Какие геометрические признаки характеризуют многогранники. Что такое многогранник? III. Задание на дом

Многогранниками называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, назы­ваемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранники делятся на: выпуклые и невыпуклые.

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.

Выпуклые многогранники делятся на : правильные и неправильные.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

Он выпуклый;

Все его грани являются равными правильными многоугольниками;

В каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным , если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентнымимежду собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.
Сколько же существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Существует 5 правильных многогранников:

Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Т.о., тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Куб – составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°. Т.о., куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Октаэдр – составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Т.о., октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр – составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Т.о., икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Додекаэдр – составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Т.о., додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники также называются платоновыми телами . Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 «земными» стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «наземным» элементом – небом (додекаэдр).

Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников – теорема, устанавливающая связь между числами вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере:

«Сумма числа граней и вершин = числу ребер, увеличенному на 2» - Г+В=Р+2 (данная формула верна для любых выпуклых многогранников).

Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; В = 2P/m.

По теореме Эйлера, В - Р + Г = 2 и, следовательно, 2P/m-P+2P/n=2

Откуда Р = 2nm/(2n+2m-nm).

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m , удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

n m
	B=4, Р=6, Г=4 тетраэдр	В=6, Р=12, Г=8 октаэдр	В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
	В=8, Р=12, Г=4 куб	Не существует	Не существует
	В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр	Не существует	Не существует

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.
Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр).

Анализ учебных планов и программ по математике

Школьным учебным планом на изучение математики с 1 по 11 класс отводится около 2000 учебных часов. Дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факультативных курсов (8-11 классы).

Нормативным, обязательным для выполнения документом, определяющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобретаемых умений и навыков, явл. учебная программа.

Учебная программа школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает преемственность получаемой учащимися подготовки в 1-3 классах (нач. школа), 5-9 классах, 10-11 классах.

Учащиеся, которые после окончания девятилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессиональнотехнических училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобраз. школу. Т.о., все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.

Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.

"Ядро" современной программы по математике составляют:

1. Числовые системы. 2. Величины.

3. Уравнения и неравенства. 4. Тождественные преобразования математических выражений.
5. Координаты. 6. Функции.
7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования. 8. Векторы.
9. Начала математического анализа. 10. Основы информатики и вычислительной техники.

Каждый из вошедших в это "ядро" разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возрастном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы.

Раздел "Числовые системы" изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже давно. Но с течением времени происходило снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В наст время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела - "Комплексные числа".

Изучение величин в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.

Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.

Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.

Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.

Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями. Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение включение в курс геометрических преобразований.

Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание. Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решений только на основе глубокого анализа и учета результатов школьного преподавания.

Элементы математического анализа вошли в программу общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой прикладной значимостью.

Раздел основы информатики и вычислительной техники отражает требования, предъявляемые к современной математической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику ЭВМ.

Трёхгранные и многогранные углы:
Трёхгранным углом называется фигура
образованная тремя плоскостями, ограниченными тремя лучами, исходящими из
одной точки и не лежащей в одной
плоскости.
Рассмотрим какой-нибудь плоский
многоугольник и точку лежащую вне
плоскости этого многоугольника.
Проведём из этой точки лучи,
проходящие через вершины
многоугольника. Мы получим фигуру,
которая называется многогранным
углом.

Трёхгранный угол - это часть пространства,
ограниченная тремя плоскими углами с общей
вершиной
и
попарно
общими
сторонами,
не
лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих
углов
называется
вершиной
трёхгранного
угла.
Стороны углов называются рёбрами, плоские углы
при вершине трёхгранного угла называются его
гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла
образует двугранный угол

Основные свойства трехгранного угла
1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы
двух других его плоских углов.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - плоские углы,
A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями
углов β и γ, α и γ, α и β.
2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше
360 градусов
3. Первая теорема косинусов
для трёхгранного угла
4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла

,
5. Теорема синусов
Многогранный угол, внутренняя область которого
расположена по одну сторону от плоскости каждой из
его граней, называется выпуклым многогранным
углом. В противном случае многогранный угол
называется невыпуклым.

Многогранник- это тело, поверхность
которого состоит из конечного числа
плоских многоугольников.

Элементы многогранника
Грани многогранника - это
многоугольники, которые его
образуют.
Ребра многогранника - это стороны
многоугольников.
Вершины многогранника - это
вершины многоугольника.
Диагональ многогранника - это
отрезок, соединяющий 2 вершины,
не принадлежащие одной грани.

Многогранники
выпуклый
невыпуклый

Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону
плоскости каждого многоугольника на его
поверхности.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой
фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и
соединяющий их отрезок.
На рисунке приведены примеры
выпуклого
и
невыпуклого
многогранных углов.
Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой,
т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий
их отрезок.
Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми
многогранниками.
На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.

СВОЙСТВО 1

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются
выпуклыми многоугольниками.
Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника
M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости
многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится
в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости
многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом
многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.

СВОЙСТВО 2

Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из
пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность
многогранника.
Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь
внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не
принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с
вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости
многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с
вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти
пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

Правильные многогранники

Если грани многогранника являются
правильными многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в каждой вершине
многогранника сходится одно и то же число
ребер, то выпуклый многогранник
называется правильным.

Названия многогранников

пришли из Древней Греции,
в них указывается число граней:
«эдра» грань;
«тетра» 4;
«гекса» 6;
«окта» 8;
«икоса» 20;
«додека» 12.

Правильный тетраэдр

Рис. 1
Составлен из четырёх
равносторонних
треугольников. Каждая
его вершина является
вершиной трёх
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
180º.

Правильный октаэдр
Рис. 2
Составлен из восьми
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина октаэдра
является вершиной
четырёх треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине 240º.

Правильный икосаэдр
Рис. 3
Составлен из двадцати
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина икосаэдра
является вершиной пяти
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
300º.

Куб (гексаэдр)

Рис.
4
Составлен из шести
квадратов. Каждая
вершина куба является
вершиной трёх квадратов.
Следовательно, сумма
плоских углов при каждой
вершине равна 270º.

Правильный додекаэдр
Рис. 5
Составлен из двенадцати
правильных
пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра
является вершиной трёх
правильных
пятиугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
324º.

Таблица № 1
Правильный
многогранник
Число
граней
вершин
рёбер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30

Формула Эйлера
Сумма числа граней и вершин любого
многогранника
равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г+В=Р+2
Число граней плюс число вершин минус число
рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г+В Р=2

Таблица № 2
Число
Правильный
многогранник
Тетраэдр
граней и
вершин
(Г + В)
рёбер
(Р)
4+4=8
6
«тетра» 4;
Куб
6 + 8 = 14
12
«гекса»
6;
Октаэдр
8 + 6 = 14
12
«окта»
Додекаэдр
12 + 20 = 32
30
додека»
12.
30
«икоса»
20
Икосаэдр
20 + 12 = 32
8

Двойственность правильных многогранников

Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют
двойственную пару многогранников. Число
граней одного многогранника равно числу
вершин другого и наоборот.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с
вершинами в центрах его граней. Как нетрудно
убедиться, получим октаэдр.

Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

Многогранники в природе, химии и биологии
Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
Кристалл
пирита-
природная
модель
додекаэдр.
Кристаллы
поваренной
соли передают
форму куб.
Монокристалл
Сурьменистый
Хрусталь
алюминиевосернокислый
(призма)
калиевых квасцов натрий – тетраэдра.
имеет форму
октаэдра.
В молекуле
метана имеет
форму
правильного
тетраэдра.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы
вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы
установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет
под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один
многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем
октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец,
самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет
собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

Многогранники в искусстве
«Портрет Монны Лизы»
Композиция рисунка основана на золотых
треугольниках, являющихся частями
правильного звездчатого пятиугольника.
гравюра «Меланхолия»
На переднем плане картины
изображен додекаэдр.
«Тайная Вечеря»
Христос со своими учениками изображён на
фоне огромного прозрачного додекаэдр.

Многогранники в архитектуре
Музеи Плодов
Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью
трехмерного моделирования.
Пирамиды
Александрийский маяк
Спасская башня
Кремля.
Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса
Нерукотворного - главный въезд в Казанский кремль.
Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном
Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию
«Барма». Четыре яруса башни представляют из себя
куб, многогранники и пирамиду.

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
2. имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

• Конгруэнтные основания.
• Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
• Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
3. Все межгранные углы равны 90.
4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Многогранник - тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника.По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани,называется диагональю многогранника.

История открытия многогранника уходит корнями в древние времена. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне .

Многогранник является пространственной фигурой (пространственным телом).Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранники изучаются в разделе стереометрия. Раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять .

Примерами многогранников являются:

Куб - многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет 12 ребер, 6 граней, 8 вершин .

Параллелепипед - многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов.Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника, вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани .

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого грани- прямоугольники.Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения .

Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники .

Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям .

Призма - многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.Многоугольники, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы .

Прямая призма - называется, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.Боковыми гранями являются прямоугольники.Боковое ребро прямой призмы является её высотой .

Правильная призма - прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники .

Пирамида - многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Правильная пирамида - пирамида, в основании которой правильный многоугольник и все боковые рёбра которой равны . Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой .

Тела Платона - многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково. К ним относятся:

Тетраэдр(огонь) - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников .

Октаэдр(воздух) - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной двойственной пирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.Октаэдр - трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр .

Гексаэдр(земля) - правильный шестигранник. Это куб, состоящий из шести равных квадратов .

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра) .

Икосаэдр(вода) - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм .

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторонуот плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр - выпуклые многогранники.Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Легко можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° .

Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В - количество вершин многогранника, Г - количество граней, Р - количество рёбер.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Так же многогранник делится на правильный и не правильный. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Правильные многогранники известны с древнейших времён.В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Существует и полуправильные многогранники - в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся, архимедовы тела.

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) - это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами).Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам .

Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (Платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами .

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера - Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера - Пуансо .

Полуправильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон .

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки - это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

Свойства многогранников:

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти .

Не все перечисленные виды многогранников изучаются и применяются в начальной школе. Чаще всего ученики на уроках математики знакомятся с кубом, многоугольником, пирамидой, цилиндром, параллелепипедом. Примером авторов учебников являются ИстоминаА.И. 3 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. 3 класс, Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 класс; так же начинают, знакомятся во 2 классе это пример учебников Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. 2 класс.

Таким образом, рассмотрели понятия многогранника и его свойства. Перечислили виды многогранника. Ознакомились с историей открытия многогранника. Установили, что многогранники имеют большое значение в природе и для человека. Так, например, многогранники применяются в конструировании.