تحديد المسافة من نقطة إلى خط. المسافة من نقطة إلى خط

155*. حدد الحجم الطبيعي للقطعة AB من الخط المستقيم في الوضع العام (الشكل 153، أ).

حل. وكما هو معروف، فإن إسقاط قطعة مستقيمة على أي مستوى يساوي القطعة نفسها (مع مراعاة مقياس الرسم)، إذا كانت موازية لهذا المستوى

(الشكل 153، ب). ويترتب على ذلك أنه من خلال تحويل الرسم من الضروري تحقيق التوازي في هذا الجزء المربع. V أو مربع H أو أكمل النظام V, H بمستوى آخر متعامد مع المربع. V أو رر. H وفي نفس الوقت موازية لهذا الجزء.

في التين. 153، ج يُظهر إدخال مستوى إضافي S، متعامد مع المربع. H وبالتوازي مع قطعة معينة AB.

الإسقاط a s b s يساوي القيمة الطبيعية للقطعة AB.

في التين. 153، d يوضح تقنية أخرى: يتم تدوير القطعة AB حول خط مستقيم يمر عبر النقطة B وعمودي على المربع. ح، إلى موضع موازٍ

رر. V. في هذه الحالة تبقى النقطة B في مكانها، وتأخذ النقطة A موضعًا جديدًا A 1. الأفق في وضع جديد. إسقاط أ1 ب || المحور س الإسقاط a" 1 b" يساوي الحجم الطبيعي للقطعة AB.

156. بالنظر إلى الهرم SABCD (الشكل 154). تحديد الحجم الفعلي لحواف الهرم AS وCS بطريقة تغيير مستويات الإسقاط، وحواف BS وDS بطريقة التدوير، وأخذ محور الدوران عمودياً على المربع. ح.

157*. حدد المسافة من النقطة أ إلى الخط المستقيم قبل الميلاد (الشكل 155، أ).

حل. يتم قياس المسافة من نقطة إلى خط بواسطة قطعة عمودية مرسومة من النقطة إلى الخط.

إذا كان الخط المستقيم عموديًا على أي مستوى (الشكل 155.6)، فإن المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم تقاس بالمسافة بين إسقاط النقطة وإسقاط النقطة للخط المستقيم على هذا المستوى. إذا كان الخط المستقيم يحتل موقعًا عامًا في نظام V، H، فمن أجل تحديد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم عن طريق تغيير مستويات الإسقاط، فمن الضروري إدخال طائرتين إضافيتين في نظام V، H.

أولا (الشكل 155، ج) ندخل المربع. S، بالتوازي مع المقطع BC (المحور الجديد S/H موازي للإسقاط bc)، وقم ببناء الإسقاطات b s c s و a s. ثم (الشكل 155، د) نقدم مربعًا آخر. T، عمودي على الخط المستقيم BC (المحور الجديد T/S متعامد مع b s مع s). نقوم ببناء إسقاطات لخط مستقيم ونقطة - باستخدام t (b t) وt. المسافة بين النقطتين a t و c t (b t) تساوي المسافة l من النقطة A إلى الخط المستقيم BC.

في التين. 155، د ويتم إنجاز نفس المهمة باستخدام طريقة التدوير بشكلها والتي تسمى بطريقة الحركة المتوازية. أولاً، يتم تدوير الخط المستقيم BC والنقطة A، مع الحفاظ على موضعهما النسبي دون تغيير، حول بعض الخطوط المستقيمة (غير موضحة في الرسم) المتعامدة مع المربع. H، بحيث يكون الخط المستقيم BC موازيًا للمربع. V. وهذا يعادل تحريك النقاط A، B، C في مستويات موازية للمربع. ح. وفي الوقت نفسه، الأفق. إسقاط نظام معين (BC + A) لا يتغير سواء في الحجم أو التكوين، فقط يتغير موضعه بالنسبة للمحور x. نحن نضع الأفق. إسقاط الخط المستقيم BC الموازي للمحور x (الموضع b 1 c 1) وتحديد الإسقاط a 1، مع وضع c 1 1 1 = c-1 جانبًا وa 1 1 1 = a-1، وa 1 1 1 ⊥ ج 1 1 1. برسم خطوط مستقيمة b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 موازية لمحور x نجد الجبهة عليها. الإسقاطات b" 1, a" 1, c" 1. بعد ذلك، نقوم بتحريك النقاط B 1 و C 1 و A 1 في مستويات موازية للمنطقة V (أيضًا دون تغيير مواقعها النسبية)، وذلك للحصول على B 2 C 2 ⊥ المنطقة H. في هذه الحالة، سيكون الإسقاط الأمامي للخط المستقيم عموديًا على x,b 2 c" 2 axis = b" 1 c" 1 , ولإنشاء الإسقاط a" 2 يجب أن نأخذ b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 ، ارسم 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 واترك a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1. الآن، ارسم c 1 c 2 و a 1 a 2 || x 1 نحصل على إسقاطات b 2 c 2 و a 2 والمسافة المطلوبة l من النقطة A إلى الخط المستقيم BC يمكن تحديد المسافة من A إلى BC عن طريق تدوير المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC حول المستوى الأفقي لهذا المستوى إلى الموضع T || pl.H (الشكل 155، هـ).

في المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC، ارسم خطًا أفقيًا A-1 (الشكل 155، ز) وقم بتدوير النقطة B حوله، فتتحرك النقطة B إلى المربع. R (المحدد في الرسم بجانب R h)، عمودي على A-1؛ عند النقطة O يوجد مركز دوران النقطة B. نحدد الآن القيمة الطبيعية لنصف قطر الدوران VO (الشكل 155، ج). في الموضع المطلوب، أي عندما رر. T، المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC، سيصبح || رر. H، ستكون النقطة B على R h على مسافة Ob 1 من النقطة O (قد يكون هناك موضع آخر على نفس التتبع R h، ولكن على الجانب الآخر من O). النقطة ب 1 هي الأفق. إسقاط النقطة B بعد نقلها إلى الموضع B 1 في الفضاء، عندما يتخذ المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC الموضع T.

رسم (الشكل 155، ط) الخط المستقيم ب 1 1، نحصل على الأفق. إسقاط الخط المستقيم قبل الميلاد، الموجود بالفعل || رر. H في نفس المستوى مثل A. في هذا الموضع، المسافة من a إلى b 1 1 تساوي المسافة المطلوبة l. يمكن دمج المستوى P، الذي تقع فيه العناصر المعطاة، مع المربع. H (الشكل 155، ي)، تحول مربع. R حولها هو الأفق. يتعقب. بالانتقال من تحديد المستوى بالنقطة A والخط المستقيم BC إلى تحديد الخطوط المستقيمة BC وA-1 (الشكل 155، ل)، نجد آثار هذه الخطوط المستقيمة ونرسم آثار P ϑ وP h من خلالها. نحن نبني (الشكل 155، م) جنبا إلى جنب مع الساحة. وضعية H أمامية. تتبع - ف ϑ0 .

من خلال النقطة أ نرسم الأفق. الإسقاط الأمامي يمر الجزء الأمامي المدمج عبر النقطة 2 على المسار P h الموازي لـ P ϑ0. النقطة أ 0 - مدمجة مع المربع. H هو موضع النقطة A. وبالمثل نجد النقطة B 0. الشمس المباشرة جنبا إلى جنب مع مربع. يمر موضع H عبر النقطة B 0 والنقطة m (التتبع الأفقي للخط المستقيم).

المسافة من النقطة أ 0 إلى الخط المستقيم ب 0 ج 0 تساوي المسافة المطلوبة l.

يمكنك تنفيذ البناء المشار إليه من خلال إيجاد أثر واحد فقط لـ P h (الشكل 155، n وo). يشبه البناء بأكمله الدوران حول خط أفقي (انظر الشكل 155، g، c، i): التتبع P h هو أحد الخطوط الأفقية pl. ر.

من بين الطرق المقدمة لحل هذه المشكلة، الطريقة المفضلة لتحويل الرسم هي طريقة التدوير حول الأفقي أو الأمامي.

158. تم تقديم هرم SABC (الشكل 156). تحديد المسافات:

أ) من أعلى القاعدة ب إلى جانبها التيار المتردد بطريقة الحركة المتوازية؛

ب) من أعلى الهرم إلى الجانبين BC وAB للقاعدة بالتدوير حول المستوى الأفقي؛

ج) من الجزء العلوي S إلى الجانب AC للقاعدة عن طريق تغيير مستويات الإسقاط.

159. يتم إعطاء المنشور (الشكل 157). تحديد المسافات:

أ) بين الأضلاع AD وCF عن طريق تغيير طائرات الإسقاط؛

ب) بين الأضلاع BE وCF بالتناوب حول الجبهي؛

ج) بين الحافتين AD وBE بحركة متوازية.

160. حدد الحجم الفعلي للشكل الرباعي ABCD (الشكل 158) عن طريق محاذاته مع المربع. ن. استخدم فقط الأثر الأفقي للمستوى.

161*. حدد المسافة بين الخطين المستقيمين المتقاطعين AB و CD (الشكل 159، أ) وقم ببناء إسقاطات متعامدة مشتركة بينهما.

حل. يتم قياس المسافة بين خطوط العبور بقطعة (MN) متعامدة مع كلا الخطين (الشكل 159، ب). من الواضح أنه إذا تم وضع أحد الخطوط المستقيمة بشكل عمودي على أي مربع. ت، إذن

القطعة MN المتعامدة مع كلا الخطين ستكون موازية للمربع. سيعرض إسقاطه على هذا المستوى المسافة المطلوبة. إسقاط الزاوية اليمنى للmenad MN n AB على المربع. تبين أيضًا أن T هي زاوية قائمة بين mt n t و a t b t ، نظرًا لأن أحد جوانب الزاوية القائمة هو AMN، أي MN. موازية للمربع ت.

في التين. 159، ج و د، يتم تحديد المسافة المطلوبة l من خلال طريقة تغيير مستويات الإسقاط. أولاً نقدم مربعًا إضافيًا. إسقاطات S، عمودي على المربع. H وبالتوازي مع القرص المضغوط للخط المستقيم (الشكل 159، ج). ثم نقدم مربعًا إضافيًا آخر. T، عمودي على المربع. S وعمودي على نفس الخط المستقيم CD (الشكل 159، د). يمكنك الآن إنشاء إسقاط عمودي عام عن طريق رسم mt n t من النقطة c t (d t) المتعامدة مع الإسقاط a t b t. النقطتان m t و n t هما إسقاطات لنقاط تقاطع هذا العمود مع الخطين المستقيمين AB و CD. باستخدام النقطة m t (الشكل 159، e) نجد m s على a s b s: يجب أن يكون إسقاط m s n s موازيًا لمحور T/S. بعد ذلك، من m s و n s نجد m و n على ab و cd، ومنهم m" و n" على a"b" و c"d".

في التين. 159، ج يوضح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة الحركات المتوازية. أولاً نضع القرص المضغوط للخط المستقيم موازيًا للمربع. الخامس : الإسقاط ج1 د1 || X. بعد ذلك، ننقل الخطوط المستقيمة CD وAB من المواضع C 1 D 1 وA 1 B 1 إلى المواضع C 2 B 2 وA 2 B 2 بحيث يكون C 2 D 2 عموديًا على H: الإسقاط c" 2 d" 2 ⊥ س. يقع الجزء المتعامد المطلوب || رر. H، وبالتالي فإن m 2 n 2 يعبر عن المسافة المطلوبة l بين AB وCD. نجد موضع الإسقاطات m" 2 و n" 2 على a" 2 b" 2 و c" 2 d" 2، ثم الإسقاطات m 1 و m" 1، n 1 و n" 1، أخيرًا، التوقعات م" و ن "، م و ن.

162. تم تقديم هرم SABC (الشكل 160). تحديد المسافة بين الحافة SB والجانب AC لقاعدة الهرم وإنشاء إسقاطات متعامدة مشتركة بين SB وAC باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط.

163. تم تقديم هرم SABC (الشكل 161). تحديد المسافة بين الحافة SH والضلع BC لقاعدة الهرم وإنشاء إسقاطات للمتعامد المشترك على SX وBC باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

164*. حدد المسافة من النقطة A إلى المستوى في الحالات التي يتم فيها تحديد المستوى بواسطة: أ) المثلث BCD (الشكل 162، أ)؛ ب) آثار (الشكل 162، ب).

حل. كما تعلم، المسافة من نقطة إلى مستوى تقاس بقيمة العمودي المرسوم من النقطة إلى المستوى. يتم عرض هذه المسافة على أي منطقة. الإسقاطات بالحجم الكامل، إذا كانت هذه الطائرة متعامدة مع المربع. التوقعات (الشكل 162، ج). يمكن تحقيق هذا الموقف عن طريق تحويل الرسم، على سبيل المثال، عن طريق تغيير المنطقة. التوقعات. دعونا نقدم ر. S (الشكل 16ج، د)، عمودي على المربع. مثلث بى سى دى للقيام بذلك، نقضي في الساحة. المثلث الأفقي B-1 ووضع محور الإسقاط S عموديا على الإسقاط b-1 الأفقي. نقوم ببناء إسقاطات لنقطة ومستوى - a s وقطعة c s d s. المسافة من a s إلى c s d s تساوي المسافة المطلوبة l من النقطة إلى المستوى.

إلى ريو. 162، د يتم استخدام طريقة الحركة المتوازية. نقوم بتحريك النظام بأكمله حتى يصبح المستوى الأفقي B-1 متعامدًا مع المستوى V: يجب أن يكون الإسقاط b 1 1 1 عموديًا على المحور x. في هذا الوضع، يصبح مستوى المثلث بارزًا من الأمام، وتكون المسافة l من النقطة A إليها pl. V دون تحريف.

في التين. 162، ب يتم تعريف المستوى عن طريق الآثار. نقدم (الشكل 162، هـ) مربعًا إضافيًا. S، عمودي على المربع. P: المحور S/H متعامد مع P h. والباقي واضح من الرسم . في التين. 162، ز تم حل المشكلة باستخدام حركة واحدة: رر. ينتقل P إلى الموضع P 1، أي يصبح بارزًا للأمام. مسار. P 1h عمودي على المحور x. نبني الجبهة في هذا الموضع من الطائرة. التتبع الأفقي هو النقطة n" 1,n 1. سوف يمر التتبع P 1ϑ عبر P 1x و n 1. المسافة من a" 1 إلى P 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

165. تم تقديم هرم SABC (انظر الشكل 160). حدد المسافة من النقطة A إلى حافة هرم SBC باستخدام طريقة الحركة المتوازية.

166. تم تقديم هرم SABC (انظر الشكل 161). تحديد ارتفاع الهرم باستخدام طريقة الإزاحة الموازية.

167*. حدد المسافة بين خطي التقاطع AB وCD (انظر الشكل 159،أ) كالمسافة بين المستويات المتوازية المرسومة عبر هذه الخطوط.

حل. في التين. 163، والطائرات P و Q متوازية مع بعضها البعض، منها رر. يتم رسم Q من خلال القرص المضغوط الموازي لـ AB، وpl. P - من خلال AB الموازي للمربع. س: المسافة بين هذه المستويات تعتبر هي المسافة بين عبور الخطين المستقيمين AB و CD. ومع ذلك، يمكنك أن تقتصر على بناء مستوى واحد فقط، على سبيل المثال Q، موازٍ للمستوى AB، ثم تحديد المسافة على الأقل من النقطة A إلى هذا المستوى.

في التين. 163، c يُظهر المستوى Q المرسوم عبر القرص المضغوط الموازي لـ AB؛ في الإسقاطات المنفذة بالحرف "e" || أ"ب" و م || أب. باستخدام طريقة تغيير رر. التوقعات (الشكل 163، ج)، نقدم مربعًا إضافيًا. S، عمودي على المربع. V وفي نفس الوقت

عمودي على المربع س: لرسم محور S/V، خذ D-1 الأمامي في هذا المستوى. الآن نرسم S/V عموديًا على d"1" (الشكل 163، ج). رر. سيتم تصوير Q على الساحة. S كخط مستقيم مع s d s. والباقي واضح من الرسم .

168. تم تقديم هرم SABC (انظر الشكل 160). تحديد المسافة بين الضلعين SC وAB تطبيق: 1) طريقة تغيير المساحة. الإسقاطات، 2) طريقة الحركة المتوازية.

169*. حدد المسافة بين المستويين المتوازيين، أحدهما محدد بالخطين المستقيمين AB وAC، والآخر بالخطين المستقيمين DE وDF (الشكل 164، أ). قم أيضًا بإجراء البناء للحالة عندما يتم تحديد المستويات بواسطة الآثار (الشكل 164، ب).

حل. يمكن تحديد المسافة (الشكل 164، ج) بين المستويات المتوازية عن طريق رسم خط عمودي من أي نقطة في مستوى ما إلى مستوى آخر. في التين. 164، ز تم تقديم مربع إضافي. S عمودي على المربع. H ولكلا الطائرات المعطاة. محور S.H عمودي على الأفقي. إسقاط أفقي مرسوم في إحدى الطائرات. نقوم ببناء إسقاط لهذا المستوى ونقطة في مستوى آخر على المربع. 5. مسافة النقطة d s إلى الخط المستقيم l s a s تساوي المسافة المطلوبة بين المستويين المتوازيين.

في التين. 164، د يتم إعطاء بناء آخر (حسب طريقة الحركة المتوازية). لكي يكون المستوى الذي يعبر عنه الخطان المتقاطعان AB وAC متعامدا مع المربع. الخامس، الأفق. قمنا بتعيين الإسقاط الأفقي لهذا المستوى المتعامد على المحور x: 1 1 2 1 ⊥ x. المسافة بين الجبهة الإسقاط d" 1 للنقطة D والخط المستقيم a" 1 2" 1 (الإسقاط الأمامي للمستوى) يساوي المسافة المطلوبة بين الطائرات.

في التين. 164، هـ يظهر مقدمة مربع إضافي. S، عمودي على المنطقة H وعلى المستويين المعينين P وQ (محور S/H متعامد مع الأثرين P h وQ h). نحن نبني آثار P s و Q s. المسافة بينهما (انظر الشكل 164، ج) تساوي المسافة المطلوبة l بين المستويين P و Q.

في التين. 164، g يوضح حركة الطائرات P 1 n Q 1، إلى الموضع P 1 و Q 1، عند الأفق. تبين أن الآثار متعامدة مع المحور السيني. المسافة بين الجبهات الجديدة. آثار P 1ϑ و Q 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

170. بالنظر إلى ABCDEFGH المتوازي (الشكل 165). تحديد المسافات: أ) بين قواعد متوازي السطوح - ل 1؛ ب) بين الوجوه ABFE و DCGH - l 2؛ ج) بين وجوه ADHE وBCGF-l 3.

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط. وفي الهندسة الوصفية، يتم تحديده بيانياً باستخدام الخوارزمية الواردة أدناه.

خوارزمية

1. يتم نقل الخط المستقيم إلى الموضع الذي سيكون فيه موازيًا لأي مستوى إسقاط. ولهذا الغرض، يتم استخدام طرق تحويل الإسقاطات المتعامدة.
2. من نقطة ما يتم رسم عمودي على الخط. يعتمد هذا البناء على نظرية إسقاط الزاوية القائمة.
3. يتم تحديد طول العمودي عن طريق تحويل إسقاطاته أو باستخدام طريقة المثلث القائم.

يوضح الشكل التالي رسمًا معقدًا للنقطة M والخط b، محددين بالمقطع CD. تحتاج إلى العثور على المسافة بينهما.

وفقًا للخوارزمية، أول شيء يجب فعله هو نقل الخط إلى موضع موازٍ لمستوى الإسقاط. من المهم أن نفهم أنه بعد إجراء التحويلات، يجب ألا تتغير المسافة الفعلية بين النقطة والخط. ولهذا السبب من الملائم هنا استخدام طريقة استبدال المستوى، والتي لا تتضمن تحريك الأشكال في الفضاء.

نتائج المرحلة الأولى من البناء مبينة أدناه. يوضح الشكل كيفية إدخال مستوى أمامي إضافي P 4 بالتوازي مع b. في النظام الجديد (P 1، P 4)، النقاط C"" 1، D"" 1، M"" 1 تقع على نفس المسافة من المحور X 1 مثل C""، D""، M"" من المحور X

تنفيذ الجزء الثاني من الخوارزمية، من M"" 1 نقوم بخفض العمودي M"" 1 N"" 1 إلى الخط المستقيم b"" 1، حيث يتم عرض الزاوية اليمنى MND بين b وMN على المستوى P 4 بالحجم الكامل. باستخدام خط الاتصال، نحدد موضع النقطة N" وننفذ الإسقاط M"N" للقطعة MN.

في المرحلة النهائية، تحتاج إلى تحديد حجم الجزء MN من إسقاطاته M"N" وM"" 1 N"" 1. للقيام بذلك، نقوم ببناء مثلث قائم الزاوية M"" 1 N"" 1 N 0، وساقه N"" 1 N 0 تساوي الفرق (Y M 1 – Y N 1) بين مسافة النقطتين M" و N" من المحور X1. طول الوتر M"" 1 N 0 للمثلث M"" 1 N"" 1 N 0 يتوافق مع المسافة المطلوبة من M إلى b.

الحل الثاني

• بالتوازي مع القرص المضغوط، نقدم مستوى أمامي جديد P 4. فهو يتقاطع مع P 1 على طول المحور X 1، وX 1 ∥C"D". وفقًا لطريقة استبدال الطائرات، نحدد إسقاطات النقاط C"" 1 و D"" 1 و M"" 1، كما هو موضح في الشكل.
• عموديًا على C"" 1 D"" 1، نقوم ببناء مستوى أفقي إضافي P 5، حيث يتم إسقاط الخط المستقيم b إلى النقطة C" 2 = b" 2.
• يتم تحديد المسافة بين النقطة M والخط b بطول المقطع M"2 C" 2، المشار إليه باللون الأحمر.

مهام مماثلة:

هذه المقالة تتحدث عن الموضوع « المسافة من نقطة إلى خط », يناقش تعريف المسافة من نقطة إلى خط مع أمثلة توضيحية باستخدام طريقة الإحداثيات. أظهرت كل كتلة نظرية في النهاية أمثلة لحل مشكلات مماثلة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

يتم العثور على المسافة من نقطة إلى خط عن طريق تحديد المسافة من نقطة إلى أخرى. دعونا نلقي نظرة فاحصة.

يجب أن يكون هناك خط a ونقطة M 1 لا تنتمي إلى الخط المحدد. من خلاله نرسم خطًا مستقيمًا ب، يقع بشكل عمودي على الخط المستقيم أ. لنأخذ نقطة تقاطع الخطوط كـ H 1. نحصل على أن M 1 H 1 هو خط عمودي تم إنزاله من النقطة M 1 إلى الخط المستقيم a.

التعريف 1

المسافة من النقطة م 1 إلى الخط المستقيم أتسمى المسافة بين النقطتين M 1 و H 1.

هناك تعريفات تشمل طول العمودي.

التعريف 2

المسافة من نقطة إلى خطهو طول العمود العمودي المرسوم من نقطة معينة على مستقيم معين.

التعاريف متكافئة. النظر في الشكل أدناه.

ومن المعروف أن المسافة من نقطة إلى خط هي أصغر مسافة ممكنة. دعونا ننظر إلى هذا مع مثال.

إذا أخذنا نقطة Q ملقاة على خط مستقيم أ، والتي لا تتزامن مع النقطة M 1، فإننا نحصل على أن المقطع M 1 Q يسمى مقطعًا مائلًا، تم تخفيضه من M 1 إلى خط مستقيم أ. ومن الضروري الإشارة إلى أن العمودي من النقطة م 1 أقل من أي خط مائل آخر مرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم.

لإثبات ذلك، خذ بعين الاعتبار المثلث M 1 Q 1 H 1، حيث M 1 Q 1 هو الوتر. ومن المعروف أن طوله دائمًا أكبر من طول أي من أرجله. هذا يعني أن لدينا M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

تتيح لك البيانات الأولية للبحث من نقطة إلى خط استخدام عدة طرق للحل: من خلال نظرية فيثاغورس وتحديد الجيب وجيب التمام وظل الزاوية وغيرها. يتم حل معظم المهام من هذا النوع في المدرسة أثناء دروس الهندسة.

عندما يكون من الممكن، عند إيجاد المسافة من نقطة إلى خط، إدخال نظام إحداثيات مستطيل، يتم استخدام طريقة الإحداثيات. في هذه الفقرة، سننظر في الطريقتين الرئيسيتين لإيجاد المسافة المطلوبة من نقطة معينة.

تتضمن الطريقة الأولى البحث عن المسافة بشكل عمودي مرسوم من M 1 إلى الخط المستقيم a. الطريقة الثانية تستخدم المعادلة العادية للخط المستقيم a لإيجاد المسافة المطلوبة.

إذا كانت هناك نقطة على المستوى بإحداثيات M 1 (x 1 , y 1) تقع في نظام إحداثيات مستطيل، خط مستقيم a، وتحتاج إلى العثور على المسافة M 1 H 1، يمكنك إجراء الحساب مرتين طرق. دعونا ننظر إليهم.

الطريقة الأولى

إذا كانت هناك إحداثيات للنقطة H 1 تساوي x 2, y 2، فسيتم حساب المسافة من النقطة إلى الخط باستخدام الإحداثيات من الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) - ذ1)2.

الآن دعنا ننتقل إلى إيجاد إحداثيات النقطة H 1.

ومن المعروف أن الخط المستقيم في O x y يتوافق مع معادلة الخط المستقيم على المستوى. لنأخذ طريقة تعريف الخط المستقيم أ عن طريق كتابة معادلة عامة لخط مستقيم أو معادلة ذات معامل زاوية. نؤلف معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 عموديًا على خط مستقيم معين a. دعنا نشير إلى الخط المستقيم بالحرف ب. H 1 هي نقطة تقاطع الخطين a و b، مما يعني أنه لتحديد الإحداثيات تحتاج إلى استخدام المقالة التي تتناول إحداثيات نقاط تقاطع الخطين.

يمكن ملاحظة أن خوارزمية العثور على المسافة من نقطة معينة M 1 (x 1، y 1) إلى الخط المستقيم a يتم تنفيذها وفقًا للنقاط:

التعريف 3

• إيجاد المعادلة العامة لخط مستقيم أ، لها الصيغة A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، أو معادلة ذات معامل زاوي، لها الصيغة y = k 1 x + b 1؛
• الحصول على معادلة عامة للخط b، لها الصيغة A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 أو معادلة ذات معامل زاوي y = k 2 x + b 2، إذا كان الخط b يتقاطع مع النقطة M 1 ويكون عموديًا على سطر معين أ؛
• تحديد إحداثيات x 2, y 2 للنقطة H 1 وهي نقطة تقاطع a و b، ولهذا الغرض يتم حل نظام المعادلات الخطية A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + ب 2 ص + ج 2 = 0 أو ص = ك 1 س + ب 1 ذ = ك 2 س + ب 2 ;
• حساب المسافة المطلوبة من نقطة إلى خط باستخدام الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

الطريقة الثانية

يمكن أن تساعد النظرية في الإجابة على سؤال إيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين على المستوى.

نظرية

يحتوي نظام الإحداثيات المستطيل على نقطة O x y M 1 (x 1, y 1)، والتي يتم من خلالها رسم خط مستقيم إلى المستوى، المعطاة بالمعادلة العادية للمستوى، والتي لها الشكل cos α x + cos β y - p = 0، تساوي القيمة المطلقة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيسر من المعادلة العادية للخط، المحسوبة عند x = x 1، y = y 1، تعني أن M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · ذ١ - ص.

دليل

الخط a يتوافق مع المعادلة العادية للمستوى، التي لها الصيغة cos α x + cos β y - p = 0، ثم n → = (cos α, cos β) يعتبر المتجه العادي للخط a على مسافة من أصل السطر a مع وحدات p . من الضروري عرض كافة البيانات الموجودة في الشكل، وإضافة نقطة بإحداثيات M 1 (x 1, y 1)، حيث يكون متجه نصف القطر للنقطة M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). من الضروري رسم خط مستقيم من نقطة إلى خط مستقيم، والذي نشير إليه بالرمز M 1 H 1 . من الضروري إظهار الإسقاطات M 2 و H 2 للنقطتين M 1 و H 2 على خط مستقيم يمر عبر النقطة O مع متجه اتجاه بالشكل n → = (cos α، cos β)، والإشارة إلى الإسقاط العددي للمتجه كـ O M 1 → = (x 1, y 1) في الاتجاه n → = (cos α , cos β) كـ n p n → O M 1 → .

تعتمد الاختلافات على موقع النقطة M1 نفسها. دعونا ننظر إلى الشكل أدناه.

نقوم بإصلاح النتائج باستخدام الصيغة M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. ثم نجلب المساواة إلى هذه الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p من أجل الحصول على n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

ينتج عن المنتج القياسي للمتجهات صيغة محولة من الشكل n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ، وهو منتج في شكل إحداثي بالشكل n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . هذا يعني أننا حصلنا على n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . ويترتب على ذلك أن M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. لقد تم إثبات النظرية.

نجد أنه للعثور على المسافة من النقطة M 1 (x 1 , y 1) إلى الخط المستقيم a على المستوى، عليك القيام بعدة إجراءات:

التعريف 4

• الحصول على المعادلة العادية للخط المستقيم a cos α · x + cos β · y - p = 0، بشرط ألا يكون في المهمة؛
• حساب التعبير cos α · x 1 + cos β · y 1 - p، حيث تأخذ القيمة الناتجة M 1 H 1.

دعونا نطبق هذه الطرق لحل المسائل المتعلقة بإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.

مثال 1

أوجد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 1, 2) إلى الخط المستقيم 4 x - 3 y + 35 = 0.

حل

دعونا نستخدم الطريقة الأولى للحل.

للقيام بذلك، من الضروري إيجاد المعادلة العامة للخط b، الذي يمر بنقطة معينة M 1 (- 1، 2)، عموديًا على الخط 4 x - 3 y + 35 = 0. يتضح من الشرط أن الخط b عمودي على الخط a، فإن متجه اتجاهه له إحداثيات تساوي (4، - 3). وبالتالي، لدينا الفرصة لكتابة المعادلة القانونية للخط b على المستوى، حيث توجد إحداثيات النقطة M 1، التي تنتمي إلى الخط b. دعونا نحدد إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم ب. نحصل على x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. يجب تحويل المعادلة القانونية الناتجة إلى معادلة عامة. ثم حصلنا على ذلك

س + 1 4 = ص - 2 - 3 ⇔ - 3 · (س + 1) = 4 · (ص - 2) ⇔ 3 س + 4 ص - 5 = 0

دعونا نجد إحداثيات نقاط تقاطع الخطوط، والتي سنأخذها كتسمية H 1. تبدو التحولات كما يلي:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 ص - 5 = 0 ⇔ ⇔ س = 3 4 ص - 35 4 ص = 5 ⇔ س = 3 4 5 - 35 4 ص = 5 ⇔ س = - 5 ص = 5

ومما كتب أعلاه يتبين لنا أن إحداثيات النقطة H 1 تساوي (- 5; 5).

من الضروري حساب المسافة من النقطة M 1 إلى الخط المستقيم أ. لدينا إحداثيات النقطتين M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5)، ثم نعوض بهما في الصيغة لإيجاد المسافة ونحصل على ذلك

م 1 ح 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

الحل الثاني.

من أجل الحل بطريقة أخرى، من الضروري الحصول على المعادلة العادية للخط. نحسب قيمة عامل التطبيع ونضرب طرفي المعادلة 4 x - 3 y + 35 = 0. من هنا نحصل على أن عامل التطبيع يساوي - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5، والمعادلة العادية ستكون على الصورة - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 س + 3 5 ص - 7 = 0 .

وفقا لخوارزمية الحساب، من الضروري الحصول على المعادلة العادية للخط وحسابها بالقيم x = - 1، y = 2. ثم حصلنا على ذلك

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

من هذا نحصل على أن المسافة من النقطة M 1 (- 1, 2) إلى الخط المستقيم المعطى 4 x - 3 y + 35 = 0 لها القيمة - 5 = 5.

إجابة: 5 .

يمكن ملاحظة أنه من المهم في هذه الطريقة استخدام المعادلة العادية للخط، لأن هذه الطريقة هي الأقصر. لكن الطريقة الأولى ملائمة لأنها متسقة ومنطقية، على الرغم من أنها تحتوي على نقاط حسابية أكثر.

مثال 2

يوجد على المستوى نظام إحداثيات مستطيل O x y مع النقطة M 1 (8, 0) والخط المستقيم y = 1 2 x + 1. أوجد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم.

حل

تتضمن الطريقة الأولى اختزال معادلة معينة ذات معامل زاوي إلى معادلة عامة. للتبسيط، يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف.

إذا كان حاصل ضرب المعاملات الزاوية للخطوط المتعامدة له قيمة - 1، فإن المعامل الزاوي لخط عمودي على واحد محدد y = 1 2 x + 1 له قيمة 2. الآن نحصل على معادلة الخط الذي يمر بنقطة إحداثياتها M 1 (8، 0). لدينا y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ننتقل إلى إيجاد إحداثيات النقطة H 1، أي نقاط التقاطع y = - 2 x + 16 و y = 1 2 x + 1. نؤلف نظام المعادلات ونحصل على:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 س = 6 = ص = 4 س = 6 ⇒ ح 1 (6، 4)

ويترتب على ذلك أن المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (8, 0) إلى الخط المستقيم y = 1 2 x + 1 تساوي المسافة من نقطة البداية ونقطة النهاية ذات الإحداثيات M 1 (8, 0) و ح ١ (٦، ٤) . لنحسب ونجد أن M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

الحل في الطريقة الثانية هو الانتقال من معادلة ذات معامل إلى صورتها الطبيعية. أي أننا حصلنا على y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0، وستكون قيمة عامل التطبيع - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. يترتب على ذلك أن المعادلة العادية للخط تأخذ الصورة - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. لنجري العملية الحسابية من النقطة M 1 8, 0 إلى خط النموذج - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. نحن نحصل:

م 1 ح 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

إجابة: 2 5 .

مثال 3

من الضروري حساب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 2, 4) إلى الخطوط 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0.

حل

نحصل على معادلة الصورة العادية للخط المستقيم 2 س - 3 = 0:

2 س - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 س - 3 = 1 2 0 ⇔ س - 3 2 = 0

ثم ننتقل إلى حساب المسافة من النقطة M 1 - 2, 4 إلى الخط المستقيم x - 3 2 = 0. نحن نحصل:

م 1 ح 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادلة الخط المستقيم y + 1 = 0 لها عامل تسوية بقيمة تساوي -1. وهذا يعني أن المعادلة سوف تأخذ الشكل - ص - 1 = 0. ننتقل إلى حساب المسافة من النقطة M 1 (- 2, 4) إلى الخط المستقيم - y - 1 = 0. نجد أنها تساوي -4 - 1 = 5.

إجابة: 3 1 2 و 5.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على إيجاد المسافة من نقطة معينة على المستوى إلى محوري الإحداثيات O x وO y.

في نظام الإحداثيات المستطيل، يكون للمحور O y معادلة خط مستقيم، وهي غير مكتملة ولها الشكل x = 0، وO x - y = 0. المعادلات عادية بالنسبة لمحاور الإحداثيات، فمن الضروري إيجاد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 x 1, y 1 إلى الخطوط. يتم ذلك بناءً على الصيغ M 1 H 1 = x 1 وM 1 H 1 = y 1. دعونا ننظر إلى الشكل أدناه.

مثال 4

أوجد المسافة من النقطة M 1 (6, - 7) إلى خطوط الإحداثيات الموجودة في المستوى O x y.

حل

بما أن المعادلة y = 0 تشير إلى الخط المستقيم O x، يمكنك إيجاد المسافة من M 1 بإحداثيات معينة لهذا الخط المستقيم باستخدام الصيغة. نحصل على 6=6

بما أن المعادلة x = 0 تشير إلى الخط المستقيم O y، يمكنك إيجاد المسافة من M 1 إلى هذا الخط المستقيم باستخدام الصيغة. ثم نحصل على ذلك - 7 = 7.

إجابة:المسافة من M 1 إلى O x لها قيمة 6، ومن M 1 إلى O y لها قيمة 7.

عندما يكون لدينا في الفضاء ثلاثي الأبعاد نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1)، فمن الضروري إيجاد المسافة من النقطة A إلى الخط المستقيم a.

دعونا نفكر في طريقتين تسمحان لك بحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم يقع في الفضاء. الحالة الأولى تنظر في المسافة من النقطة م 1 إلى الخط، حيث تسمى نقطة على الخط ح 1 وهي قاعدة عمودي مرسوم من النقطة م 1 إلى الخط أ. الحالة الثانية تشير إلى أنه يجب البحث عن نقاط هذا المستوى باعتبارها ارتفاع متوازي الأضلاع.

الطريقة الأولى

ومن التعريف نجد أن المسافة من النقطة M 1 الواقعة على الخط المستقيم a هي طول المتعامد M 1 H 1، ثم نحصل على ذلك بالإحداثيات الموجودة للنقطة H 1، ثم نجد المسافة بين M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) و H 1 (x 1 , y 1 , z 1) ، بناءً على الصيغة M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

نجد أن الحل كله يتجه نحو إيجاد إحداثيات قاعدة العمود المرسوم من M 1 على الخط المستقيم a. ويتم ذلك على النحو التالي: H 1 هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم a مع المستوى الذي يمر عبر النقطة المحددة.

هذا يعني أن خوارزمية تحديد المسافة من النقطة M 1 (x 1, y 1, z 1) إلى الخط a في الفضاء تتضمن عدة نقاط:

التعريف 5

• رسم معادلة المستوى χ كمعادلة للمستوى الذي يمر عبر نقطة معينة تقع بشكل عمودي على الخط؛
• تحديد الإحداثيات (x 2, y 2, z 2) التابعة للنقطة H 1، وهي نقطة تقاطع الخط المستقيم a والمستوى χ؛
• حساب المسافة من نقطة إلى خط باستخدام الصيغة M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

الطريقة الثانية

من الشرط لدينا خط مستقيم a، ثم يمكننا تحديد متجه الاتجاه a → = a x، a y، a z بإحداثيات x 3، y 3، z 3 ونقطة معينة M 3 تنتمي إلى المستقيم a. إذا كانت لديك إحداثيات النقطتين M 1 (x 1, y 1) و M 3 x 3, y 3, z 3، فيمكنك حساب M 3 M 1 →:

م 3 م 1 → = (س 1 - س 3، ص 1 - ص 3، ض 1 - ض 3)

يجب أن نضع جانبا المتجهات a → = a x , a y , a z و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 من النقطة M 3 , قم بتوصيلهم والحصول على شكل متوازي الأضلاع . M 1 H 1 هو ارتفاع متوازي الأضلاع.

دعونا ننظر إلى الشكل أدناه.

لدينا أن الارتفاع M 1 H 1 هو المسافة المطلوبة، ومن الضروري إيجادها باستخدام الصيغة. أي أننا نبحث عن M1H1.

دعونا نشير إلى مساحة متوازي الأضلاع بالحرف S، الذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة باستخدام المتجه a → = (a x, a y, a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3. ص 1 - ص 3، ض 1 - ض 3. صيغة المساحة هي S = a → × M 3 M 1 → . كما أن مساحة الشكل تساوي حاصل ضرب أطوال أضلاعه والارتفاع، نحصل على أن S = a → · M 1 H 1 مع → = a x 2 + a y 2 + a z 2، والتي هو طول المتجه a → = (a x, a y, a z)، وهو يساوي جانب متوازي الأضلاع. وهذا يعني أن M 1 H 1 هي المسافة من النقطة إلى الخط. تم العثور عليه باستخدام الصيغة M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

للعثور على المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى خط مستقيم a في الفضاء، تحتاج إلى تنفيذ عدة خطوات من الخوارزمية:

التعريف 6

• تحديد متجه الاتجاه للخط المستقيم a - a → = (a x, a y, a z);
• حساب طول متجه الاتجاه a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• الحصول على الإحداثيات x 3 , y 3 , z 3 التابعة للنقطة M 3 الواقعة على الخط المستقيم a ؛
• حساب إحداثيات المتجه M 3 M 1 → ;
• إيجاد حاصل الضرب المتجه للمتجهات a → (a x , a y , a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 كـ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 للحصول على الطول باستخدام الصيغة a → × M 3 M 1 → ;
• حساب المسافة من نقطة إلى خط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

حل مسائل إيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط معين في الفضاء

مثال 5

أوجد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 2, - 4, - 1 إلى الخط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

حل

تبدأ الطريقة الأولى بكتابة معادلة المستوى χ الذي يمر عبر M 1 والمتعامد على نقطة معينة. نحصل على تعبير مثل:

2 (س - 2) - 1 (ص - (- 4)) + 5 (ض - (- 1)) = 0 ⇔ 2 س - ص + 5 ض - 3 = 0

من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة H 1، وهي نقطة التقاطع مع المستوى χ للخط المحدد بالشرط. يجب عليك الانتقال من العرض الأساسي إلى العرض المتقاطع. ثم نحصل على نظام المعادلات من الشكل:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

من الضروري حساب النظام x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 بطريقة كريمر فنحصل على ما يلي:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

من هنا لدينا H 1 (1، - 1، 0).

م 1 ح 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

الطريقة الثانية يجب أن تبدأ بالبحث عن الإحداثيات في المعادلة القانونية. للقيام بذلك، عليك أن تنتبه إلى مقامات الكسر. إذن a → = 2, - 1, 5 هو متجه الاتجاه للخط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. من الضروري حساب الطول باستخدام الصيغة a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

من الواضح أن الخط المستقيم x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 يتقاطع مع النقطة M 3 (- 1 , 0 , - 5) ومن هنا يكون لدينا المتجه ذو الأصل M 3 (- 1 , 0 , - 5) ونهايتها عند النقطة M 1 2, - 4, - 1 هي M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. أوجد حاصل الضرب المتجه a → = (2, - 1, 5) و M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

نحصل على تعبير بالصيغة a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · ي → = 16 · ط → + 7 · ي → - 5 · ك →

نجد أن طول حاصل الضرب المتجه يساوي a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

لدينا جميع البيانات اللازمة لاستخدام الصيغة لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم، لذلك دعونا نطبقها ونحصل على:

م 1 ح 1 = أ → × م 3 م 1 → أ → = 330 30 = 11

إجابة: 11 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter