مهمة 1.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا. سيتم تحديد نظام المتجهات بواسطة مصفوفة النظام التي تتكون أعمدتها من إحداثيات المتجهات.

.

حل.دع التركيبة الخطية يساوي الصفر. وبكتابة هذه المساواة بالإحداثيات نحصل على نظام المعادلات التالي:

.

ويسمى هذا النظام من المعادلات الثلاثي. ليس لديها سوى حل واحد . ولذلك فإن المتجهات مستقل خطيا.

المهمة 2.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا.

.

حل.ثلاثة أبعاد مستقلة خطيًا (انظر المشكلة 1). دعونا نثبت أن المتجه عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات . معاملات التوسع المتجهات يتم تحديدها من نظام المعادلات

.

هذا النظام، مثل النظام الثلاثي، لديه حل فريد من نوعه.

ولذلك فإن نظام المتجهات تعتمد خطيا.

تعليق. يتم استدعاء المصفوفات من نفس النوع كما في المشكلة 1 الثلاثي ، وفي المشكلة 2 - صعدت الثلاثي . يمكن حل مسألة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات بسهولة إذا كانت المصفوفة المكونة من إحداثيات هذه المتجهات ثلاثية الخطوة. إذا لم يكن للمصفوفة شكل خاص، ثم استخدامها تحويلات السلسلة الأولية مع الحفاظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة، يمكن اختزالها إلى شكل مثلثي متدرج.

تحويلات السلسلة الأوليةالمصفوفات (EPS) تسمى العمليات التالية على المصفوفة:

1) إعادة ترتيب السلاسل.

2) ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛

3) إضافة سلسلة أخرى إلى سلسلة مضروبة في رقم عشوائي.

المهمة 3.أوجد الحد الأقصى للنظام الفرعي المستقل خطيًا واحسب رتبة نظام المتجهات

.

حل.دعونا نختصر مصفوفة النظام باستخدام EPS إلى شكل مثلثي. لشرح الإجراء، نشير إلى السطر الذي يحتوي على رقم المصفوفة المراد تحويلها بالرمز. يشير العمود الموجود بعد السهم إلى الإجراءات التي يجب تنفيذها على صفوف المصفوفة الجاري تحويلها للحصول على صفوف المصفوفة الجديدة.

.

من الواضح أن العمودين الأولين من المصفوفة الناتجة مستقلان خطيًا، والعمود الثالث هو مجموعتهما الخطية، والرابع لا يعتمد على العمودين الأولين. ثلاثة أبعاد تسمى الأساسية. إنها تشكل نظامًا فرعيًا مستقلاً خطيًا أقصى للنظام ، ورتبة النظام ثلاث.

الأساس والإحداثيات

المهمة 4.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات على هذا الأساس على مجموعة المتجهات الهندسية التي تحقق إحداثياتها الشرط .

حل. المجموعة عبارة عن طائرة تمر عبر الأصل. يتكون الأساس التعسفي على المستوى من متجهين غير خطيين. يتم تحديد إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المقابل.

هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة، حيث يمكنك العثور على الأساس باستخدام الإحداثيات.

الإحداثيات المسافات ليست إحداثيات على المستوى، لأنها مرتبطة بالعلاقة أي أنهم ليسوا مستقلين. المتغيرات المستقلة (وتسمى بالمتغيرات الحرة) تحدد بشكل فريد المتجه على المستوى، وبالتالي يمكن اختيارها كإحداثيات في . ثم الأساس يتكون من ناقلات تقع في مجموعات من المتغيرات الحرة وتتوافق معها و ، إنه .

المهمة 5.أوجد أساس المتجهات وإحداثياتها في هذا الأساس على مجموعة جميع المتجهات في الفضاء التي تتساوى إحداثياتها الفردية مع بعضها البعض.

حل. دعونا نختار، كما في المسألة السابقة، الإحداثيات في الفضاء.

لأن ثم المتغيرات الحرة تحديد المتجه بشكل فريد وبالتالي إحداثياته. الأساس المقابل يتكون من المتجهات.

المهمة 6.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات على هذا الأساس في مجموعة جميع مصفوفات النموذج ، أين - أرقام تعسفية.

حل. كل مصفوفة من يمكن تمثيلها بشكل فريد في النموذج:

هذه العلاقة هي تمدد المتجه بالنسبة للأساس
مع الإحداثيات .

المهمة 7.أوجد البعد وأساس الهيكل الخطي لنظام المتجهات

.

حل.باستخدام EPS، نقوم بتحويل المصفوفة من إحداثيات متجهات النظام إلى شكل مثلثي.

.

أعمدة المصفوفات الأخيرة مستقلة خطيا، والأعمدة يتم التعبير عنها خطيًا من خلالها. ولذلك فإن المتجهات تشكل الأساس ، و .

تعليق. أساس في يتم اختياره بشكل غامض. على سبيل المثال، المتجهات تشكل أيضا الأساس .

المتجهات وخصائصها والأفعال معها

المتجهات، الإجراءات مع المتجهات، مساحة المتجهات الخطية.

المتجهات هي مجموعة مرتبة من عدد محدود من الأعداد الحقيقية.

أجراءات: 1. ضرب المتجه برقم: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. إضافة المتجهات (تنتمي إلى نفس مساحة المتجه) المتجه x + المتجه y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. المتجه 0=(0,0…0)---n E n – n-الأبعاد (الفضاء الخطي) المتجه x + المتجه 0 = المتجه x

نظرية. لكي يكون نظام من المتجهات n، الفضاء الخطي ذو الأبعاد n، معتمدًا خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحد المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

نظرية. أي مجموعة من المتجهات n+ الأولى للفضاء الخطي ذو الأبعاد n للظواهر. تعتمد خطيا.

إضافة المتجهات، ضرب المتجهات بالأرقام. طرح المتجهات.

مجموع متجهين هو متجه موجه من بداية المتجه إلى نهاية المتجه، بشرط أن تتطابق البداية مع نهاية المتجه. إذا تم إعطاء المتجهات من خلال توسعاتها في ناقلات الوحدة الأساسية، فعند إضافة المتجهات، تتم إضافة إحداثياتها المقابلة.

دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال نظام الإحداثيات الديكارتية. يترك

دعونا نظهر ذلك

ومن الشكل 3 يتضح ذلك

يمكن العثور على مجموع أي عدد محدود من المتجهات باستخدام قاعدة المضلع (الشكل 4): لبناء مجموع عدد محدود من المتجهات، يكفي الجمع بين بداية كل متجه لاحق ونهاية المتجه السابق وقم ببناء متجه يربط بداية المتجه الأول بنهاية المتجه الأخير.

خصائص عملية إضافة المتجهات:

في هذه التعبيرات m، n عبارة عن أرقام.

ويسمى الفرق بين المتجهات بالمتجه والحد الثاني هو المتجه المقابل للمتجه في الاتجاه ولكنه يساويه في الطول.

وبالتالي، يتم استبدال عملية طرح المتجهات بعملية الجمع

يسمى المتجه الذي تبدأ بدايته عند نقطة الأصل وينتهي عند النقطة A (x1, y1, z1) بمتجه نصف القطر للنقطة A ويشار إليه ببساطة. وبما أن إحداثياتها تتزامن مع إحداثيات النقطة A، فإن توسعها في متجهات الوحدة له الشكل

يمكن كتابة المتجه الذي يبدأ عند النقطة A(x1, y1, z1) وينتهي عند النقطة B(x2, y2, z2) بالشكل

حيث r 2 هو متجه نصف القطر للنقطة B؛ ص 1 - متجه نصف القطر للنقطة أ.

ولذلك، فإن توسيع المتجه في ناقلات الوحدة له الشكل

طوله يساوي المسافة بين النقطتين A و B

عمليه الضرب

لذلك في حالة مسألة المستوى، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه بـ a = (ax; ay) بالرقم b بواسطة الصيغة

أ ب = (الفأس ب؛ آي ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1؛ 2) في 3.

3 أ = (3 1; 3 2) = (3; 6)

لذا، في حالة وجود مشكلة مكانية، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه a = (ax; ay; az) بالرقم b بواسطة الصيغة

أ ب = (الفأس ب؛ آي ب؛ أ ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1؛ 2؛ -5) في 2.

2 أ = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

المنتج النقطي للمتجهات و أين هي الزاوية بين المتجهات و ; إذا كان أي منهما، ثم

من تعريف المنتج العددي يتبع ذلك

حيث، على سبيل المثال، هو مقدار إسقاط المتجه على اتجاه المتجه.

ناقلات التربيعية العددية:

خصائص المنتج النقطي:

نقطة المنتج في الإحداثيات

لو الذي - التي

الزاوية بين المتجهات

الزاوية بين المتجهات - الزاوية بين اتجاهات هذه المتجهات (أصغر زاوية).

المنتج المتقاطع (المنتج المتقاطع لمتجهين.) -هذا هو متجه كاذب متعامد على مستوى مكون من عاملين، وهو نتيجة العملية الثنائية "ضرب المتجهات" على المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. المنتج ليس تبادليًا ولا ترابطيًا (إنه مضاد للتبادل) ويختلف عن المنتج النقطي للمتجهات. في العديد من المسائل الهندسية والفيزيائية، يجب أن تكون قادرًا على إنشاء متجه متعامد مع متجهين موجودين - حيث يوفر منتج المتجه هذه الفرصة. يعتبر الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودي المتجهات - طول المنتج الاتجاهي لمتجهين يساوي منتج أطوالهما إذا كانا متعامدين، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو غير متوازية.

يتم تعريف المنتج المتقاطع فقط في المساحات ثلاثية الأبعاد وسبعة الأبعاد. تعتمد نتيجة الضرب المتجه، مثل المنتج العددي، على قياس الفضاء الإقليدي.

على عكس صيغة حساب متجهات المنتج العددية من الإحداثيات في نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد، تعتمد صيغة المنتج الاتجاهي على اتجاه نظام الإحداثيات المستطيل أو، بمعنى آخر، "لا تناظره"

العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات.

يُطلق على المتجهات غير الصفرية (لا تساوي 0) اسم خطي واحد إذا كانت تقع على خطوط متوازية أو على نفس الخط. المرادف المقبول، ولكن غير الموصى به، هو المتجهات "المتوازية". يمكن أن تكون المتجهات الخطية المتماثلة موجهة بشكل مماثل ("متماثلة الاتجاه") أو موجهة بشكل معاكس (في الحالة الأخيرة يطلق عليها أحيانًا "مضاد الخطية" أو "مضادة التوازي").

منتج مختلط من المتجهات ( أ، ب، ج)- المنتج العددي للمتجه a والمنتج المتجه للمتجهين b و c:

(أ،ب،ج)=أ ⋅(ب ×ج)

يطلق عليه أحيانًا منتج النقط الثلاثي للمتجهات، على ما يبدو لأن النتيجة هي عددية (بتعبير أدق، سلمية زائفة).

المعنى الهندسي: معامل المنتج المختلط يساوي عدديًا حجم متوازي السطوح الذي تشكله المتجهات (أ، ب، ج) .

ملكيات

المنتج المختلط يكون منحرفًا ومتماثلًا فيما يتعلق بجميع وسائطه: على سبيل المثال. هـ - إعادة ترتيب أي عاملين يغير علامة المنتج. ويترتب على ذلك أن المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح (على أساس متعامد) يساوي محدد مصفوفة مكونة من ناقلات و:

المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتي الأيسر (على أساس متعامد) يساوي محدد المصفوفة المكونة من ناقلات، ويتم أخذه بعلامة الطرح:

بخاصة،

إذا كان هناك متجهان متوازيان، فإنهما مع أي متجه ثالث يشكلان منتجًا مختلطًا يساوي صفرًا.

إذا كانت هناك ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا (أي متحدة المستوى، وتقع في نفس المستوى)، فإن منتجها المختلط يساوي الصفر.

المعنى الهندسي - المنتج المختلط يساوي القيمة المطلقة لحجم متوازي السطوح (انظر الشكل) الذي تشكله المتجهات و؛ تعتمد الإشارة على ما إذا كان هذا الثلاثي من المتجهات أيمن أم أعسر.

مستوية المتجهات.

تسمى ثلاثة نواقل (أو أكثر) متحدة المستوى إذا تم اختزالها إلى أصل مشترك وتقع في نفس المستوى

خصائص المستوى المشترك

إذا كان أحد المتجهات الثلاثة على الأقل يساوي صفرًا، فإن المتجهات الثلاثة تعتبر أيضًا مستوية.

ثلاثية المتجهات التي تحتوي على زوج من المتجهات الخطية تكون متحدة المستوى.

منتج مختلط من ناقلات متحدة المستوى. وهذا معيار للمستوى المشترك لثلاثة نواقل.

ناقلات متحدة المستوى تعتمد خطيا. وهذا أيضًا معيار للمستوى المشترك.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تشكل 3 نواقل غير مستوية الأساس

المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا.

أنظمة ناقلات تعتمد خطيا ومستقلة.تعريف. يسمى نظام المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك على الأقل مجموعة خطية واحدة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري. خلاف ذلك، أي. إذا كانت مجموعة خطية تافهة من المتجهات المعطاة تساوي المتجه الفارغ، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي). لكي يعتمد نظام من المتجهات في الفضاء الخطي خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحد هذه المتجهات على الأقل عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى.

1) إذا كان من بين المتجهات ناقل صفري واحد على الأقل، فإن نظام المتجهات بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع، إذا، على سبيل المثال، بافتراض أن لدينا مجموعة خطية غير تافهة.▲

2) إذا كان من بين المتجهات نظام يعتمد خطيًا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع، دع المتجهات تعتمد خطيًا. وهذا يعني أن هناك مجموعة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري. ولكن بعد ذلك، على افتراض ، نحصل أيضًا على مجموعة خطية غير بديهية تساوي المتجه الصفري.

2. الأساس والبعد. تعريف. نظام المتجهات المستقلة خطيا يسمى الفضاء المتجه أساسمن هذه المساحة إذا كان من الممكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية من ناقلات هذا النظام، أي. لكل متجه هناك أرقام حقيقية بحيث تحمل هذه المساواة تحلل ناقلاتحسب الأسس والأرقام وتسمى إحداثيات المتجه بالنسبة للأساس(أو في الأساس) .

نظرية (حول تفرد التوسع فيما يتعلق بالأساس). يمكن توسيع كل متجه في الفضاء إلى أساس بالطريقة الوحيدة، أي. إحداثيات كل متجه في الأساس يتم تحديدها بشكل لا لبس فيه.

تعريف. مزيج خطي من المتجهات a 1 , ..., n مع المعاملات x 1 , ..., x n يسمى المتجه

س 1 أ 1 + ... + س ن أ ن .

تافه، إذا كانت جميع المعاملات x 1 , ..., x n تساوي الصفر.

تعريف. المجموعة الخطية x 1 a 1 + ... + x n a n تسمى غير تافهة، إذا كان أحد المعاملات على الأقل x 1, ..., x n لا يساوي الصفر.

مستقل خطيا، إذا لم يكن هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

أي أن المتجهات a 1, ..., a n مستقلة خطيًا إذا كان x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 إذا وفقط إذا كان x 1 = 0، ..., x n = 0.

تعريف. تسمى المتجهات a 1، ...، a n تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

خصائص المتجهات المعتمدة خطياً:

للمتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد.

هناك متجهان يعتمدان خطيًا على خط واحد. (المتجهات الخطية تعتمد خطيا.)

لنواقل ثلاثية الأبعاد.

ثلاثة نواقل تعتمد خطيا هي متحدة المستوى. (ثلاثة نواقل مستوية تعتمد خطيا.)

• بالنسبة للمتجهات ذات الأبعاد n.

  متجهات n + 1 تعتمد دائمًا خطيًا.

أمثلة على المشاكل المتعلقة بالاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للمتجهات:

مثال 1. تحقق مما إذا كانت المتجهات a = (3؛ 4؛ 5)، b = (-3؛ 0؛ 5)، c = (4؛ 4؛ 4)، d = (3؛ 4؛ 0) مستقلة خطيًا .

حل:

ستكون المتجهات معتمدة خطيًا، نظرًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 2. تحقق مما إذا كانت المتجهات a = (1؛ 1؛ 1)، b = (1؛ 2؛ 0)، c = (0؛ -1؛ 1) مستقلة خطيًا.

حل:

	س 1 + س 2 = 0
	س 1 + 2س 2 - س 3 = 0
	س 1 + س 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

اطرح الثاني من السطر الأول؛ أضف سطرًا ثانيًا إلى السطر الثالث:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

يوضح هذا الحل أن النظام لديه العديد من الحلول، أي أن هناك مجموعة غير صفرية من قيم الأعداد x 1، x 2، x 3 بحيث يكون الجمع الخطي للمتجهات a، b، c يساوي المتجه الصفري، على سبيل المثال:

أ + ب + ج = 0

وهذا يعني أن المتجهات a، b، c تعتمد خطيًا.

إجابة:المتجهات a، b، c تعتمد خطيًا.

مثال 3. تحقق مما إذا كانت المتجهات a = (1؛ 1؛ 1)، b = (1؛ 2؛ 0)، c = (0؛ -1؛ 2) مستقلة خطيًا.

حل:دعونا نجد قيم المعاملات التي يكون عندها الجمع الخطي لهذه المتجهات مساوياً للمتجه الصفري.

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ج 1 = 0

يمكن كتابة هذه المعادلة المتجهة كنظام من المعادلات الخطية

	س 1 + س 2 = 0
	س 1 + 2س 2 - س 3 = 0
	× 1 + 2 × 3 = 0

دعونا نحل هذا النظام باستخدام طريقة غاوس

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

اطرح الأول من السطر الثاني؛ اطرح الأول من السطر الثالث:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

اطرح الثاني من السطر الأول؛ أضف ثانية إلى السطر الثالث.

للتحقق مما إذا كان نظام المتجهات يعتمد خطيًا، من الضروري إنشاء مجموعة خطية من هذه المتجهات، والتحقق مما إذا كان يمكن أن يكون صفرًا إذا كان معامل واحد على الأقل يساوي الصفر.

الحالة 1. يتم إعطاء نظام من المتجهات بواسطة المتجهات

صنع تركيبة خطية

لقد حصلنا على نظام متجانس من المعادلات. إذا كان حله غير الصفر، فيجب أن يكون المحدد مساويًا للصفر. دعونا نؤلف محددًا ونوجد قيمته.

المحدد هو صفر، وبالتالي فإن المتجهات تعتمد خطيًا.

الحالة 2. يتم تعريف نظام المتجهات من خلال الوظائف التحليلية:

أ)
، إذا كانت الهوية صحيحة، فإن النظام يعتمد خطيًا.

دعونا نجعل مجموعة خطية.

من الضروري التحقق مما إذا كان هناك a، b، c (أحدها على الأقل لا يساوي الصفر) والذي يساوي هذا التعبير صفرًا فيه.

لنكتب وظائف زائدية

,
، ثم

عندها سوف يأخذ المزيج الخطي للمتجهات الشكل:

أين
لنأخذ على سبيل المثال المجموعة الخطية صفرًا، وبالتالي فإن النظام يعتمد خطيًا.

الجواب: النظام يعتمد خطيا.

ب)
لنقم بعمل مجموعة خطية

يجب أن تكون المجموعة الخطية من المتجهات مساوية للصفر لأي قيم لـ x.

دعونا نتحقق من الحالات الخاصة.

المجموعة الخطية من المتجهات تساوي صفرًا فقط إذا كانت جميع المعاملات تساوي الصفر.

ولذلك، فإن النظام مستقل خطيا.

الجواب: النظام مستقل خطيا.

5.3. ابحث عن بعض الأساسات وحدد بعد مساحة الحل الخطي.

دعونا نشكل مصفوفة موسعة ونختصرها إلى شكل شبه منحرف باستخدام الطريقة الغوسية.

للحصول على بعض الأساس، دعونا نستبدل القيم التعسفية:

دعونا نحصل على بقية الإحداثيات

إجابة:

5.4. أوجد إحداثيات المتجه X في الأساس، إذا كان معطى في الأساس.

إن العثور على إحداثيات المتجه على أساس جديد يتلخص في حل نظام من المعادلات

طريقة 1. إيجاد باستخدام مصفوفة الانتقال

لنقم بإنشاء مصفوفة انتقالية

دعونا نجد المتجه في الأساس الجديد باستخدام الصيغة

دعونا نجد المصفوفة العكسية ونقوم بعملية الضرب

,

الطريقة 2. إيجاد عن طريق تكوين نظام المعادلات.

دعونا نؤلف المتجهات الأساسية من المعاملات الأساسية

,
,

العثور على المتجه في الأساس الجديد له الشكل

، أين دهذا هو ناقل معين س.

يمكن حل المعادلة الناتجة بأي طريقة، وستكون الإجابة مشابهة.

الجواب: ناقل على أساس جديد
.

5.5. دع س = (س 1 , س 2 , س 3 ) . هل التحولات التالية خطية؟

دعونا نؤلف مصفوفات العوامل الخطية من معاملات المتجهات المعطاة.

دعونا نتحقق من خاصية العمليات الخطية لكل مصفوفة عامل خطية.

نجد الجانب الأيسر بضرب المصفوفة أإلى المتجه

يمكننا إيجاد الطرف الأيمن بضرب المتجه المعطى في كمية قياسية
.

نحن نرى ذلك
وهذا يعني أن التحول ليس خطيا.

دعونا نتحقق من المتجهات الأخرى.

، التحول ليس خطيا.

، التحول خطي.

إجابة: أوه- ليس التحول الخطي، في- ليست خطية، Cx- خطي.

ملحوظة.يمكنك إكمال هذه المهمة بسهولة أكبر من خلال النظر بعناية إلى المتجهات المعطاة. في أوهنرى أن هناك مصطلحات لا تحتوي على عناصر Xوالتي لا يمكن الحصول عليها نتيجة لعملية خطية. في فيهناك عنصر Xإلى القوة الثالثة، والتي لا يمكن الحصول عليها أيضًا عن طريق الضرب بالمتجه X.

5.6. منح س = { س 1 , س 2 , س 3 } , فأس = { س 2 – س 3 , س 1 , س 1 + س 3 } , بكس = { س 2 , 2 س 3 , س 1 } . تنفيذ العملية المحددة: ( أ ( ب – أ )) س .

دعونا نكتب مصفوفات العوامل الخطية.

لنقم بإجراء عملية على المصفوفات

عند ضرب المصفوفة الناتجة في X نحصل على

إجابة:

الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للمتجهات.
أساس المتجهات. نظام الإحداثيات الأفينية

توجد عربة بها شوكولاتة في القاعة، وسيحصل كل زائر اليوم على زوجين جميلين - الهندسة التحليلية مع الجبر الخطي. ستتطرق هذه المقالة إلى قسمين من الرياضيات العليا في وقت واحد، وسنرى كيف يتعايشان في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة، وتناول تويكس! ...اللعنة، يا لها من حفنة من الهراء. على الرغم من أنني لن أسجل، في النهاية، يجب أن يكون لديك موقف إيجابي تجاه الدراسة.

الاعتماد الخطي للمتجهات, استقلال المتجهات الخطية, أساس المتجهاتوالمصطلحات الأخرى ليس لها تفسير هندسي فحسب، بل لها، قبل كل شيء، معنى جبري. إن مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي ليس دائمًا المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على المستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن الدليل، حاول رسم متجه للفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس، الذي ذهبت إليه للتو إلى Gismeteo من أجل: درجة الحرارة والضغط الجوي، على التوالي. المثال، بالطبع، غير صحيح من وجهة نظر خصائص مساحة المتجه، ولكن، مع ذلك، لا أحد يمنع إضفاء الطابع الرسمي على هذه المعلمات كمتجه. نسمة خريف...

لا، لن أزعجك بالنظرية، فالمساحات المتجهة الخطية هي المهمة يفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (الاعتماد الخطي، الاستقلال، التركيب الخطي، الأساس، وما إلى ذلك) على جميع المتجهات من وجهة نظر جبرية، ولكن سيتم تقديم أمثلة هندسية. وبالتالي، كل شيء بسيط، ويمكن الوصول إليه وواضح. بالإضافة إلى مسائل الهندسة التحليلية، سننظر أيضًا في بعض مسائل الجبر النموذجية. لإتقان المادة، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمىو كيفية حساب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلال ناقلات الطائرة.
أساس الطائرة ونظام الإحداثيات

دعونا نفكر في مستوى مكتب الكمبيوتر الخاص بك (مجرد طاولة، أو طاولة بجانب السرير، أو أرضية، أو سقف، أو أي شيء تريده). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي، سطح الطاولة له طول وعرض، لذا فمن البديهي أن تكون هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن ناقلًا واحدًا لا يكفي، وثلاثة ناقلات أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار تعيين نظام الإحداثيات(شبكة الإحداثيات) لتعيين الإحداثيات لجميع الكائنات الموجودة في الجدول.

لا تتفاجأ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. وعلاوة على ذلك، على لك. يرجى المكان السبابة اليسرىعلى حافة الطاولة حتى ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقلًا. الآن المكان الاصبع الصغير الأيمنعلى حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها نحو شاشة المراقبة. سيكون هذا ناقلًا. ابتسم، أنت تبدو رائعا! ماذا يمكننا أن نقول عن المتجهات؟ نواقل البيانات خطيةمما يعني خطييتم التعبير عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا، أو العكس: حيث يختلف الرقم عن الصفر.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الفصل. ناقلات للدمىحيث شرحت قاعدة ضرب المتجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على سطح مكتب الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. تنتقل المتجهات الخطية ذهابًا وإيابًا وحيدالاتجاه، والمستوى له طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

مرجع: تشير الكلمات "خطي" و"خطي" إلى حقيقة أنه في المعادلات والتعابير الرياضية لا توجد مربعات أو مكعبات أو قوى أخرى أو لوغاريتمات أو جيوب وما إلى ذلك. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (الدرجة الأولى).

اثنين من ناقلات الطائرة تعتمد خطياإذا وفقط إذا كانت على خط واحد.

اشبك أصابعك على الطاولة بحيث تكون هناك أي زاوية بينهما غير 0 أو 180 درجة. اثنين من ناقلات الطائرةخطي لاتعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على خط مستقيم. لذلك، يتم الحصول على الأساس. لا داعي للشعور بالحرج من أن الأساس قد تبين أنه "منحرف" بمتجهات غير متعامدة ذات أطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أن الزاوية التي قياسها 90 درجة ليست فقط مناسبة لبناءها، وليس فقط ناقلات الوحدات ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةيتم توسيعها على أساس:
، أين الأعداد الحقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس.

ويقال ذلك أيضا المتجهقدمت كما تركيبة خطيةناقلات الأساس. أي أن التعبير يسمى تحلل ناقلاتعلى أساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس

على سبيل المثال، يمكننا القول إن المتجه متحلل على أساس متعامد للمستوى، أو يمكننا القول إنه ممثل كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا صياغة تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةيسمى زوج من المتجهات المستقلة خطياً (غير الخطية)، ، حيث أيالمتجه المستوي هو مزيج خطي من المتجهات الأساسية.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن المتجهات مأخوذة بترتيب معين. قواعد - هاتان قاعدتان مختلفتان تمامًا! كما يقولون، لا يمكنك استبدال إصبع يدك اليسرى بدلاً من إصبع يدك اليمنى.

لقد اكتشفنا الأساس، ولكن لا يكفي تعيين شبكة إحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ النواقل حرة وتتجول في جميع أنحاء الطائرة بأكملها. إذًا كيف يمكنك تعيين إحداثيات لتلك البقع الصغيرة القذرة على الطاولة المتبقية من عطلة نهاية الأسبوع الجامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. ومثل هذا المعلم هو نقطة مألوفة لدى الجميع - أصل الإحداثيات. دعونا نفهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمىلقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام الإحداثيات المستطيل والأساس المتعامد. وهذه هي الصورة القياسية:

عندما يتحدثون عن نظام الإحداثيات المستطيلة، فغالبًا ما يقصدون الأصل وتنسيق المحاور والقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام الإحداثيات المستطيل" في محرك البحث، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على المستوى.

من ناحية أخرى، يبدو أنه يمكن تعريف نظام الإحداثيات المستطيل بشكل كامل من حيث الأساس المتعامد. وهذا صحيح تقريبًا. الصياغة هي كما يلي:

أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات المستطيلة الديكارتية . وهذا هو، نظام الإحداثيات المستطيلة قطعاًيتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهين متعامدين للوحدة. لهذا السبب ترى الرسم الذي قدمته أعلاه - في المشكلات الهندسية، غالبًا ما يتم رسم المتجهات ومحاور الإحداثيات (ولكن ليس دائمًا).

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك باستخدام نقطة (الأصل) وأساس متعامد أي نقطة على الطائرة وأي ناقل على متن الطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. بالمعنى المجازي، "كل شيء على متن الطائرة يمكن ترقيمه".

هل ناقلات الإحداثيات مطلوبة لتكون وحدة؟ لا، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير الصفر. خذ بعين الاعتبار نقطة ومتجهين متعامدين بطول عشوائي غير صفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يتم تحديد أصل الإحداثيات مع المتجهات بواسطة شبكة إحداثيات، وأي نقطة على المستوى، أي متجه لها إحداثياته ​​على أساس معين. على سبيل المثال، أو. الإزعاج الواضح هو أن المتجهات الإحداثية على العموملها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي واحدًا، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد، وكذلك أدناه في القواعد المتقاربة للمستوى والفضاء، يتم اعتبار الوحدات على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال، وحدة واحدة على طول المحور السيني تحتوي على 4 سم، ووحدة واحدة على طول المحور الإحداثي تحتوي على 2 سم. هذه المعلومات كافية، إذا لزم الأمر، لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة".

والسؤال الثاني، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل، هو هل قياس الزاوية بين متجهات الأساس يساوي 90 درجة؟ لا! وكما ينص التعريف، يجب أن تكون المتجهات الأساسية فقط غير خطية. وفقا لذلك، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء ما عدا 0 و 180 درجة.

نقطة على الطائرة تسمى أصل، و غير خطيةثلاثة أبعاد، ، تعيين نظام إحداثيات الطائرة :

في بعض الأحيان يتم استدعاء نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلنظام. كأمثلة، يظهر الرسم النقاط والمتجهات:

كما تفهم، فإن نظام الإحداثيات المتقاربة هو أقل ملاءمة؛ ولا تعمل فيه صيغ أطوال المتجهات والقطاعات، التي ناقشناها في الجزء الثاني من الدرس؛ ناقلات للدمى، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة المنتج العددي للمتجهات. لكن قواعد إضافة المتجهات وضرب المتجه برقم، وصيغ تقسيم القطعة في هذه العلاقة، بالإضافة إلى بعض أنواع المشكلات الأخرى التي سننظر فيها قريبًا، هي قواعد صالحة.

والاستنتاج هو أن الحالة الخاصة الأكثر ملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة هي النظام الديكارتي المستطيل. لهذا السبب عليك في أغلب الأحيان رؤيتها يا عزيزتي. ...ومع ذلك، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي تكون فيها الزاوية المائلة (أو زاوية أخرى، على سبيل المثال) القطبية) نظام الإحداثيات. وقد يحب البشر مثل هذه الأنظمة =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. جميع المسائل في هذا الدرس صالحة لكل من نظام الإحداثيات المستطيل والحالة العامة. لا يوجد شيء معقد هنا؛ جميع المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من ناقلات الطائرة؟

شيء نموذجي. من أجل اثنين من ناقلات الطائرة إذا كانت على خط واحد، فمن الضروري والكافي أن تكون إحداثياتها المقابلة متناسبةفي الأساس، هذا عبارة عن تفصيل تنسيقي تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل تشكل المتجهات أساسًا؟ ?

حل:
أ) دعونا نعرف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب، بحيث يتم استيفاء المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "المرنة" من تطبيق هذه القاعدة، والتي تعمل بشكل جيد في الممارسة العملية. الفكرة هي تكوين النسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

لنقم بعمل نسبة من نسب الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

دعونا نختصر:
وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة، وبالتالي،

يمكن إجراء العلاقة بالعكس، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي، يمكنك استخدام حقيقة أن المتجهات الخطية المتداخلة يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في هذه الحالة، تحدث المساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). نحن نفحص المتجهات لمعرفة العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك، ومن المعادلة الثانية يتبع ذلك، مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي، فإن الإحداثيات المقابلة للمتجهات ليست متناسبة.

خاتمة: المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو النسخة المبسطة من الحل كما يلي:

لنقم بعمل نسبة من الإحداثيات المقابلة للمتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة، لا يتم رفض هذا الخيار من قبل المراجعين، ولكن تنشأ مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات تساوي الصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيفية العمل من خلال التناسب هنا؟ (في الواقع، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

مثال إبداعي صغير للحل الخاص بك:

مثال 2

عند أي قيمة للمعلمة توجد المتجهات هل سيكونون على خط واحد؟

في حل العينة، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة للتحقق من وجود علاقة خطية متداخلة بين المتجهات، فلننظم معرفتنا ونضيفها كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهين مستويين، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست على خط مستقيم؛

+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات غير صفر.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) المتجهات تعتمد خطيا؛
2) المتجهات لا تشكل الأساس؛
3) المتجهات على خط واحد.
4) يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي صفر.

أنا حقا آمل ذلك هذه اللحظةأنت تفهم بالفعل جميع الشروط والبيانات التي تصادفك.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون على خطية واحدة فقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر:. لتطبيق هذه الميزة، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المحددات.

دعونا نقررمثال 1 بالطريقة الثانية:

أ) دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد.

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل ذو النسب.

وبمساعدة المادة التي تم دراستها، من الممكن ليس فقط إثبات العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات، ولكن أيضًا إثبات توازي المقاطع والخطوط المستقيمة. دعونا نفكر في بعض المشاكل المتعلقة بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل: ليست هناك حاجة لإنشاء رسم في المشكلة، حيث أن الحل سيكون تحليليًا بحتًا. دعونا نتذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي الذي تكون أضالعه المتقابلة متوازية في أزواج .

ولذلك لا بد من إثبات:
1) التوازي بين الجانبين المتقابلين و؛
2) التوازي بين الجانبين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("حسب المدرسة" - ناقلات متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا، ولكن من الأفضل إضفاء الطابع الرسمي على القرار بشكل واضح، مع الترتيب. لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، وهو ما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد، و.

خاتمة: الضلعان المتقابلان في الشكل الرباعي متوازيان في أزواج، مما يعني أنه متوازي أضلاع بحكم التعريف. Q.E.D.

المزيد من الشخصيات الجيدة والمختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

للحصول على صياغة أكثر صرامة للدليل، من الأفضل، بالطبع، الحصول على تعريف شبه منحرف، ولكن يكفي أن نتذكر ببساطة كيف يبدو.

هذه مهمة عليك حلها بنفسك. الحل الكامل في نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من ناقلات الفضاء؟

القاعدة مشابهة جدا. لكي يكون متجهان فضائيان على خط واحد، من الضروري والكافي أن تكون إحداثياتهما المقابلة متناسبة.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:

أ) ؛
ب)
الخامس)

حل:
أ) دعونا نتحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

ليس لدى النظام حل، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

يتم إضفاء الطابع الرسمي على "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المتناظرة غير متناسبة، مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم.

إجابة:المتجهات ليست على خط واحد.

ب-ج) هذه نقاط للقرار المستقل. جربه بطريقتين.

توجد طريقة للتحقق من العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات المكانية من خلال محدد من الدرجة الثالثة؛ وقد تم تناول هذه الطريقة في المقالة منتج متجه من المتجهات.

وكما هو الحال في الحالة المستوية، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة توازي الأجزاء المكانية والخطوط المستقيمة.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات التقاربي

العديد من الأنماط التي درسناها على المستوى ستكون صالحة للفضاء. حاولت التقليل من الملاحظات النظرية، حيث أن حصة الأسد من المعلومات قد تم مضغها بالفعل. لكن أنصحك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن، بدلًا من سطح مكتب الكمبيوتر، نستكشف الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولا، دعونا ننشئ أساسها. شخص ما الآن في الداخل، وآخر في الخارج، ولكن على أي حال، لا يمكننا الهروب من ثلاثة أبعاد: العرض والطول والارتفاع. لذلك، لبناء الأساس، ستكون هناك حاجة إلى ثلاثة ناقلات مكانية. واحد أو اثنين من المتجهات لا يكفي، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالإحماء على أصابعنا. يرجى رفع يدك ونشرها في اتجاهات مختلفة الإبهام والسبابة والإصبع الأوسط. ستكون هذه متجهات، وتبدو في اتجاهات مختلفة، ولها أطوال مختلفة ولها زوايا مختلفة فيما بينها. تهانينا، أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد جاهز! وبالمناسبة، ليست هناك حاجة لإثبات ذلك للمعلمين، بغض النظر عن مدى صعوبة لوي أصابعك، ولكن لا مفر من التعريفات =)

وبعد ذلك دعونا نسأل أنفسنا سؤالاً مهماً: هل تشكل أي ناقلات ثلاثة أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد؟؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع بقوة على الجزء العلوي من مكتب الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة نواقل في نفس المستوى، وبشكل تقريبي، فقدنا أحد الأبعاد - الارتفاع. هذه النواقل هي متحد المستوىومن الواضح تمامًا أنه لم يتم إنشاء أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تجدر الإشارة إلى أن المتجهات المستوية ليس من الضروري أن تقع في نفس المستوى، بل يمكن أن تكون في مستويات متوازية (فقط لا تفعل هذا بأصابعك، فقط سلفادور دالي هو من فعل هذا =)).

تعريف: تسمى المتجهات متحد المستوى، إذا كان هناك مستوى موازٍ له. ومن المنطقي أن نضيف هنا أنه إذا لم يكن هذا المستوى موجودًا، فلن تكون المتجهات متحدة المستوى.

ثلاثة نواقل مستوية تعتمد دائمًا خطيًاأي أنه يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. للتبسيط، دعونا نتخيل مرة أخرى أنهما يقعان في نفس المستوى. أولاً، المتجهات ليست متحدة المستوى فحسب، بل يمكن أيضًا أن تكون على خط واحد، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية، على سبيل المثال، إذا لم تكن المتجهات على خط واحد، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من المواد الموجودة في القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًاأي أنه لا يتم التعبير عنهما بأي شكل من الأشكال من خلال بعضهما البعض. ومن الواضح أن هذه المتجهات هي وحدها القادرة على تشكيل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعادتسمى ثلاثية من المتجهات المستقلة خطياً (غير متحدة المستوى)، اتخذت في ترتيب معينوأي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةمتحللة على أساس معين، أين هي إحداثيات المتجه في هذا الأساس

دعني أذكرك أنه يمكننا أيضًا القول إن المتجه ممثل في الصورة تركيبة خطيةناقلات الأساس

يتم تقديم مفهوم نظام الإحداثيات بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال في حالة المستوى؛ حيث تكفي نقطة واحدة وأي ثلاثة نواقل مستقلة خطيًا:

أصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت في ترتيب معين، تعيين نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالطبع، شبكة الإحداثيات "مائلة" وغير مريحة، ولكن مع ذلك، فإن نظام الإحداثيات المبني يسمح لنا بذلك قطعاًتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. كما هو الحال مع المستوى، فإن بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل لن تعمل في نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة، كما يخمن الجميع، هي نظام إحداثيات الفضاء المستطيل:

نقطة في الفضاء تسمى أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات الفضائية المستطيلة الديكارتية . صورة مألوفة:

قبل الانتقال إلى المهام العملية، دعونا ننظم المعلومات مرة أخرى:

بالنسبة لثلاثة متجهات فضائية، تكون العبارات التالية متكافئة:
1) المتجهات مستقلة خطياً؛
2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست مستوية؛
4) لا يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يختلف عن الصفر.

أعتقد أن التصريحات المعاكسة مفهومة.

يتم التحقق تقليديًا من الاعتماد الخطي/استقلال المتجهات الفضائية باستخدام المحدد (النقطة 5). ستكون المهام العملية المتبقية ذات طبيعة جبرية واضحة. لقد حان الوقت لتعليق عصا الهندسة وممارسة مضرب البيسبول للجبر الخطي:

ثلاثة ناقلات للفضاءتكون مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر: .

أود أن ألفت انتباهكم إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة، ولكن أيضًا في الصفوف (لن تتغير قيمة المحدد بسبب هذا - راجع خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا قليلاً طرق حساب المحددات، أو ربما لديهم القليل من المعرفة بها على الإطلاق، أوصي بأحد أقدم دروسي: كيفية حساب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد:

حل: في الواقع، الحل بأكمله يكمن في حساب المحدد.

أ) لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات (يتم الكشف عن المحدد في السطر الأول):

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (وليست متحدة المستوى) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابة: هذه المتجهات تشكل الأساس

ب) هذه نقطة للقرار المستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

هناك أيضًا مهام إبداعية:

مثال 7

عند أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات مستوية؟

حل: تكون المتجهات مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي الصفر:

في الأساس، تحتاج إلى حل معادلة ذات محدد. نحن ننقض على الأصفار مثل الطائرات الورقية على الجربوع - من الأفضل فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

ونقوم بمزيد من التبسيط ونختصر الأمر إلى أبسط معادلة خطية:

إجابة: في

من السهل التحقق من ذلك؛ للقيام بذلك، عليك التعويض بالقيمة الناتجة في المحدد الأصلي والتأكد من ذلك ، فتحه مرة أخرى.

في الختام، دعونا نلقي نظرة على مسألة نموذجية أخرى، وهي ذات طبيعة جبرية ويتم تضمينها تقليديًا في مقرر الجبر الخطي. إنه أمر شائع جدًا لدرجة أنه يستحق موضوعًا خاصًا به:

أثبت أن 3 نواقل تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد
وأوجد إحداثيات المتجه الرابع على هذا الأساس

مثال 8

يتم إعطاء المتجهات. وضح أن المتجهات تشكل أساسًا في فضاء ثلاثي الأبعاد وأوجد إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

حل: أولا، دعونا نتعامل مع هذه الحالة. حسب الشرط، يتم إعطاء أربعة متجهات، وكما ترون، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو هذا الأساس لا يهمنا. والشيء التالي مثير للاهتمام: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. وتتزامن المرحلة الأولى تمامًا مع حل المثال 6، ومن الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا حقًا:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

! مهم : إحداثيات المتجهات بالضرورةاكتب إلى أعمدةالمحدد، وليس في السلاسل. خلاف ذلك، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافية.