أحد مجالات الرياضيات التي يواجهها الطلاب أكثر من غيرهم هو علم المثلثات. ليس من المستغرب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني، والقدرة على العثور على الجيب، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام باستخدام الصيغ، وتبسيط التعبيرات، وتكون قادرًا على استخدام الرقم pi في العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون قادرًا على استخدام علم المثلثات عند إثبات النظريات، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية متطورة أو القدرة على استخلاص سلاسل منطقية معقدة.

أصول علم المثلثات

يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف جيب التمام وجيب التمام وظل الزاوية، ولكن عليك أولاً أن تفهم ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.

تاريخيًا، كان الهدف الرئيسي للدراسة في هذا الفرع من العلوم الرياضية هو المثلثات القائمة. إن وجود زاوية قدرها 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح بتحديد قيم جميع معلمات الشكل المعني باستخدام ضلعين وزاوية واحدة أو زاويتين وضلع واحد. في الماضي، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني والملاحة وعلم الفلك وحتى في الفن.

المرحلة الأولى

في البداية، تحدث الناس عن العلاقة بين الزوايا والأضلاع حصريًا باستخدام مثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف صيغ خاصة مكنت من توسيع حدود الاستخدام في الحياة اليومية لهذا الفرع من الرياضيات.

تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بالمثلثات القائمة، وبعد ذلك يستخدم الطلاب المعرفة المكتسبة في الفيزياء وحل المعادلات المثلثية المجردة، والتي تبدأ في المدرسة الثانوية.

علم المثلثات الكروية

لاحقًا، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الهندسة الكروية، حيث تنطبق قواعد مختلفة، ويكون مجموع زوايا المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. هذا القسم لا يدرس في المدرسة، لكن من الضروري معرفة وجوده على الأقل لأن سطح الأرض، وسطح أي كوكب آخر، محدب، مما يعني أن أي علامة سطحية ستكون “على شكل قوس” في ثلاث -مساحة الأبعاد.

خذ الكرة الأرضية والخيط. قم بتوصيل الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. يرجى ملاحظة - لقد اتخذ شكل قوس. وتتناول الهندسة الكروية مثل هذه الأشكال، والتي تستخدم في الجيوديسيا وعلم الفلك وغيرها من المجالات النظرية والتطبيقية.

مثلث قائم

بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم المزيد عن ماهية الجيب وجيب التمام والظل، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.

الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة. إنها الأطول. ونتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن قيمته العددية تساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

على سبيل المثال، إذا كان طول الضلعين 3 و4 سنتيمترات على التوالي، فإن طول الوتر سيكون 5 سنتيمترات. وبالمناسبة، عرف قدماء المصريين عن ذلك منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.

ويسمى الجانبان المتبقيان، اللذان يشكلان زاوية قائمة، بالأرجل. بالإضافة إلى ذلك، علينا أن نتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث في نظام الإحداثيات المستطيل يساوي 180 درجة.

تعريف

أخيرًا، مع الفهم العميق للأساس الهندسي، يمكن للمرء أن يلجأ إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (أي الجانب المقابل للزاوية المطلوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاور إلى الوتر.

تذكر أنه لا يمكن أن يكون جيب الجيب أو جيب التمام أكبر من واحد! لماذا؟ نظرًا لأن الوتر هو الأطول افتراضيًا، بغض النظر عن طول الساق، فإنه سيكون أقصر من الوتر، مما يعني أن نسبتهما ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي، إذا حصلت في إجابتك على مشكلة ما على جيب أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1، فابحث عن خطأ في الحسابات أو الاستدلال. من الواضح أن هذه الإجابة غير صحيحة.

وأخيرًا، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. قسمة الجيب على جيب التمام سيعطي نفس النتيجة. انظر: حسب الصيغة، نقسم طول الضلع على الوتر، ثم نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وهكذا نحصل على نفس العلاقة كما في تعريف الظل.

وبالتالي فإن ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الجانب المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة واحد على المماس.

إذن، لقد نظرنا إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، ويمكننا الانتقال إلى الصيغ.

أبسط الصيغ

في علم المثلثات، لا يمكنك الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكنك العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام بدونها؟ ولكن هذا هو بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشاكل.

الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعات الجيب وجيب التمام للزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس، ولكنها توفر الوقت إذا كنت بحاجة إلى معرفة حجم الزاوية بدلا من الجانب.

لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حل المشكلات المدرسية: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألق نظرة فاحصة: هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى، فقط طرفي الهوية مقسومان على مربع جيب التمام. اتضح أن عملية رياضية بسيطة تجعل الصيغة المثلثية غير معروفة تمامًا. تذكر: معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وقواعد التحويل والعديد من الصيغ الأساسية، يمكنك في أي وقت استخلاص الصيغ الأكثر تعقيدًا المطلوبة على قطعة من الورق.

صيغ الزوايا المزدوجة وإضافة الحجج

هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا والفرق بينها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في كل مرة، وفي الحالة الثانية، تتم إضافة المنتج الزوجي للجيب وجيب التمام.

هناك أيضًا صيغ مرتبطة بوسائط الزاوية المزدوجة. إنها مشتقة بالكامل من تلك السابقة - كممارسة، حاول الحصول عليها بنفسك عن طريق أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.

أخيرًا، لاحظ أنه يمكن إعادة ترتيب صيغ الزاوية المزدوجة لتقليل قوة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.

نظريات

النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسي هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل، وبالتالي مساحة الشكل وحجم كل جانب، وما إلى ذلك.

تنص نظرية الجيب على أن قسمة طول كل ضلع في المثلث على الزاوية المقابلة له ينتج عنها نفس العدد. علاوة على ذلك، فإن هذا العدد سيكون مساويا لنصفي قطر الدائرة المحددة، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط مثلث معين.

تعمل نظرية جيب التمام على تعميم نظرية فيثاغورس، وإسقاطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعي الجانبين، اطرح منتجهما مضروبًا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة - وستكون القيمة الناتجة مساوية لمربع الجانب الثالث. وهكذا، فإن نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام.

أخطاء الإهمال

حتى معرفة ما هو جيب التمام وجيب التمام والظل، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء، دعونا نلقي نظرة على الأخطاء الأكثر شعبية.

أولاً، لا ينبغي عليك تحويل الكسور إلى أعداد عشرية حتى تحصل على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة ككسر ما لم ينص على خلاف ذلك في الشروط. لا يمكن وصف هذا التحول بأنه خطأ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المشكلة قد تظهر جذور جديدة، والتي ينبغي تقليلها وفقًا لفكرة المؤلف. في هذه الحالة، سوف تضيع وقتك في العمليات الحسابية غير الضرورية. وينطبق هذا بشكل خاص على قيم مثل جذر ثلاثة أو جذر اثنين، لأنها موجودة في المشاكل في كل خطوة. وينطبق الشيء نفسه على تقريب الأرقام "القبيحة".

علاوة على ذلك، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث، ولكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح حاصل ضرب الجانبين مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب، بل ستظهر أيضًا نقصًا تامًا في فهم الموضوع. وهذا أسوأ من خطأ الإهمال.

ثالثًا، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و60 درجة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. تذكر هذه القيم، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60، والعكس صحيح. من السهل الخلط بينهم، ونتيجة لذلك سوف تحصل حتما على نتيجة خاطئة.

طلب

العديد من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات لأنهم لا يفهمون معناها العملي. ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل للمهندس أو عالم الفلك؟ هذه هي المفاهيم التي يمكنك من خلالها حساب المسافة إلى النجوم البعيدة، أو التنبؤ بسقوط نيزك، أو إرسال مسبار بحثي إلى كوكب آخر. بدونها، من المستحيل بناء مبنى، تصميم سيارة، حساب الحمل على السطح أو مسار الجسم. وهذه ليست سوى الأمثلة الأكثر وضوحا! بعد كل شيء، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان، من الموسيقى إلى الطب.

أخيراً

إذن أنت جيب التمام، وجيب التمام، والظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل المشكلات المدرسية بنجاح.

بيت القصيد من علم المثلثات يعود إلى حقيقة أنه باستخدام المعلمات المعروفة للمثلث تحتاج إلى حساب المجهول. هناك ستة معلمات في المجمل: طول الجوانب الثلاثة وحجم الزوايا الثلاث. يكمن الاختلاف الوحيد في المهام في حقيقة تقديم بيانات إدخال مختلفة.

أنت تعرف الآن كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر. نظرًا لأن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة، والنسبة عبارة عن كسر، فإن الهدف الرئيسي لمسألة حساب المثلثات هو إيجاد جذور المعادلة العادية أو نظام المعادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.

نشأ جيب الجيب وجيب التمام في الأصل من الحاجة إلى حساب الكميات في المثلثات القائمة. وقد لوحظ أنه إذا لم يتغير قياس درجات الزوايا في المثلث القائم، فإن نسبة العرض إلى الارتفاع، مهما تغير طول هذه الأضلاع، تظل كما هي دائمًا.

هذه هي الطريقة التي تم بها تقديم مفاهيم الجيب وجيب التمام. جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر، وجيب التمام هو نسبة الضلع المجاور للوتر.

نظريات جيب التمام والجيب

ولكن يمكن استخدام جيب التمام وجيب التمام لأكثر من مجرد المثلثات القائمة. للعثور على قيمة زاوية منفرجة أو حادة أو جانب أي مثلث، يكفي تطبيق نظرية جيب التمام والجيب.

نظرية جيب التمام بسيطة للغاية: "مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الجانبين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الجانبين وجيب تمام الزاوية بينهما."

هناك تفسيران لنظرية الجيب: صغير وممتد. وبحسب الصغرى: «في المثلث تكون الزوايا متناسبة مع الأضلاع المتقابلة». غالبًا ما يتم توسيع هذه النظرية بسبب خاصية الدائرة المحدودة للمثلث: "في المثلث، تتناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة، ونسبتها تساوي قطر الدائرة المحدودة".

المشتقات

المشتق هو أداة رياضية توضح مدى سرعة تغير الدالة بالنسبة إلى التغير في وسيطتها. تُستخدم المشتقات في الهندسة وفي عدد من التخصصات التقنية.

عند حل المشكلات، تحتاج إلى معرفة القيم الجدولية لمشتقات الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام. مشتق جيب التمام هو جيب التمام، وجيب التمام هو جيب التمام، ولكن مع علامة الطرح.

التطبيق في الرياضيات

تُستخدم الجيوب وجيب التمام بشكل خاص في حل المثلثات القائمة والمسائل المتعلقة بها.

تنعكس راحة الجيوب وجيب التمام أيضًا في التكنولوجيا. كان من السهل تقييم الزوايا والأضلاع باستخدام نظريتي جيب التمام والجيب، مما أدى إلى تقسيم الأشكال والأشياء المعقدة إلى مثلثات "بسيطة". المهندسون الذين يتعاملون غالبًا مع حسابات نسب العرض إلى الارتفاع ومقاييس الدرجات يقضون الكثير من الوقت والجهد في حساب جيب التمام وجيب الزوايا غير الجدولية.

ثم جاءت جداول براديس للإنقاذ، حيث تحتوي على آلاف قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من زوايا مختلفة. في العصر السوفييتي، أجبر بعض المعلمين طلابهم على حفظ صفحات جداول براديس.

الراديان هي القيمة الزاوية للقوس الذي يساوي طوله نصف القطر أو 57.295779513 درجة.

الدرجة (في الهندسة) - جزء 1/360 من الدائرة أو جزء 1/90 من الزاوية القائمة.

π = 3.141592653589793238462... (القيمة التقريبية لـ Pi).

جدول جيب التمام للزوايا: 0°، 30°، 45°، 60°، 90°، 120°، 135°، 150°، 180°، 210°، 225°، 240°، 270°، 300°، 315°، 330 درجة، 360 درجة.

الزاوية x (بالدرجات)	0°	30 درجة	45 درجة	60 درجة	90 درجة	120 درجة	135 درجة	150 درجة	180 درجة	210 درجة	225 درجة	240 درجة	270 درجة	300 درجة	315 درجة	330 درجة	360 درجة
الزاوية x (بالراديان)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 × π/3	3 × π/4	5 × π/6	π	7 × π/6	5 × π/4	4 × π/3	3 × π/2	5 × π/3	7 × π/4	11 × π/6	2 × π
كوس س	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

التجويفالزاوية الحادة α للمثلث القائم هي النسبة عكسالساق إلى الوتر.
ويشار إليه على النحو التالي: الخطيئة α.

جيب التمامالزاوية الحادة α للمثلث القائم هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.
تم تعيينه على النحو التالي: cos α.

الظلالزاوية الحادة α هي نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.
تم تعيينه على النحو التالي: tg α.

ظل التمامالزاوية الحادة α هي نسبة الجانب المجاور إلى الجانب المقابل.
تم تعيينه على النحو التالي: ctg α.

يعتمد جيب الزاوية وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية فقط على حجم الزاوية.

قواعد:

الهويات المثلثية الأساسية في المثلث الأيمن:

(α – زاوية حادة مقابلة للساق ب والمجاورة للساق أ . جانب مع - الوتر. β - الزاوية الحادة الثانية).

ب الخطيئة α = - ج	جا 2 α + جتا 2 α = 1
أ كوس α = - ج	1 1 + ظا 2 α = -- كوس 2 α
ب تان α = - أ	1 1 + كجم 2 α = -- الخطيئة 2 ألفا
أ CTG α = - ب	1 1 1 + -- = -- تان 2 α الخطيئة 2 α
الخطيئة α تيراغرام α = -- كوس α

كلما زادت الزاوية الحادةالخطيئة α وزيادة تان α، وكوس α يتناقص.

لأي زاوية حادة α:

الخطيئة (90 درجة – α) = جتا α

كوس (90° - α) = الخطيئة α

مثال للشرح:

دعونا في المثلث الأيمن ABC
أب = 6،
قبل الميلاد = 3،
الزاوية أ = 30 درجة.

دعونا نكتشف جيب الزاوية A وجيب تمام الزاوية B.

حل .

1) أولاً، نجد قيمة الزاوية B. كل شيء بسيط هنا: بما أن مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم هو 90 درجة، فإن الزاوية B = 60 درجة:

ب = 90 درجة - 30 درجة = 60 درجة.

2) دعونا نحسب sin A. نحن نعلم أن الجيب يساوي نسبة الضلع المقابل للوتر. بالنسبة للزاوية A، الضلع المقابل هو الضلع BC. لذا:

ق31
الخطيئة أ = -- = - = -
أ ب 6 2

3) الآن دعونا نحسب cos B. نحن نعلم أن جيب التمام يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. بالنسبة للزاوية B، فإن الساق المجاورة لها هي نفس الضلع BC. هذا يعني أننا نحتاج مرة أخرى إلى تقسيم BC على AB - أي تنفيذ نفس الإجراءات عند حساب جيب الزاوية A:

ق31
كوس ب = -- = - = -
أ ب 6 2

النتيجه هي:
الخطيئة أ = كوس ب = 1/2.

sin 30° = cos 60° = 1/2.

ويترتب على ذلك أنه في المثلث القائم، يكون جيب زاوية حادة مساويًا لجيب تمام الزاوية الحادة الأخرى - والعكس صحيح. هذا هو بالضبط ما تعنيه الصيغتان:
الخطيئة (90 درجة – α) = جتا α
كوس (90° - α) = الخطيئة α

دعونا نتأكد من ذلك مرة أخرى:

1) دع α = 60 درجة. بالتعويض بقيمة α في صيغة الجيب نحصل على:
الخطيئة (90 درجة - 60 درجة) = جتا 60 درجة.
sin 30° = cos 60°.

2) دع α = 30 درجة. بتعويض قيمة α في صيغة جيب التمام نحصل على:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(لمزيد من المعلومات حول علم المثلثات، راجع قسم الجبر)

في هذه المقالة سوف نلقي نظرة شاملة. الهويات المثلثية الأساسية هي المعادلات التي تنشئ اتصالاً بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة، وتسمح للمرء بالعثور على أي من هذه الدوال المثلثية من خلال أخرى معروفة.

دعونا ندرج على الفور الهويات المثلثية الرئيسية التي سنقوم بتحليلها في هذه المقالة. دعونا نكتبها في جدول، وفيما يلي سنقدم نتائج هذه الصيغ ونقدم التوضيحات اللازمة.

التنقل في الصفحة.

العلاقة بين جيب التمام وجيب التمام لزاوية واحدة

في بعض الأحيان، لا يتحدثون عن الهويات المثلثية الرئيسية المدرجة في الجدول أعلاه، ولكن عن واحد منهم الهوية المثلثية الأساسيةعطوف . تفسير هذه الحقيقة بسيط للغاية: يتم الحصول على التساويات من الهوية المثلثية الرئيسية بعد قسمة جزأينها على و، على التوالي، والمساواة و اتبع من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. سنتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل في الفقرات التالية.

وهذا يعني أن المساواة ذات أهمية خاصة، والتي أعطيت اسم الهوية المثلثية الرئيسية.

قبل إثبات الهوية المثلثية الرئيسية، نعطي صياغتها: مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا تمامًا. الآن دعونا نثبت ذلك.

غالبًا ما يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية عندما تحويل التعبيرات المثلثية. يسمح باستبدال مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة بواحدة. في كثير من الأحيان، يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية بترتيب عكسي: يتم استبدال الوحدة بمجموع مربعات الجيب وجيب التمام لأي زاوية.

الظل وظل التمام من خلال الجيب وجيب التمام

الهويات التي تربط الظل وظل التمام مع جيب التمام وجيب التمام لزاوية رؤية واحدة و اتبع مباشرة من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. في الواقع، بحكم التعريف، الجيب هو الإحداثي y، وجيب التمام هو الإحداثي السيني لـ x، والظل هو نسبة الإحداثي إلى الإحداثي الإحداثي، أي، ، وظل التمام هو نسبة الإحداثي الإحداثي، أي، .

بفضل هذا الوضوح للهويات و غالبًا ما يتم تعريف الظل وظل التمام ليس من خلال نسبة الإحداثي الإحداثي والإحداثي، ولكن من خلال نسبة الجيب وجيب التمام. إذن ظل الزاوية هو نسبة جيب التمام إلى جيب تمام هذه الزاوية، وظل التمام هو نسبة جيب التمام إلى جيب التمام.

وفي ختام هذه الفقرة تجدر الإشارة إلى أن الهويات و تحدث لجميع الزوايا التي تكون فيها الدوال المثلثية المضمنة فيها منطقية. إذن الصيغة صالحة لأي غير (وإلا سيكون المقام صفرًا، ولم نحدد القسمة على صفر)، والصيغة - للجميع، يختلف عن، حيث يوجد z أي.

العلاقة بين الظل وظل التمام

الهوية المثلثية الأكثر وضوحًا من الاثنين السابقتين هي الهوية التي تربط المماس وظل التمام لزاوية واحدة من النموذج . ومن الواضح أنه يتم في أي زوايا أخرى غير ، في خلاف ذلكلم يتم تعريف الظل أو ظل التمام.

إثبات الصيغة بسيط جدا. بالتعريف ومن أين . كان من الممكن تنفيذ الإثبات بشكل مختلف قليلاً. منذ ، الذي - التي .

لذا، فإن الظل وظل التمام للزاوية نفسها التي يكونان عندها منطقيين هما .

جدول قيم الدوال المثلثية

ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية هذا علامة √ لتمثيل الجذر التربيعي. للإشارة إلى الكسر، استخدم الرمز "/".

أنظر أيضامواد مفيدة:

ل تحديد قيمة الدالة المثلثية، ابحث عنه عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال، جيب 30 درجة - نبحث عن العمود الذي يحمل العنوان sin (sine) ونجد تقاطع عمود الجدول هذا مع الصف "30 درجة"، عند تقاطعهما نقرأ النتيجة - نصف. وبالمثل نجد جيب التمام 60درجات، جيب 60درجات (مرة أخرى، عند تقاطع عمود الخطيئة وخط الـ 60 درجة نجد القيمة جا 60 = √3/2)، إلخ. تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال للزوايا "الشعبية" الأخرى بنفس الطريقة.

جيب بي، جيب التمام بي، بي الظل والزوايا الأخرى في راديان

الجدول أدناه لجيب التمام والجيب والظل مناسب أيضًا للعثور على قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها تعطى بالراديان. للقيام بذلك، استخدم العمود الثاني من قيم الزوايا. بفضل هذا، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشائعة من الدرجات إلى الراديان. على سبيل المثال، دعونا نوجد الزاوية التي قياسها 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالراديان تحتها. 60 درجة تساوي π/3 راديان.

يعبر الرقم pi بشكل لا لبس فيه عن اعتماد المحيط على درجة قياس الزاوية. وبالتالي، فإن راديان باي يساوي 180 درجة.

يمكن تحويل أي رقم يتم التعبير عنه بـ pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال pi (π) بـ 180.

أمثلة:
1. جيب بي.
الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
وبالتالي، فإن جيب باي هو نفس جيب 180 درجة ويساوي صفر.

2. جيب التمام بي.
كوس π = كوس 180 = -1
وبالتالي، فإن جيب تمام باي هو نفس جيب تمام 180 درجة وهو يساوي سالب واحد.

3. الظل بي
تيراغرام π = تيراغرام 180 = 0
وبالتالي، فإن ظل الزاوية باي هو نفس ظل الزاوية 180 درجة ويساوي الصفر.

جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا 0 - 360 درجة (القيم المشتركة)

قيمة الزاوية α (درجات)	قيمة الزاوية α بالراديان (عبر بي)	خطيئة (التجويف)	كوس (جيب التمام)	tg (الظل)	ctg (ظل التمام)	ثانية (قاطع)	com.cosec (قاطع التمام)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

إذا تمت الإشارة إلى شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية بدلاً من قيمة الدالة (ظل (tg) 90 درجة، ظل التمام (ctg) 180 درجة)، فبالنسبة لقيمة معينة لقياس درجة الزاوية تكون الدالة ليس لها قيمة محددة. إذا لم يكن هناك شرطة، فإن الخلية فارغة، مما يعني أننا لم ندخل القيمة المطلوبة بعد. نحن مهتمون بالاستعلامات التي يأتي إلينا المستخدمون من أجلها ونكمل الجدول بقيم جديدة، على الرغم من حقيقة أن البيانات الحالية حول قيم جيب التمام والجيوب والظلال لقيم الزوايا الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

جدول قيم الدوال المثلثية sin، cos، tg للزوايا الأكثر شيوعًا
0، 15، 30، 45، 60، 90... 360 درجة
(القيم الرقمية "حسب جداول براديس")

قيمة الزاوية α (بالدرجات)	قيمة الزاوية α بالراديان	الخطيئة (جيب)	كوس (جيب التمام)	تيراغرام (الظل)	CTG (ظل التمام)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18