قسمة الكسور المختلطة ذات المقامات المتشابهة. العمليات مع الكسور

لحل المسائل المختلفة من دورات الرياضيات والفيزياء، عليك قسمة الكسور. من السهل جدًا القيام بذلك إذا كنت تعرف قواعد معينة لإجراء هذه العملية الرياضية.

قبل أن ننتقل إلى صياغة قاعدة قسمة الكسور، دعونا نتذكر بعض المصطلحات الرياضية:

1. الجزء العلوي من الكسر يسمى البسط، والجزء السفلي يسمى المقام.
2. عند القسمة تسمى الأرقام كما يلي: المقسوم عليه: المقسوم عليه = حاصل القسمة

كيفية قسمة الكسور: الكسور البسيطة

لتقسيم كسرين بسيطين، اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه. ويسمى هذا الكسر أيضًا مقلوبًا لأنه يتم الحصول عليه عن طريق تبديل البسط والمقام. على سبيل المثال:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

كيفية تقسيم الكسور: الكسور المختلطة

إذا كان علينا تقسيم الكسور المختلطة، فكل شيء هنا أيضًا بسيط جدًا وواضح. أولًا، نحول الكسر المختلط إلى كسر غير فعلي منتظم. للقيام بذلك، اضرب مقام هذا الكسر بعدد صحيح وأضف البسط إلى المنتج الناتج. ونتيجة لذلك، حصلنا على بسط جديد للكسر المختلط، ولكن مقامه سيبقى دون تغيير. علاوة على ذلك، سيتم إجراء تقسيم الكسور بنفس الطريقة التي يتم بها تقسيم الكسور البسيطة. على سبيل المثال:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

كيفية قسمة الكسر على رقم

من أجل قسمة كسر بسيط على رقم، يجب كتابة الأخير ككسر (غير منتظم). من السهل جدًا القيام بذلك: يتم كتابة هذا الرقم بدلاً من البسط، ومقام هذا الكسر يساوي واحدًا. يتم إجراء المزيد من التقسيم بالطريقة المعتادة. دعونا ننظر إلى هذا مع مثال:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

كيفية تقسيم الأعداد العشرية

غالبًا ما يواجه الشخص البالغ صعوبة في قسمة عدد صحيح أو كسر عشري على كسر عشري دون مساعدة الآلة الحاسبة.

لذلك، لتقسيم الكسور العشرية، تحتاج فقط إلى شطب الفاصلة في المقسوم عليه والتوقف عن الاهتمام بها. في المقسوم، يجب نقل الفاصلة إلى اليمين بنفس عدد الأماكن تمامًا كما كانت في الجزء الكسري من المقسوم عليه، مع إضافة الأصفار إذا لزم الأمر. ثم يقومون بالقسمة المعتادة على عدد صحيح. ولتوضيح ذلك أكثر، خذ بعين الاعتبار المثال التالي.

محتوى الدرس

جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة

هناك نوعان من جمع الكسور:

1. جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة
2. جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

أولًا، دعونا نتعلم جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال، دعونا نضيف الكسور و . أضف البسطين واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 2.إضافة الكسور و.

وتبين أن الإجابة كانت كسرًا غير حقيقي. عندما تأتي نهاية المهمة، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الحقيقي، عليك تحديد الجزء بأكمله منه. في حالتنا، يمكن عزل الجزء بأكمله بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى قسمين. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. إضافة الكسور و.

مرة أخرى، نجمع البسطين ونترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 4.أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. يجب إضافة البسطين وترك المقام دون تغيير:

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا وأضفت المزيد من البيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في جمع الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور لها نفس المقام، تحتاج إلى إضافة بسطيها وترك المقام دون تغيير؛

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

الآن دعونا نتعلم كيفية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. عند جمع الكسور، يجب أن تكون مقامات الكسور هي نفسها. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال، يمكن جمع الكسور لأن لها نفس المقامات.

لكن لا يمكن جمع الكسور على الفور، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

هناك عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سوف ننظر إلى واحد منهم فقط، لأن الطرق الأخرى قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم أولاً البحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات كلا الكسرين. يتم بعد ذلك قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول للحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون نفس الشيء مع الكسر الثاني - يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ.

يتم بعد ذلك ضرب بسط ومقامات الكسور في عواملها الإضافية. ونتيجة لهذه الإجراءات، تتحول الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور.

مثال 1. دعونا نضيف الكسور و

أولًا، علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 6

م م م (2 و 3) = 6

الآن دعونا نعود إلى الكسور و . أولاً، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول واحصل على العامل الإضافي الأول. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 6 على 3، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو أول مضاعف إضافي. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك، ارسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر واكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. بقسمة 6 على 2، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو المضاعف الإضافي الثاني. نكتبه إلى الكسر الثاني. مرة أخرى، نرسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن لدينا كل شيء جاهز للإضافة. يبقى ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية:

انظر بعناية إلى ما وصلنا إليه. لقد توصلنا إلى نتيجة مفادها أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تتحول إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:

هذا يكمل المثال. اتضح أن تضيف .

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا آخر:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بتقليل الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس قطع البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمهم هذه المرة إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام).

الرسم الأول يمثل كسرًا (أربع قطع من ستة)، والرسم الثاني يمثل كسرًا (ثلاث قطع من ستة). وبإضافة هذه القطع نحصل على (سبع قطع من أصل ستة). وهذا الكسر غير حقيقي، لذا سلطنا الضوء على الجزء بأكمله منه. ونتيجة لذلك، حصلنا على (بيتزا كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

يرجى ملاحظة أننا وصفنا هذا المثال بقدر كبير من التفصيل. ليس من المعتاد الكتابة بمثل هذه التفاصيل في المؤسسات التعليمية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لها، بالإضافة إلى ضرب العوامل الإضافية التي تم العثور عليها بسرعة في البسط والمقامات. ولو كنا في المدرسة لوجب علينا أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضًا جانب آخر للعملة. إذا لم تقم بتدوين ملاحظات تفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات، فإن أسئلة من هذا النوع تبدأ في الظهور. "من أين يأتي هذا الرقم؟"، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل عملية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، يمكنك استخدام الإرشادات التالية خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور؛
2. قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر؛
3. ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية؛
4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات؛
5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله؛

مثال 2.أوجد قيمة التعبير .

دعونا نستخدم التعليمات الواردة أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4

الخطوة 2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر

اقسم LCM على مقام الكسر الأول. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. بقسمة 12 على 2، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه فوق الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. نحصل على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه فوق الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. نحصل على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه فوق الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية

نضرب البسط والمقام بعواملها الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). كل ما تبقى هو إضافة هذه الكسور. أضفه:

لم تكن عملية الإضافة مناسبة لسطر واحد، لذلك قمنا بنقل التعبير المتبقي إلى السطر التالي. وهذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتناسب التعبير مع سطر واحد، يتم نقله إلى السطر التالي، ومن الضروري وضع علامة المساواة (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة المساواة الموجودة في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله منه

وتبين أن إجابتنا هي كسر غير حقيقي. وعلينا أن نسلط الضوء على جزء كامل منه. نسلط الضوء على:

لقد تلقينا إجابة

طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة

هناك نوعان من طرح الكسور:

1. طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
2. طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

أولًا، دعونا نتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، ولكن اترك المقام كما هو.

على سبيل المثال، دعونا نجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 2.أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى، من بسط الكسر الأول، اطرح بسط الكسر الثاني، واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 3.أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. من بسط الكسر الأول تحتاج إلى طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:

1. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير؛
2. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.

طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

على سبيل المثال، يمكنك طرح كسر من كسر لأن الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكنك طرح كسر من كسر، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

يتم إيجاد المقام المشترك باستخدام نفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. ثم يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول الذي يكتب فوق الكسر الأول. وبالمثل، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ، وهو مكتوب فوق الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور بعواملها الإضافية. ونتيجة لهذه العمليات، يتم تحويل الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور.

مثال 1.ابحث عن معنى العبارة:

هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذلك تحتاج إلى اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن دعونا نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. اكتب أربعة فوق الكسر الأول:

نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. اكتب ثلاثة على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

لقد توصلنا إلى نتيجة مفادها أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تتحول إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:

لقد تلقينا إجابة

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قطعت بيتزا من بيتزا، فستحصل على بيتزا

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. لو كنا في المدرسة، لكان علينا حل هذا المثال بشكل أقصر. سيبدو مثل هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بتقليل هذه الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام):

الصورة الأولى توضح كسرًا (ثمانية أجزاء من اثني عشر)، والصورة الثانية توضح كسرًا (ثلاثة أجزاء من اثني عشر). وبقطع ثلاث قطع من ثماني قطع، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه القطع الخمس.

مثال 2.أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذا عليك أولًا اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).

دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأرقام 10 و3 و5. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 30

المضاعف المشترك الأصغر(10، 3، 5) = 30

والآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. بقسمة 30 على 10، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه فوق الكسر الأول:

والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 30 على 3، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه فوق الكسر الثاني:

والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. بقسمة 30 على 5، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه فوق الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. دعونا ننتهي من هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد، لذلك ننقل الاستمرار إلى السطر التالي. لا تنس علامة المساواة (=) على السطر الجديد:

تبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ويبدو أن كل شيء يناسبنا، لكنه مرهق وقبيح للغاية. ينبغي لنا أن نجعل الأمر أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقصير هذا الكسر.

لتبسيط الكسر، عليك قسمة بسطه ومقامه على (GCD) للرقمين 20 و30.

لذلك نجد gcd للأرقام 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط ومقام الكسر على gcd الموجود، أي على 10

لقد تلقينا إجابة

ضرب الكسر بعدد

لضرب كسر في رقم، عليك ضرب بسط الكسر المحدد في هذا الرقم وترك المقام كما هو.

مثال 1. ضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم التسجيل على أنه يستغرق نصف مرة واحدة. على سبيل المثال، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة، فستحصل على البيتزا

نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم تبديل المضاعف والعامل، فلن يتغير الناتج. إذا تم كتابة التعبير كـ، فسيظل المنتج مساويًا لـ . مرة أخرى، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الترميز على أنه أخذ نصف واحد. على سبيل المثال، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها، فسيكون لدينا بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين 4 مرات. على سبيل المثال، إذا أخذت 4 بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف نحصل على التعبير. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ قطعتين بيتزا من أربع بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور، عليك أن تضرب بسطها ومقامها. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.

مثال 1.أوجد قيمة التعبير.

لقد تلقينا إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تقليل الكسر بمقدار 2. ثم سيكون الحل النهائي بالشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاثة:

سنصنع البيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا عند تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء:

قطعة واحدة من هذه البيتزا والقطعتين اللتين أخذناهما سيكون لهما نفس الأبعاد:

بمعنى آخر، نحن نتحدث عن بيتزا بنفس الحجم. وبالتالي فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:

مثال 3.أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

وتبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ولكن سيكون من الجيد تقصيرها. لتقليل هذا الكسر، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام لهذا الكسر على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 105 و450.

لذلك، دعونا نجد gcd للأرقام 105 و 450:

الآن نقسم البسط والمقام لإجابتنا على gcd الذي وجدناه الآن، أي على 15

تمثيل العدد الصحيح على شكل كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح على شكل كسر. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ . وهذا لن يغير معنى خمسة، لأن اللفظ يعني "العدد خمسة على واحد"، وهذا كما نعلم يساوي خمسة:

أرقام متبادلة

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام للغاية في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس إلى الرقمأ هو الرقم الذي، عندما ضربأ يعطي واحدة.

دعونا نستبدل في هذا التعريف بدلا من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس إلى الرقم 5 هو الرقم الذي، عندما ضرب 5 يعطي واحدة.

هل من الممكن العثور على رقم إذا ضرب في 5 يعطي واحدا؟ اتضح أن هذا ممكن. دعونا نتخيل خمسة ككسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه، فقط قم بتبديل البسط والمقام. بمعنى آخر، دعونا نضرب الكسر في نفسه، فقط بالمقلوب:

ماذا سيحدث نتيجة لهذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال، نحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم، لأنك عندما تضرب 5 في تحصل على واحد.

يمكن أيضًا العثور على مقلوب أي رقم لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك، فقط اقلبها.

قسمة الكسر على عدد

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعونا نقسمها بالتساوي بين اثنين. ما مقدار البيتزا التي سيحصل عليها كل شخص؟

ويمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا، تم الحصول على قطعتين متساويتين، كل منهما تشكل بيتزا. حتى يحصل الجميع على البيتزا.

يتم تقسيم الكسور باستخدام المقلوب. تسمح لك الأرقام المتبادلة باستبدال القسمة بالضرب.

لقسمة كسر على رقم، عليك ضرب الكسر في معكوس المقسوم عليه.

باستخدام هذه القاعدة، سنكتب تقسيم نصف البيتزا إلى قسمين.

لذلك، تحتاج إلى تقسيم الكسر على الرقم 2. هنا المقسوم هو الكسر والمقسوم عليه هو الرقم 2.

لتقسيم الكسر على الرقم 2، عليك ضرب هذا الكسر بمقلوب المقسوم عليه 2. ومقلوب المقسوم عليه 2 هو الكسر. لذلك عليك أن تتضاعف

عاجلاً أم آجلاً، يبدأ جميع الأطفال في المدرسة في تعلم الكسور: الجمع والقسمة والضرب وجميع العمليات الممكنة التي يمكن إجراؤها بالكسور. من أجل تقديم المساعدة المناسبة للطفل، يجب على الآباء أنفسهم ألا ينسوا كيفية تقسيم الأعداد الصحيحة إلى كسور، وإلا فلن تتمكن من مساعدته بأي شكل من الأشكال، بل ستربكه فقط. إذا كنت بحاجة إلى تذكر هذا الإجراء، ولكن لا يمكنك جمع كل المعلومات الموجودة في رأسك في قاعدة واحدة، فستساعدك هذه المقالة: سوف تتعلم كيفية تقسيم الرقم على الكسر ورؤية أمثلة واضحة.

كيفية تقسيم الرقم إلى كسر

اكتب المثال الخاص بك كمسودة تقريبية حتى تتمكن من تدوين الملاحظات والمسح. تذكر أن العدد الصحيح يُكتب بين الخلايا، عند تقاطعها مباشرةً، ويتم كتابة الأعداد الكسرية في كل خلية خاصة بها.

• في هذه الطريقة، تحتاج إلى قلب الكسر رأسًا على عقب، أي كتابة المقام في البسط، والبسط في المقام.
• يجب تغيير علامة القسمة إلى الضرب.
• الآن كل ما عليك فعله هو إجراء الضرب وفقًا للقواعد التي تعلمتها بالفعل: يتم ضرب البسط بعدد صحيح، لكنك لا تلمس المقام.

بالطبع، نتيجة لهذا الإجراء، سينتهي بك الأمر بعدد كبير جدًا في البسط. لا يمكنك ترك جزء صغير في هذه الحالة - فالمعلم ببساطة لن يقبل هذه الإجابة. قم بتبسيط الكسر عن طريق قسمة البسط على المقام. اكتب العدد الصحيح الناتج على يسار الكسر في منتصف الخلايا، وسيكون الباقي هو البسط الجديد. يبقى القاسم دون تغيير.

هذه الخوارزمية بسيطة للغاية، حتى بالنسبة للطفل. بعد إكماله خمس أو ست مرات، سيتذكر الطفل الإجراء وسيكون قادرًا على تطبيقه على أي كسور.

كيفية قسمة عدد على عدد عشري

هناك أنواع أخرى من الكسور - الكسور العشرية. يحدث التقسيم إليها وفقًا لخوارزمية مختلفة تمامًا. إذا واجهت مثل هذا المثال، فاتبع التعليمات:

• أولاً، قم بتحويل كلا الرقمين إلى أعداد عشرية. من السهل القيام بذلك: يتم تمثيل المقسوم عليه بالفعل ككسر، ويمكنك فصل الرقم الطبيعي المقسوم بفاصلة، والحصول على كسر عشري. أي أنه إذا كان المقسوم 5، فستحصل على الكسر 5.0. تحتاج إلى فصل رقم بعدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية والمقسوم عليه.
• بعد ذلك، يجب عليك جعل كلا الكسرين العشريين أرقامًا طبيعية. قد يبدو الأمر مربكًا بعض الشيء في البداية، لكنها أسرع طريقة للتقسيم وستستغرق ثوانٍ بعد بضع جلسات تدريب. الكسر 5.0 سيصبح الرقم 50، والكسر 6.23 سيصبح 623.
• قم بالتقسيم. إذا كانت الأرقام كبيرة، أو سيتم القسمة مع الباقي، فقم بذلك في عمود. بهذه الطريقة يمكنك رؤية جميع الإجراءات الواردة في هذا المثال بوضوح. لا تحتاج إلى وضع فاصلة عمدًا، لأنها ستظهر من تلقاء نفسها أثناء عملية القسمة المطولة.

يبدو هذا النوع من القسمة مربكًا للغاية في البداية، لأنك تحتاج إلى تحويل المقسوم والمقسوم عليه إلى كسر، ثم العودة إلى الأعداد الطبيعية. ولكن بعد ممارسة قصيرة، ستبدأ على الفور في رؤية تلك الأرقام التي تحتاج ببساطة إلى قسمتها على بعضها البعض.

تذكر أن القدرة على تقسيم الكسور والأعداد الصحيحة عليها بشكل صحيح يمكن أن تكون مفيدة عدة مرات في الحياة، لذلك يحتاج الطفل إلى معرفة هذه القواعد والمبادئ البسيطة تمامًا حتى لا يصبح في الدرجات العليا حجر عثرة بسبب ذلك لا يستطيع الطفل حل المهام الأكثر تعقيدًا.

الكسر هو جزء واحد أو أكثر من الكل، وعادة ما يعتبر واحدًا (1). كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية، يمكنك إجراء جميع العمليات الحسابية الأساسية (الجمع، الطرح، القسمة، الضرب) مع الكسور؛ للقيام بذلك، تحتاج إلى معرفة ميزات العمل مع الكسور والتمييز بين أنواعها. هناك عدة أنواع من الكسور: العشري والعادي أو البسيط. كل نوع من الكسور له تفاصيله الخاصة، ولكن بمجرد أن تفهم تمامًا كيفية التعامل معها، ستتمكن من حل أي أمثلة بالكسور، لأنك ستعرف المبادئ الأساسية لإجراء العمليات الحسابية بالكسور. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لكيفية قسمة الكسر على عدد صحيح باستخدام أنواع مختلفة من الكسور.

كيفية قسمة كسر بسيط على عدد طبيعي؟
الكسور العادية أو البسيطة هي كسور تتم كتابتها على شكل نسبة من الأرقام يُشار فيها إلى المقسوم (البسط) في أعلى الكسر، والمقسوم (المقام) للكسر في الأسفل. كيفية تقسيم هذا الكسر على عدد صحيح؟ لنلقي نظرة على مثال! لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 8/12 على 2.

للقيام بذلك يجب علينا القيام بعدد من الإجراءات:
وبالتالي، إذا واجهتنا مهمة قسمة كسر على عدد صحيح، فإن مخطط الحل سيبدو كما يلي:

بطريقة مماثلة، يمكنك قسمة أي كسر عادي (بسيط) على عدد صحيح.

كيفية قسمة العدد العشري على عدد صحيح؟
الكسر العشري هو الكسر الذي يتم الحصول عليه عن طريق تقسيم الوحدة إلى عشرة، ثم ألف، وهكذا أجزاء. الحساب مع الكسور العشرية بسيط للغاية.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية قسمة الكسر على عدد صحيح. لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة الكسر العشري 0.925 على العدد الطبيعي 5.

لتلخيص ذلك، دعونا نتناول نقطتين رئيسيتين مهمتين عند إجراء عملية قسمة الكسور العشرية على عدد صحيح:

• لتقسيم الكسر العشري على عدد طبيعي، يتم استخدام القسمة المطولة؛
  
• يتم وضع الفاصلة في حاصل القسمة عند اكتمال قسمة الجزء بأكمله من المقسوم.
  

من خلال تطبيق هذه القواعد البسيطة، يمكنك دائمًا بسهولة تقسيم أي كسر عشري أو بسيط إلى عدد صحيح.

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من عملية الجمع والطرح! لأنه أسهل. للتذكير، لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسطين (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقامات (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ومن فضلك لا تبحث عن قاسم مشترك! لا احتاجه هنا...

لقسمة كسر على كسر، عليك أن تعكس ثانية(وهذا مهم!) قم بكسرها وضربها، أي:

على سبيل المثال:

إذا صادفت الضرب أو القسمة مع الأعداد الصحيحة والكسور، فلا بأس. كما هو الحال مع عملية الجمع، فإننا نقوم بتكوين كسر من عدد صحيح به واحد في المقام - وهيا بنا! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور مكونة من ثلاثة طوابق (أو حتى من أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيف يمكنني جعل هذا الكسر يبدو لائقًا؟ نعم، بسيط جدا! استخدام القسمة على نقطتين:

لكن لا تنسى ترتيب القسمة! على عكس الضرب، هذا مهم جدًا هنا! وبطبيعة الحال، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. ولكن من السهل ارتكاب خطأ في جزء من ثلاثة طوابق. يرجى ملاحظة على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

وفي الثاني (التعبير على اليمين):

هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!

ما الذي يحدد ترتيب القسمة؟ إما بأقواس، أو (كما هنا) بطول الخطوط الأفقية. تطوير عينك. وإذا لم يكن هناك قوسين أو شرطات، مثل:

ثم القسمة والضرب بالترتيب، من اليسار إلى اليمين!

وتقنية أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات ذات الدرجات، سيكون ذلك مفيدًا جدًا لك! لنقسم الواحد على أي كسر، على سبيل المثال، على 13/15:

لقد انقلبت اللقطة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر، يكون الناتج هو نفس الكسر، فقط رأسًا على عقب.

هذا كل شيء بالنسبة للعمليات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. خذ النصائح العملية بعين الاعتبار، وسيكون هناك عدد أقل منها (الأخطاء)!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! هذه ليست كلمات عامة، وليست تمنيات طيبة! هذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في امتحان الدولة الموحدة كمهمة كاملة ومركزة وواضحة. من الأفضل أن تكتب سطرين إضافيين في مسودتك بدلاً من أن تخطئ عند إجراء الحسابات الذهنية.

2. في الأمثلة التي تحتوي على أنواع مختلفة من الكسور، ننتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى تتوقف.

4. نقوم بتقليل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

فيما يلي المهام التي يجب عليك إكمالها بالتأكيد. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد المتعلقة بهذا الموضوع والنصائح العملية. قم بتقدير عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص النتائج الصحيحة..

تذكر - الإجابة الصحيحة هي المستلمة من المرة الثانية (وخاصة الثالثة) لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة، هذا تحضير لامتحان الدولة الموحدة. نحل المثال، نتحقق منه، نحل المثال التالي. لقد قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

هل قررت؟

نحن نبحث عن الإجابات التي تطابق لك. لقد كتبتها عمدا في حالة من الفوضى، بعيدا عن الإغراء، إذا جاز التعبير... وها هي الإجابات، مكتوبة بفواصل منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

الآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك أن تفعل أشياء أكثر خطورة. ان لم...

لذلك لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن هذا قابلة للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.