أولاً، يتم تعريف القياسات الزاوية فقط للنطاق من 0° إلى 360° (أو من 0 إلى 2π عند قياسها بالراديان). لذا يمكن كتابة نفس زوج الأرقام بالشكل (1° و-1°) أو (1° و719°). سيكون متوسط ​​القيم لكل زوج مختلفًا: 1 ​​∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ الدائرة )) .
• ثانيًا، في هذه الحالة، ستكون قيمة 0° (أي ما يعادل 360°) قيمة متوسطة أفضل هندسيًا، نظرًا لأن انحراف الأرقام أقل من 0° مقارنة بأي قيمة أخرى (القيمة 0° لها أصغر تباين). يقارن:
  • الرقم 1° ينحرف عن 0° بمقدار 1° فقط؛
  • الرقم 1° ينحرف عن المتوسط ​​المحسوب 180° بمقدار 179°.

سيتم إزاحة القيمة المتوسطة للمتغير الدوري المحسوب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه بشكل مصطنع بالنسبة إلى المتوسط ​​الحقيقي نحو منتصف النطاق الرقمي. وبسبب هذا، يتم حساب المتوسط ​​بطريقة مختلفة، أي يتم تحديد الرقم ذو التباين الأصغر (نقطة المركز) كقيمة متوسطة. أيضًا، بدلاً من الطرح، يتم استخدام المسافة المعيارية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال، المسافة المعيارية بين 1° و359° هي 2°، وليس 358° (على الدائرة بين 359° و360°==0° - درجة واحدة، بين 0° و1° - أيضًا 1°، إجمالاً - 2 درجة).

4.3. متوسط ​​القيم. جوهر ومعنى القيم المتوسطة

حجم متوسطفي الإحصاء هو مؤشر عام يصف المستوى النموذجي لظاهرة ما في ظروف محددة من المكان والزمان، مما يعكس قيمة خاصية متفاوتة لكل وحدة من السكان المتجانسين نوعيا. في الممارسة الاقتصادية، يتم استخدام مجموعة واسعة من المؤشرات، والتي يتم حسابها كقيم متوسطة.

على سبيل المثال، المؤشر العام لدخل العاملين في شركة مساهمة (JSC) هو متوسط ​​دخل عامل واحد، والذي تحدده نسبة صندوق الأجور والمدفوعات الاجتماعية للفترة قيد المراجعة (السنة، الربع، الشهر ) إلى عدد العاملين في هيئة الأوراق المالية.

يعد حساب المتوسط ​​أحد أساليب التعميم الشائعة؛ ويعكس المؤشر المتوسط ​​ما هو شائع (نموذجي) لجميع وحدات السكان محل الدراسة، بينما يتجاهل في الوقت نفسه الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج حوادثو ضروري.عند حساب المتوسطات، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة، تلغي العشوائية وتتوازن، لذلك يمكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة، من القيم الكمية للخاصية في كل حالة محددة . إن القدرة على التجريد من عشوائية القيم الفردية وتقلباتها تكمن في القيمة العلمية للمتوسطات تعميمخصائص السكان.

وعندما تنشأ الحاجة إلى التعميم، فإن حساب هذه الخصائص يؤدي إلى استبدال العديد من القيم الفردية المختلفة للسمة متوسطمؤشر يميز مجموعة الظواهر بأكملها، مما يجعل من الممكن تحديد الأنماط المتأصلة في الظواهر الاجتماعية الجماعية غير المرئية في الظواهر الفردية.

يعكس المتوسط ​​المستوى المميز والنموذجي والحقيقي للظواهر التي تتم دراستها، ويميز هذه المستويات وتغيراتها في الزمان والمكان.

المتوسط ​​هو خاصية موجزة لقوانين العملية في الظروف التي تحدث فيها.

4.4. أنواع المتوسطات وطرق حسابها

يتم تحديد اختيار نوع المتوسط ​​من خلال المحتوى الاقتصادي لمؤشر معين وبيانات المصدر. وفي كل حالة محددة، يتم استخدام إحدى القيم المتوسطة: الحساب، غارأحادية، هندسية، تربيعية، مكعبةإلخ. المتوسطات المدرجة تنتمي إلى الفصل رزينمتوسط.

بالإضافة إلى متوسطات القدرة، يتم استخدام المتوسطات الهيكلية في الممارسة الإحصائية، والتي تعتبر الوضع والوسيط.

دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول متوسطات الطاقة.

المتوسط ​​الحسابي

النوع الأكثر شيوعا من المتوسط ​​هو متوسط علم الحساب.يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم الخاصية المتغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم خصائص وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بجمع (إجمالي) أحجام سمة متباينة؛ وهذا يحدد نطاق تطبيق المتوسط ​​الحسابي ويفسر انتشاره كمؤشر عام، على سبيل المثال: صندوق الأجور الإجمالي هو مجموع أجور العاملين. لجميع العمال، فإن إجمالي الحصاد هو مجموع المنتجات المنتجة من منطقة الزراعة بأكملها.

لحساب الوسط الحسابي، تحتاج إلى تقسيم مجموع كل قيم الميزات على عددها.

ويستخدم الوسط الحسابي في النموذج المتوسط ​​البسيط والمتوسط ​​المرجح.النموذج الأولي المحدد هو المتوسط ​​البسيط.

الوسط الحسابي البسيطيساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للخاصية التي يتم حساب متوسطها، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (يتم استخدامه في الحالات التي توجد فيها قيم فردية غير مجمعة للخاصية):

أين
- القيم الفردية للمتغير (المتغيرات)؛ م - عدد الوحدات في السكان.

علاوة على ذلك، لن تتم الإشارة إلى حدود الجمع في الصيغ. على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على متوسط ​​إنتاج عامل واحد (ميكانيكي) إذا كنت تعرف عدد الأجزاء التي أنتجها كل عامل من 15 عاملاً، أي. يتم إعطاء عدد من القيم الفردية للخاصية، أجهزة الكمبيوتر:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

يتم حساب الوسط الحسابي البسيط باستخدام الصيغة (4.1)، 1 قطعة.:

يُطلق على متوسط ​​الخيارات التي تتكرر عددًا مختلفًا من المرات، أو، كما يقولون، لها أوزان مختلفة موزون.الأوزان هي عدد الوحدات في مجموعات مختلفة من السكان (يتم دمج الخيارات المتطابقة في مجموعة).

المتوسط ​​الحسابي المرجح- متوسط ​​القيم المجمعة، - يتم حسابه باستخدام الصيغة:

, (4.2)

أين
- الوزن (تكرار تكرار العلامات المتطابقة)؛

- مجموع منتجات حجم الميزات وتردداتها؛

- إجمالي عدد الوحدات السكانية.

نوضح تقنية حساب المتوسط ​​الحسابي المرجح باستخدام المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. للقيام بذلك، سنقوم بتجميع البيانات المصدرية ووضعها في جدول. 4.1.

الجدول 4.1

توزيع العمال لإنتاج قطع الغيار

ووفقا للصيغة (4.2)، فإن الوسط الحسابي المرجح يساوي، قطع:

في بعض الحالات، قد لا يتم عرض الأوزان كقيم مطلقة، ولكن كقيم نسبية (بالنسب المئوية أو كسور الوحدة). عندها ستبدو صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح كما يلي:

أين
- الخصوصية، أي. حصة كل تردد في المجموع الكلي للجميع

إذا تم حساب التكرارات بالكسور (المعاملات)، إذن
= 1، ومعادلة المتوسط ​​المرجح حسابيًا لها الشكل:

حساب الوسط الحسابي المرجح من متوسطات المجموعة يتم تنفيذها وفقًا للصيغة:

,

أين F- عدد الوحدات في كل مجموعة .

ويعرض الجدول نتائج حساب الوسط الحسابي من متوسطات المجموعة. 4.2.

الجدول 4.2

توزيع العاملين حسب متوسط ​​مدة الخدمة

في هذا المثال، الخيارات ليست بيانات فردية عن مدة خدمة العمال الفرديين، ولكن المتوسط ​​لكل ورشة عمل. الميزان Fهو عدد العاملين في المحلات التجارية. ومن ثم، فإن متوسط ​​خبرة العمل للعاملين في جميع أنحاء المؤسسة سيكون بالسنوات:

.

حساب الوسط الحسابي في سلسلة التوزيع

إذا تم تحديد قيم الخاصية التي يتم حساب متوسطها في شكل فترات ("من - إلى")، أي. سلسلة الفاصل الزمني للتوزيعات، ثم عند حساب الوسط الحسابي، يتم أخذ نقاط المنتصف لهذه الفواصل كقيم الخصائص في المجموعات، مما يؤدي إلى تكوين سلسلة منفصلة. خذ بعين الاعتبار المثال التالي (الجدول 4.3).

لننتقل من المتسلسلة الفاصلة إلى المتسلسلة المنفصلة عن طريق استبدال قيم الفترات بمتوسط ​​قيمها/(المتوسط ​​البسيط

الجدول 4.3

توزيع العاملين في هيئة الأوراق المالية حسب مستوى الأجر الشهري

مجموعات من العمال	عدد العمال	منتصف الفاصل
الأجور، فرك.	الناس، F	فرك.، X
900 أو أكثر

يتم مساواة قيم الفترات المفتوحة (الأولى والأخيرة) بشكل مشروط بالفترات المجاورة لها (الثانية وقبل الأخيرة).

مع هذا الحساب للمتوسط، يُسمح ببعض عدم الدقة، حيث يتم افتراض التوزيع الموحد لوحدات الخاصية داخل المجموعة. ومع ذلك، كلما كانت الفترة أضيق وكلما زاد عدد الوحدات فيها، قل الخطأ.

بعد العثور على نقاط المنتصف للفترات، تتم الحسابات بنفس الطريقة كما في المتسلسلة المنفصلة - يتم ضرب الخيارات بالتكرارات (الأوزان) ويتم قسمة مجموع المنتجات على مجموع التكرارات (الأوزان) ألف روبل:

.

لذلك، فإن متوسط ​​\u200b\u200bمستوى الأجور للعاملين في JSC هو 729 روبل. كل شهر.

غالبًا ما يتطلب حساب المتوسط ​​الحسابي الكثير من الوقت والجهد. ومع ذلك، في عدد من الحالات، يمكن تبسيط وتسهيل إجراء حساب المتوسط ​​إذا كنت تستخدم خصائصه. دعونا نقدم (بدون برهان) بعض الخصائص الأساسية للوسط الحسابي.

الخاصية 1. إذا كانت جميع القيم الفردية للخاصية (أي جميع الخيارات) تقليل أو زيادة أنامرات، ثم القيمة المتوسطة الخصائص الجديدة ستنخفض أو تزيد بالمقابل أنامرة واحدة.

الملكية 2. إذا تم تقليل جميع متغيرات الخاصية التي يتم حساب متوسطهاخياطة أو زيادة بالرقم أ، فإن الوسط الحسابي يتوافقفي الواقع سوف ينخفض ​​أو يزيد بنفس الرقم A.

الملكية 3. إذا تم تخفيض أوزان جميع الخيارات المتوسطة أو زيادة بنسبة ل مرات، فإن الوسط الحسابي لن يتغير.

كمتوسط ​​أوزان، بدلاً من المؤشرات المطلقة، يمكنك استخدام أوزان محددة في الإجمالي الإجمالي (الأسهم أو النسب المئوية). وهذا يبسط حسابات المتوسط.

ولتبسيط حسابات المتوسط، يتبعون مسار تقليل قيم الخيارات والترددات. يتم تحقيق أكبر قدر من التبسيط عندما أيتم تحديد قيمة أحد الخيارات المركزية، التي لها أعلى تردد، كـ / - قيمة الفاصل الزمني (للسلسلة ذات الفواصل الزمنية المتساوية). وتسمى الكمية A بالنقطة المرجعية، ولذلك تسمى هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​“طريقة العد من الصفر الشرطي” أو "على طريق اللحظات."

لنفترض أن جميع الخيارات Xانخفض أولاً بنفس الرقم A، ثم انخفض بمقدار أنامرة واحدة. نحصل على سلسلة متنوعة جديدة من توزيع الخيارات الجديدة .

ثم خيارات جديدةسيتم التعبير عن:

,

ومتوسطهم الحسابي الجديد , -لحظة الطلب الأول-معادلة:

.

وهو يساوي متوسط ​​الخيارات الأصلية، تم تخفيضه أولاً بمقدار أ،ومن ثم في أنامرة واحدة.

للحصول على المتوسط ​​الحقيقي، هناك حاجة إلى لحظة من الدرجة الأولى م 1 ، اضرب ب أناو أضف أ:

.

تسمى هذه الطريقة لحساب الوسط الحسابي من سلسلة التباين "على طريق اللحظات."يتم استخدام هذه الطريقة في الصفوف على فترات متساوية.

يتم توضيح حساب الوسط الحسابي باستخدام طريقة اللحظات من خلال البيانات الواردة في الجدول. 4.4.

الجدول 4.4

توزيع المؤسسات الصغيرة في المنطقة حسب قيمة أصول الإنتاج الثابتة (FPF) عام 2000.

مجموعات الشركات حسب قيمة OPF، ألف روبل.	عدد المؤسسات F	نقاط منتصف الفواصل الزمنية س
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

العثور على لحظة الطلب الأول

.

ثم أخذ A = 19 ومعرفة ذلك أنا= 2، احسب X،ألف روبل.:

أنواع القيم المتوسطة وطرق حسابها

في مرحلة المعالجة الإحصائية، يمكن وضع مجموعة متنوعة من مشاكل البحث، لحلها من الضروري اختيار المتوسط ​​المناسب. في هذه الحالة، من الضروري الاسترشاد بالقاعدة التالية: الكميات التي تمثل بسط ومقام المتوسط ​​يجب أن تكون مرتبطة منطقيا ببعضها البعض.

• متوسطات الطاقة;
• المتوسطات الهيكلية.

دعونا نقدم الاتفاقيات التالية:

الكميات التي يتم حساب المتوسط ​​لها؛

المتوسط، حيث يشير الشريط أعلاه إلى حدوث متوسط ​​القيم الفردية؛

التردد (تكرار القيم المميزة الفردية).

يتم اشتقاق متوسطات مختلفة من صيغة متوسط ​​القدرة العامة:

(5.1)

عندما ك = 1 - الوسط الحسابي؛ ك = -1 - الوسط التوافقي؛ ك = 0 - الوسط الهندسي؛ ك = -2 - جذر متوسط ​​التربيع.

يمكن أن تكون القيم المتوسطة بسيطة أو مرجحة. المتوسطات المرجحةهذه هي القيم التي تأخذ في الاعتبار أن بعض متغيرات قيم السمات قد تحتوي على أرقام مختلفة، وبالتالي يجب ضرب كل خيار بهذا الرقم. وبعبارة أخرى، فإن "المقاييس" هي أعداد الوحدات الإجمالية في مجموعات مختلفة، أي. يتم "ترجيح" كل خيار حسب تردده. يسمى التردد f الوزن الإحصائيأو معدل الوزن.

المتوسط ​​الحسابي- النوع الأكثر شيوعا من المتوسط. يتم استخدامه عند إجراء الحساب على بيانات إحصائية غير مجمعة، حيث تحتاج إلى الحصول على الحد المتوسط. الوسط الحسابي هو متوسط ​​قيمة الخاصية، وعند الحصول عليها يظل الحجم الإجمالي للخاصية في المجموع دون تغيير.

صيغة المتوسط ​​الحسابي ( بسيط) لديه النموذج

حيث n هو حجم السكان.

على سبيل المثال، يتم حساب متوسط ​​راتب موظفي المؤسسة على أنه المتوسط ​​الحسابي:

المؤشرات المحددة هنا هي راتب كل موظف وعدد موظفي المؤسسة. عند حساب المتوسط، بقي المبلغ الإجمالي للأجور كما هو، ولكن تم توزيعه بالتساوي بين جميع الموظفين. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب متوسط ​​راتب العاملين في شركة صغيرة توظف 8 أشخاص:

عند حساب القيم المتوسطة، يمكن تكرار القيم الفردية للخاصية التي تم حساب متوسطها، وبالتالي يتم حساب القيمة المتوسطة باستخدام البيانات المجمعة. في هذه الحالة نحن نتحدث عن استخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح، والتي لديها النموذج

(5.3)

لذلك، نحن بحاجة إلى حساب متوسط ​​سعر سهم شركة مساهمة في تداول البورصة. ومن المعلوم أن الصفقات تمت خلال 5 أيام (5 صفقات)، وتوزع عدد الأسهم المباعة بنسبة المبيعات على النحو التالي:

1 - 800 أك. - 1010 فرك.

2 - 650 ألف. - 990 فرك.

3 - 700 أك. - 1015 فرك.

4 - 550 أك. - 900 فرك.

5 - 850 أك. - 1150 فرك.

النسبة الأولية لتحديد متوسط ​​سعر السهم هي نسبة المبلغ الإجمالي للمعاملات (TVA) إلى عدد الأسهم المباعة (KPA).

الموضوع 5. القيم المتوسطة كمؤشرات إحصائية

مفهوم القيمة المتوسطة. نطاق المتوسطات في البحوث الإحصائية

يتم استخدام القيم المتوسطة في مرحلة معالجة وتلخيص البيانات الإحصائية الأولية التي تم الحصول عليها. ترجع الحاجة إلى تحديد القيم المتوسطة إلى حقيقة أن القيم الفردية التي لها نفس الخاصية لوحدات مختلفة من السكان قيد الدراسة، كقاعدة عامة، ليست هي نفسها.

حجم متوسطيسمى المؤشر الذي يميز القيمة المعممة لخاصية أو مجموعة من الخصائص في المجتمع قيد الدراسة.

إذا تمت دراسة مجموعة سكانية ذات خصائص متجانسة نوعيا، فإن القيمة المتوسطة تعمل هنا على أنها متوسط ​​نموذجي. على سبيل المثال، بالنسبة لمجموعات العمال في صناعة معينة ذات مستوى دخل ثابت، يتم تحديد متوسط ​​الإنفاق النموذجي على الضروريات الأساسية، أي. يعمم المتوسط ​​النموذجي قيمًا متجانسة نوعيًا للسمة في مجموعة سكانية معينة، وهي حصة النفقات بين العاملين في هذه المجموعة على السلع الأساسية.

عند دراسة مجموعة سكانية ذات خصائص غير متجانسة نوعيا، قد تظهر عدم نمطية المؤشرات المتوسطة في المقدمة. هذه، على سبيل المثال، هي متوسطات مؤشرات الدخل القومي للفرد (الفئات العمرية المختلفة)، ومتوسطات مؤشرات إنتاج الحبوب في جميع أنحاء روسيا (مناطق المناطق المناخية المختلفة ومحاصيل الحبوب المختلفة)، ومتوسطات مؤشرات معدل المواليد للسكان جميع مناطق البلاد، متوسط ​​درجات الحرارة لفترة معينة، الخ. هنا، تعمم القيم المتوسطة قيمًا غير متجانسة نوعيًا للخصائص أو المجاميع المكانية النظامية (المجتمع الدولي، القارة، الدولة، المنطقة، إلخ) أو المجاميع الديناميكية الممتدة عبر الزمن (قرن، عقد، سنة، موسم، إلخ). ) . تسمى هذه القيم المتوسطة متوسطات النظام.

وبالتالي فإن أهمية القيم المتوسطة تكمن في وظيفتها التعميمية. تحل القيمة المتوسطة محل عدد كبير من القيم الفردية للسمة، وتكشف عن الخصائص المشتركة المتأصلة في جميع وحدات السكان. وهذا بدوره يسمح لنا بتجنب الأسباب العشوائية وتحديد الأنماط العامة للأسباب الشائعة.

أنواع القيم المتوسطة وطرق حسابها

في مرحلة المعالجة الإحصائية، يمكن وضع مجموعة متنوعة من مشاكل البحث، لحلها من الضروري اختيار المتوسط ​​المناسب. في هذه الحالة، من الضروري الاسترشاد بالقاعدة التالية: الكميات التي تمثل بسط ومقام المتوسط ​​يجب أن تكون مرتبطة منطقيا ببعضها البعض.

متوسطات الطاقة;

المتوسطات الهيكلية.

دعونا نقدم الاتفاقيات التالية:

الكميات التي يتم حساب المتوسط ​​لها؛

المتوسط، حيث يشير الشريط أعلاه إلى حدوث متوسط ​​القيم الفردية؛

التردد (تكرار القيم المميزة الفردية).

يتم اشتقاق متوسطات مختلفة من صيغة متوسط ​​القدرة العامة:

(5.1)

عندما ك = 1 - الوسط الحسابي؛ ك = -1 - الوسط التوافقي؛ ك = 0 - الوسط الهندسي؛ ك = -2 - جذر متوسط ​​التربيع.

يمكن أن تكون القيم المتوسطة بسيطة أو مرجحة. المتوسطات المرجحةهذه هي القيم التي تأخذ في الاعتبار أن بعض متغيرات قيم السمات قد تحتوي على أرقام مختلفة، وبالتالي يجب ضرب كل خيار بهذا الرقم. وبعبارة أخرى، فإن "المقاييس" هي أعداد الوحدات الإجمالية في مجموعات مختلفة، أي. يتم "ترجيح" كل خيار حسب تردده. يسمى التردد f الوزن الإحصائيأو متوسط ​​الوزن.

المتوسط ​​الحسابي- النوع الأكثر شيوعا من المتوسط. يتم استخدامه عند إجراء الحساب على بيانات إحصائية غير مجمعة، حيث تحتاج إلى الحصول على الحد المتوسط. الوسط الحسابي هو متوسط ​​قيمة الخاصية، وعند الحصول عليها يظل الحجم الإجمالي للخاصية في المجموع دون تغيير.

صيغة الوسط الحسابي (البسيط) لها الشكل

حيث n هو حجم السكان.

على سبيل المثال، يتم حساب متوسط ​​راتب موظفي المؤسسة على أنه المتوسط ​​الحسابي:

المؤشرات المحددة هنا هي راتب كل موظف وعدد موظفي المؤسسة. عند حساب المتوسط، بقي المبلغ الإجمالي للأجور كما هو، ولكن تم توزيعه بالتساوي بين جميع الموظفين. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب متوسط ​​راتب العاملين في شركة صغيرة توظف 8 أشخاص:

عند حساب القيم المتوسطة، يمكن تكرار القيم الفردية للخاصية التي تم حساب متوسطها، وبالتالي يتم حساب القيمة المتوسطة باستخدام البيانات المجمعة. في هذه الحالة نحن نتحدث عن استخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح، والتي لديها النموذج

(5.3)

لذلك، نحن بحاجة إلى حساب متوسط ​​سعر سهم شركة مساهمة في تداول البورصة. ومن المعلوم أن الصفقات تمت خلال 5 أيام (5 صفقات)، وتوزع عدد الأسهم المباعة بنسبة المبيعات على النحو التالي:

1 - 800 أك. - 1010 فرك.

2 - 650 ألف. - 990 فرك.

3 - 700 أك. - 1015 فرك.

4 - 550 أك. - 900 فرك.

5 - 850 أك. - 1150 فرك.

النسبة الأولية لتحديد متوسط ​​سعر الأسهم هي نسبة المبلغ الإجمالي للمعاملات (TVA) إلى عدد الأسهم المباعة (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500؛

الجيش الشعبي الكوري = 800+650+700+550+850=3550.

في هذه الحالة، كان متوسط ​​سعر السهم يساوي

من الضروري معرفة خصائص المتوسط ​​الحسابي، وهو أمر مهم جدًا لاستخدامه وحسابه. يمكننا التمييز بين ثلاث خصائص رئيسية تحدد الاستخدام الواسع النطاق للمتوسط ​​الحسابي في الحسابات الإحصائية والاقتصادية.

الخاصية الأولى (صفر): مجموع الانحرافات الإيجابية للقيم الفردية للخاصية عن قيمتها المتوسطة يساوي مجموع الانحرافات السلبية. هذه خاصية مهمة للغاية، لأنها توضح أن أي انحرافات (+ و-) ناتجة عن أسباب عشوائية سيتم إلغاؤها بشكل متبادل.

دليل:

الخاصية الثانية (الحد الأدنى): مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفردية للخاصية عن الوسط الحسابي أقل من أي رقم آخر (أ)، أي. هناك الحد الأدنى لعدد.

دليل.

لنقم بتجميع مجموع الانحرافات التربيعية من المتغير a:

(5.4)

للعثور على الحد الأقصى لهذه الدالة، من الضروري مساواة مشتقتها بالنسبة إلى صفر:

ومن هنا نحصل على:

(5.5)

ونتيجة لذلك، يتم تحقيق الحد الأقصى لمجموع الانحرافات التربيعية عند . هذا الحد الأقصى هو الحد الأدنى، حيث لا يمكن أن يكون للدالة حد أقصى.

الخاصية الثالثة: الوسط الحسابي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت: for a = const.

وبالإضافة إلى هذه الخصائص الثلاثة الأكثر أهمية للوسط الحسابي، هناك ما يسمى خصائص التصميموالتي تفقد أهميتها تدريجياً بسبب استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر الإلكترونية:

إذا تم ضرب القيمة الفردية للسمة لكل وحدة أو قسمتها على عدد ثابت، فإن الوسط الحسابي سيزيد أو ينقص بنفس المقدار؛

لن يتغير الوسط الحسابي إذا تم تقسيم وزن (تكرار) كل قيمة سمة على رقم ثابت؛

فإذا نقصت أو زادت القيم الفردية لخاصية كل وحدة بنفس المقدار، فإن الوسط الحسابي سينقص أو يزيد بنفس المقدار.

الوسط التوافقي. يُسمى هذا المتوسط ​​بالمتوسط ​​الحسابي العكسي لأنه يتم استخدام هذه القيمة عندما يكون k = -1.

التوافقي البسيط يعنييتم استخدامه عندما تكون أوزان قيم السمات هي نفسها. يمكن استخلاص صيغتها من الصيغة الأساسية عن طريق استبدال k = -1:

على سبيل المثال، نحتاج إلى حساب السرعة المتوسطة لسيارتين سارتا على نفس المسار، ولكن بسرعات مختلفة: الأولى بسرعة 100 كم/ساعة، والثانية بسرعة 90 كم/ساعة. وباستخدام طريقة الوسط التوافقي نحسب السرعة المتوسطة:

في الممارسة الإحصائية، يتم استخدام الموزون التوافقي في كثير من الأحيان، والذي تكون صيغته بالشكل

تُستخدم هذه الصيغة في الحالات التي تكون فيها الأوزان (أو أحجام الظواهر) لكل سمة غير متساوية. في العلاقة الأولية لحساب المتوسط، يكون البسط معروفًا، ولكن المقام غير معروف.

الشكل الأكثر شيوعًا للمؤشرات الإحصائية المستخدمة في البحوث الاجتماعية والاقتصادية هو القيمة المتوسطة، وهي خاصية كمية معممة لخاصية السكان الإحصائيين. القيم المتوسطة هي كما لو كانت "ممثلين" لسلسلة الملاحظات بأكملها. في كثير من الحالات، يمكن تحديد المتوسط ​​من خلال نسبة المتوسط ​​الأولي (ARR) أو صيغتها المنطقية: . لذلك، على سبيل المثال، لحساب متوسط ​​​​راتب موظفي المؤسسة، من الضروري تقسيم إجمالي صندوق الأجور على عدد الموظفين: بسط النسبة الأولية للمتوسط ​​هو المؤشر المحدد لها. بالنسبة لمتوسط ​​الأجور، فإن هذا المؤشر المحدد هو صندوق الأجور. ولكل مؤشر يستخدم في التحليل الاجتماعي والاقتصادي، يمكن تجميع نسبة أولية حقيقية واحدة فقط لحساب المتوسط. وينبغي أيضًا إضافة أنه من أجل تقدير الانحراف المعياري بشكل أكثر دقة للعينات الصغيرة (مع عدد عناصر أقل من 30)، لا ينبغي استخدام التعبير الموجود تحت الجذر في المقام ن، أ ن- 1.

مفهوم وأنواع المتوسطات

متوسط ​​القيمة- هذا مؤشر عام للسكان الإحصائيين يلغي الفروق الفردية في قيم الكميات الإحصائية، مما يسمح لك بمقارنة المجموعات السكانية المختلفة مع بعضها البعض. موجود 2 فصولالقيم المتوسطة: القوة والهيكلية. وتشمل المتوسطات الهيكلية موضة و الوسيط ، ولكن في أغلب الأحيان تستخدم متوسطات الطاقةأنواع مختلفة.

متوسطات القوة

يمكن أن تكون متوسطات الطاقة بسيطو موزون.

يتم حساب المتوسط ​​البسيط عند وجود اثنين أو أكثر من الكميات الإحصائية غير المجمعة، مرتبة بترتيب عشوائي، باستخدام صيغة متوسط ​​القدرة العامة التالية (لقيم مختلفة لـ k (m)):

يتم حساب المتوسط ​​المرجح من الإحصائيات المجمعة باستخدام الصيغة العامة التالية:

حيث س - متوسط ​​قيمة الظاهرة قيد الدراسة؛ x i - المتغير i للخاصية المتوسطة؛

f i – وزن الخيار i.

حيث X هي قيم القيم الإحصائية الفردية أو منتصف فترات التجميع؛
m هو الأس، الذي تحدد قيمته الأنواع التالية من متوسطات القدرة:
عندما م = -1 الوسط التوافقي؛
عند m = 0 متوسط ​​هندسي؛
مع م = 1 وسط حسابي؛
عندما م = 2 جذر متوسط ​​المربع؛
عند m = 3 المتوسط ​​مكعب.

باستخدام الصيغ العامة للمتوسطات البسيطة والمرجحة للأسس المختلفة m، نحصل على صيغ معينة من كل نوع، والتي سيتم مناقشتها بالتفصيل أدناه.

المتوسط ​​الحسابي

الوسط الحسابي – اللحظة الأولية من الدرجة الأولى، التوقع الرياضي لقيم متغير عشوائي مع عدد كبير من الاختبارات؛

المتوسط ​​الحسابي هو القيمة المتوسطة الأكثر استخدامًا، ويتم الحصول عليها عن طريق استبدال m=1 في الصيغة العامة. المتوسط ​​الحسابي بسيطلديه النموذج التالي:

أو

حيث X هي قيم الكميات التي يجب حساب القيمة المتوسطة لها؛ N هو العدد الإجمالي لقيم X (عدد الوحدات في السكان قيد الدراسة).

على سبيل المثال، اجتاز طالب 4 اختبارات وحصل على الدرجات التالية: 3 و4 و4 و5. فلنحسب متوسط ​​الدرجات باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي البسيط: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.المتوسط ​​الحسابي موزونلديه النموذج التالي:

حيث f هو عدد الكميات التي لها نفس القيمة X (التكرار). >على سبيل المثال، اجتاز طالب 4 اختبارات وحصل على الدرجات التالية: 3 و4 و4 و5. فلنحسب متوسط ​​الدرجات باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .إذا تم تحديد قيم X على شكل فواصل زمنية، فسيتم استخدام نقاط المنتصف للفواصل الزمنية X لإجراء العمليات الحسابية، والتي يتم تعريفها على أنها نصف مجموع الحدود العلوية والسفلية للفاصل الزمني. وإذا لم يكن للفاصل الزمني X حد أدنى أو أعلى (فاصل مفتوح)، للعثور عليه، استخدم النطاق (الفرق بين الحد العلوي والسفلي) للفاصل الزمني المجاور X. على سبيل المثال، لدى المؤسسة 10 موظفين يتمتعون بخبرة تصل إلى 3 سنوات، و20 موظفًا يتمتعون بخبرة تتراوح من 3 إلى 5 سنوات، و5 موظفين يتمتعون بأكثر من 5 سنوات من الخبرة. ثم نحسب متوسط ​​مدة خدمة الموظفين باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح، مع الأخذ في الاعتبار X نقطة منتصف طول فترات الخدمة (2 و4 و6 سنوات): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 سنة.

متوسط ​​الوظيفة

تحسب هذه الدالة المتوسط ​​(الحسابي) لوسائطها.

المتوسط ​​(رقم 1؛ رقم 2؛ ...)

Number1، number2، ... هي من 1 إلى 30 وسيطة يتم حساب المتوسط ​​لها.

يجب أن تكون الوسيطات أرقامًا أو أسماء أو صفائف أو مراجع تحتوي على أرقام. إذا كانت الوسيطة، وهي مصفوفة أو مرجع، تحتوي على نصوص أو منطقيات أو خلايا فارغة، فسيتم تجاهل هذه القيم؛ ومع ذلك، يتم حساب الخلايا التي تحتوي على قيم صفرية.

متوسط ​​الوظيفة

يحسب الوسط الحسابي للقيم الواردة في قائمة الوسيطات. بالإضافة إلى الأرقام، يمكن أن تتضمن العملية الحسابية قيمًا نصية ومنطقية، مثل TRUE وFALSE.

المتوسط(القيمة1،القيمة2،...)

Value1، value2،... هي من 1 إلى 30 خلية أو نطاقات خلايا أو قيم يتم حساب المتوسط ​​لها.

يجب أن تكون الوسيطات أرقامًا أو أسماء أو صفائف أو مراجع. يتم تفسير المصفوفات والروابط التي تحتوي على نص على أنها 0 (صفر). يتم تفسير النص الفارغ ("") على أنه 0 (صفر). يتم تفسير الوسيطات التي تحتوي على القيمة TRUE على أنها 1، ويتم تفسير الوسيطات التي تحتوي على القيمة FALSE على أنها 0 (صفر).

يتم استخدام المتوسط ​​الحسابي في أغلب الأحيان، ولكن هناك أوقات يكون من الضروري فيها استخدام أنواع أخرى من المتوسطات. دعونا نفكر في مثل هذه الحالات بشكل أكبر.

الوسط التوافقي

الوسيلة التوافقية لتحديد متوسط ​​مجموع المقلوبات؛

الوسط التوافقييتم استخدامه عندما لا تحتوي البيانات المصدر على ترددات f لقيم X الفردية، ولكن يتم تقديمها كمنتج Xf. بعد أن قمنا بتعيين Xf=w، نعبر عن f=w/X، وباستبدال هذه الرموز في صيغة المتوسط ​​المرجح الحسابي، نحصل على صيغة المتوسط ​​المرجح التوافقي:

وبالتالي، يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي الموزون عندما تكون الترددات f غير معروفة وتكون w=Xf معروفة. في الحالات التي يكون فيها كل w = 1، أي أن القيم الفردية لـ X تحدث مرة واحدة، يتم تطبيق الصيغة الأولية التوافقية المتوسطة: أو على سبيل المثال، كانت سيارة تسير من النقطة أ إلى النقطة ب بسرعة 90 كم/ساعة، وتعود بسرعة 110 كم/ساعة. لتحديد السرعة المتوسطة، نطبق صيغة متوسط ​​التوافقي البسيط، لأنه في المثال المسافة w 1 = w 2 (المسافة من النقطة A إلى النقطة B هي نفسها من B إلى A)، وهي يساوي منتج السرعة (X) والزمن (f). السرعة المتوسطة = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 كم/ساعة.

وظيفة SRGARM

إرجاع الوسط التوافقي لمجموعة بيانات. الوسط التوافقي هو مقلوب الوسط الحسابي للمقلوبات.

سرغارم (رقم 1، رقم 2، ...)

Number1، number2، ... هي من 1 إلى 30 وسيطة يتم حساب المتوسط ​​لها. يمكنك استخدام صفيف أو مرجع صفيف بدلاً من الوسائط المفصولة بفاصلة منقوطة.

الوسط التوافقي دائما أقل من الوسط الهندسي، وهو دائما أقل من الوسط الحسابي.

المتوسط ​​الهندسي

الوسط الهندسي لتقدير متوسط ​​معدل نمو المتغيرات العشوائية، وإيجاد قيمة الخاصية المتساوية البعد من القيم الدنيا والقصوى؛

المتوسط ​​الهندسيتستخدم في تحديد متوسط ​​التغيرات النسبية. يعطي المتوسط ​​الهندسي نتيجة المتوسط ​​الأكثر دقة إذا كانت المهمة هي العثور على قيمة X التي ستكون على مسافة متساوية من الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم X. على سبيل المثال، بين عامي 2005 و2008مؤشر التضخم في روسيا كان: في عام 2005 - 1.109؛ وفي عام 2006 - 1090؛ وفي عام 2007 - 1119؛ في عام 2008 - 1133. وبما أن مؤشر التضخم هو تغير نسبي (مؤشر ديناميكي)، فيجب حساب القيمة المتوسطة باستخدام الوسط الهندسي: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126 أي للفترة من عام 2005 حتى عام 2008 ارتفعت الأسعار سنويا بمعدل 11.26٪. أي حساب خاطئ باستخدام الوسط الحسابي سيعطي نتيجة غير صحيحة تبلغ 11.28%.

وظيفة سرجيوم

إرجاع المتوسط ​​الهندسي لمصفوفة أو فاصل زمني من الأرقام الموجبة. على سبيل المثال، يمكن استخدام الدالة SRGEOM لحساب متوسط ​​معدل النمو عند تحديد الدخل المركب بمعدلات متغيرة.

SRGEOM (رقم 1؛ رقم 2؛ ...)

Number1، number2، ... هي من 1 إلى 30 وسيطة يتم حساب المتوسط ​​الهندسي لها. يمكنك استخدام صفيف أو مرجع صفيف بدلاً من الوسائط المفصولة بفاصلة منقوطة.

يعني مربع

يعني مربع – اللحظة الأولية من الدرجة الثانية.

يعني مربعيستخدم في الحالات التي يمكن أن تكون فيها القيم الأولية لـ X موجبة وسالبة، على سبيل المثال، عند حساب متوسط ​​الانحرافات. التطبيق الرئيسي للوسط التربيعي هو قياس التباين في قيم X.

مكعب متوسط

المتوسط ​​المكعب هو اللحظة الأولية من الدرجة الثالثة.

مكعب متوسطنادرًا ما يتم استخدامه، على سبيل المثال، عند حساب مؤشرات الفقر للدول النامية (TIN-1) وللدول المتقدمة (TIN-2)، التي تقترحها وتحسبها الأمم المتحدة.