Pravila za rješavanje nejednadžbi s modulom. Nejednadžbe s modulom. Novi pogled na rješenje

Postoji nekoliko načina za rješavanje nejednadžbi koje sadrže modul. Pogledajmo neke od njih.

1) Rješavanje nejednadžbe korištenjem geometrijskog svojstva modula.

Da vas podsjetim koje je geometrijsko svojstvo modula: modul broja x je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom x.

Prilikom rješavanja nejednakosti ovom metodom mogu se pojaviti dva slučaja:

1. |x| ≤ b,

A nejednadžba s modulom očito se svodi na sustav dviju nejednadžbi. Ovdje znak može biti strog, u kojem slučaju će točke na slici biti "probušene".

2. |x| ≥ b, tada slika rješenja izgleda ovako:

A nejednadžba s modulom očito se svodi na kombinaciju dviju nejednakosti. Ovdje znak može biti strog, u kojem slučaju će točke na slici biti "probušene".

Primjer 1.

Riješite nejednadžbu |4 – |x|| ≥ 3.

Riješenje.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem skupu:

U [-1;1] U

Primjer 2.

Riješite nejednadžbu ||x+2| – 3| ≤ 2.

Riješenje.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem sustavu.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Riješimo zasebno prvu nejednadžbu sustava. Ekvivalentan je sljedećem skupu:

U[-1; 3].

2) Rješavanje nejednadžbi pomoću definicije modula.

Prvo da vas podsjetim definicija modula.

|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako je a< 0.

Na primjer, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Primjer 1.

Riješite nejednadžbu 3|x – 1| ≤ x+3.

Riješenje.

Korištenjem definicije modula dobivamo dva sustava:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Rješavajući odvojeno prvi i drugi sustav, dobivamo:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Rješenje izvorne nejednadžbe bit će sva rješenja prvog sustava i sva rješenja drugog sustava.

Odgovor: x € .

3) Rješavanje nejednadžbi kvadriranjem.

Primjer 1.

Riješite nejednadžbu |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Riješenje.

Kvadriramo obje strane nejednadžbe. Dopustite mi da primijetim da možete kvadrirati obje strane nejednakosti samo ako su obje pozitivne. U ovom slučaju imamo module i lijevo i desno, tako da možemo to učiniti.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Iskoristimo sada sljedeće svojstvo modula: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Rješavamo metodom intervala.

Odgovor: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Rješavanje nejednadžbi promjenom varijabli.

Primjer.

Riješite nejednadžbu (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Riješenje.

Primijetite da je (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Tada dobivamo nejednakost

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Napravimo promjenu y = |2x + 3|.

Prepišimo našu nejednakost uzimajući u obzir zamjenu.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Faktorizirajmo kvadratni trinom s lijeve strane.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Rješavajmo metodom intervala i dobijemo:

Vratimo se na zamjenu:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ova dvostruka nejednakost je ekvivalentna sustavu nejednakosti:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Riješimo svaku od nejednadžbi zasebno.

Prvi je ekvivalentan sustavu

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Idemo to riješiti.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Druga nejednakost očito vrijedi za sve x, budući da je modul, po definiciji, pozitivan broj. Budući da su rješenje sustava svi x koji istovremeno zadovoljavaju i prvu i drugu nejednadžbu sustava, tada će rješenje izvornog sustava biti rješenje njegove prve dvostruke nejednadžbe (uostalom, druga je istinita za sve x) .

Odgovor: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Matematika je simbol mudrosti znanosti,

uzor znanstvene strogosti i jednostavnosti,

standard izvrsnosti i ljepote u znanosti.

Ruski filozof, profesor A.V. Vološinov

Nejednadžbe s modulom

Najteži problemi za rješavanje u školskoj matematici su nejednadžbe, koji sadrži varijable pod znakom modula. Da biste uspješno riješili takve nejednakosti, morate dobro poznavati svojstva modula i imati vještine za njihovo korištenje.

Osnovni pojmovi i svojstva

Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja označen sa i definira se na sljedeći način:

Jednostavna svojstva modula uključuju sljedeće odnose:

I .

Bilješka, da posljednja dva svojstva vrijede za svaki parni stupanj.

Štoviše, ako, gdje, onda i

Složenija svojstva modula, koji se mogu učinkovito koristiti pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi s modulima, formulirani su kroz sljedeće teoreme:

Teorem 1.Za sve analitičke funkcije I nejednakost je istinita.

Teorem 2. Jednakost ravno nejednakosti.

Teorem 3. Jednakost ravno nejednakosti.

Najčešće nejednakosti u školskoj matematici, koji sadrži nepoznate varijable pod znakom modula, su nejednakosti oblika i gdje neka pozitivna konstanta.

Teorem 4. Nejednakost je ekvivalent dvostrukoj nejednakosti, i rješenje nejednadžbesvodi na rješavanje skupa nejednakosti i .

Ovaj teorem je poseban slučaj teorema 6 i 7.

Složenije nejednadžbe, koji sadrže modul su nejednadžbe oblika, i .

Metode za rješavanje takvih nejednakosti mogu se formulirati pomoću sljedeća tri teorema.

Teorem 5. Nejednakost je ekvivalentan kombinaciji dvaju sustava nejednakosti

ja (1)

Dokaz. Od tad

Ovo implicira valjanost (1).

Teorem 6. Nejednakost je ekvivalentan sustavu nejednakosti

Dokaz. jer, zatim iz nejednakosti slijedi to . Pod ovim uvjetom, nejednakostte će se u tom slučaju drugi sustav nejednakosti (1) pokazati nedosljednim.

Teorem je dokazan.

Teorem 7. Nejednakost ekvivalentan je kombinaciji jedne nejednakosti i dva sustava nejednakosti

ja (3)

Dokaz. Od , Tada je nejednakost uvijek izvršena, Ako .

Neka, zatim nejednakostbit će ekvivalent nejednakosti, iz čega slijedi skup dviju nejednakosti i .

Teorem je dokazan.

Pogledajmo tipične primjere rješavanja zadataka na temu “Nejednakosti, koji sadrži varijable pod znakom modula."

Rješavanje nejednadžbi s modulom

Najjednostavnija metoda za rješavanje nejednadžbi s modulom je metoda, na temelju proširenja modula. Ova metoda je univerzalna, međutim, u općem slučaju, njegova uporaba može dovesti do vrlo glomaznih izračuna. Stoga bi učenici trebali poznavati druge (učinkovitije) metode i tehnike za rješavanje takvih nejednakosti. Posebno, potrebno je posjedovati vještine u primjeni teorema, dano u ovom članku.

Primjer 1.Riješite nejednadžbu

. (4)

Riješenje.Nejednadžbu (4) ćemo rješavati “klasičnom” metodom – metodom otkrivanja modula. U tu svrhu dijelimo brojevnu os točkice i u intervale i razmotrimo tri slučaja.

1. Ako je , tada , , , a nejednakost (4) ima oblik ili .

Budući da se ovdje razmatra slučaj, to je rješenje nejednadžbe (4).

2. Ako, tada iz nejednakosti (4) dobivamo ili . Budući da sjecište intervala I prazno je, tada na promatranom intervalu rješenja ne postoji nejednadžba (4).

3. Ako, tada nejednakost (4) ima oblik ili . Očito je da također je rješenje nejednadžbe (4).

Odgovor: , .

Primjer 2. Riješite nejednadžbu.

Riješenje. Pretpostavimo da. jer, tada zadana nejednakost poprima oblik ili . Od tad a odavde slijedi ili .

Međutim, dakle ili.

Primjer 3. Riješite nejednadžbu

. (5)

Riješenje. jer, tada je nejednakost (5) ekvivalentna nejednakostima ili . Odavde, prema teoremu 4, imamo skup nejednakosti i .

Odgovor: , .

Primjer 4.Riješite nejednadžbu

. (6)

Riješenje. Označimo . Tada iz nejednadžbe (6) dobivamo nejednadžbe , , ili .

Odavde, metodom intervala, dobivamo . jer, onda ovdje imamo sustav nejednakosti

Rješenje prve nejednadžbe sustava (7) je unija dvaju intervala i , a rješenje druge nejednadžbe je dvostruka nejednadžba. Iz čega slijedi , da je rješenje sustava nejednadžbi (7) unija dvaju intervala i .

Odgovor: ,

Primjer 5.Riješite nejednadžbu

. (8)

Riješenje. Transformirajmo nejednadžbu (8) na sljedeći način:

Ili .

Metodom intervala, dobivamo rješenje nejednadžbe (8).

Odgovor: .

Bilješka. Ako stavimo i u uvjete teorema 5, dobivamo .

Primjer 6. Riješite nejednadžbu

. (9)

Riješenje. Iz nejednakosti (9) slijedi. Transformirajmo nejednadžbu (9) na sljedeći način:

Ili

Od , dakle ili .

Odgovor: .

Primjer 7.Riješite nejednadžbu

. (10)

Riješenje. Od i , tada ili .

S tim u vezi a nejednakost (10) poprima oblik

Ili

. (11)

Iz toga slijedi da ili . Kako je , onda iz nejednakosti (11) također proizlazi ili .

Odgovor: .

Bilješka. Ako teorem 1 primijenimo na lijevu stranu nejednakosti (10), onda dobivamo . Iz ovoga i nejednakosti (10) slijedi, što ili . jer, tada nejednakost (10) ima oblik ili .

Primjer 8. Riješite nejednadžbu

. (12)

Riješenje. Od tad a iz nejednakosti (12) slijedi ili . Međutim, dakle ili. Odavde dobivamo ili .

Odgovor: .

Primjer 9. Riješite nejednadžbu

. (13)

Riješenje. Prema teoremu 7, rješenje nejednadžbe (13) je ili .

Neka bude sada. U ovom slučaju a nejednakost (13) poprima oblik ili .

Ako kombinirate intervale i , tada dobivamo rješenje nejednadžbe (13) oblika.

Primjer 10. Riješite nejednadžbu

. (14)

Riješenje. Prepišimo nejednadžbu (14) u ekvivalentnom obliku: . Ako teorem 1 primijenimo na lijevu stranu ove nejednakosti, dobit ćemo nejednakost .

Odavde i iz teorema 1 slijedi, da je nejednakost (14) zadovoljena za bilo koje vrijednosti.

Odgovor: bilo koji broj.

Primjer 11. Riješite nejednadžbu

. (15)

Riješenje. Primjenom teorema 1 na lijevu stranu nejednadžbe (15), dobivamo . Ovo i nejednadžba (15) daju jednadžbu, koji ima oblik.

Prema teoremu 3, jednadžba ravno nejednakosti. Odavde dobivamo.

Primjer 12.Riješite nejednadžbu

. (16)

Riješenje. Iz nejednadžbe (16) prema teoremu 4 dobivamo sustav nejednadžbi

Prilikom rješavanja nejednadžbeIskoristimo teorem 6 i dobijmo sustav nejednadžbiiz čega slijedi.

Razmotrimo nejednakost. Prema teoremu 7, dobivamo skup nejednakosti i . Druga nejednakost stanovništva vrijedi za svaki real.

Stoga , rješenje nejednadžbe (16) je.

Primjer 13.Riješite nejednadžbu

. (17)

Riješenje. Prema teoremu 1 možemo pisati

(18)

Uzimajući u obzir nejednadžbu (17), zaključujemo da obje nejednadžbe (18) prelaze u jednakosti, tj. postoji sustav jednadžbi

Prema teoremu 3, ovaj sustav jednadžbi je ekvivalentan sustavu nejednadžbi

ili

Primjer 14.Riješite nejednadžbu

. (19)

Riješenje. Od tad. Pomnožimo obje strane nejednakosti (19) s izrazom , koji uzima samo pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost. Tada dobivamo nejednadžbu koja je ekvivalentna nejednadžbi (19), oblika

Odavde dolazimo ili , gdje . Od i tada je rješenje nejednadžbe (19). i .

Odgovor: , .

Za dublje proučavanje metoda za rješavanje nejednakosti s modulom, preporučujemo da se obratite udžbenicima, navedeno u popisu preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike fakultetima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: metode rješavanja i dokazivanja nejednakosti. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 str.

3. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: nestandardne metode rješavanja problema. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 str.

Još uvijek imate pitanja?

Za pomoć od mentora, registrirajte se.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Metode (pravila) za otkrivanje nejednakosti s modulima sastoje se u sekvencijalnom otkrivanju modula, koristeći intervale konstantnog predznaka submodularnih funkcija. U konačnoj verziji dobiva se nekoliko nejednakosti iz kojih se pronalaze intervali ili intervali koji zadovoljavaju uvjete zadatka.

Prijeđimo na rješavanje uobičajenih primjera u praksi.

Linearne nejednadžbe s modulima

Pod linearnim podrazumijevamo jednadžbe u kojima varijabla linearno ulazi u jednadžbu.

Primjer 1. Pronađite rješenje nejednadžbe

Riješenje:
Iz uvjeta zadatka proizlazi da se moduli pretvaraju u nulu pri x=-1 i x=-2. Te točke dijele brojevni pravac na intervale

U svakom od ovih intervala rješavamo zadanu nejednadžbu. Da bismo to učinili, prije svega crtamo grafičke crteže područja konstantnog znaka submodularnih funkcija. Oni su prikazani kao područja sa znakovima svake od funkcija

odnosno intervale s predznacima svih funkcija.

U prvom intervalu širimo module

Pomnožimo obje strane s minus jedan i predznak u nejednadžbi će se promijeniti u suprotan. Ako vam je teško naviknuti se na ovo pravilo, možete pomaknuti svaki od dijelova iza znaka kako biste se riješili minusa. Na kraju ćete dobiti

Sjecište skupa x>-3 s površinom na kojoj su jednadžbe rješavane bit će interval (-3;-2). Za one kojima je lakše pronaći rješenja, možete grafički nacrtati sjecište ovih područja

Rješenje će biti zajedničko sjecište područja. Ako su strogo neravni, rubovi nisu uključeni. Ako nije strogo, provjerite zamjenom.

Na drugom intervalu dobivamo

Presjek će biti interval (-2;-5/3). Grafički će rješenje izgledati ovako

Na trećem intervalu dobivamo

Ovaj uvjet ne pruža rješenja u željenoj regiji.

Budući da dva pronađena rješenja (-3;-2) i (-2;-5/3) graniče s točkom x=-2, provjeravamo i to.

Dakle, točka x=-2 je rješenje. Opće rješenje koje ovo uzima u obzir izgledat će kao (-3;5/3).

Primjer 2. Naći rješenje nejednadžbe
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Riješenje:
Nulte točke submodularnih funkcija bit će točke x=2, x=3, x=4. Za vrijednosti argumenata manje od ovih točaka submodularne funkcije su negativne, a za veće vrijednosti pozitivne.

Točke dijele realnu os u četiri intervala. Proširujemo module prema intervalima konstantnog predznaka i rješavamo nejednadžbe.

1) U prvom intervalu sve submodularne funkcije su negativne, pa kod proširenja modula mijenjamo predznak u suprotan.

Sjecište pronađenih x vrijednosti s razmatranim intervalom bit će skup točaka

2) Na intervalu između točaka x=2 i x=3 prva submodularna funkcija je pozitivna, druga i treća su negativne. Proširujući module, dobivamo

nejednadžba koja kada se presječe s intervalom na kojem rješavamo daje jedno rješenje – x=3.

3) Na intervalu između točaka x=3 i x=4 prva i druga submodularna funkcija su pozitivne, a treća negativna. Na temelju ovoga dobivamo

Ovaj uvjet pokazuje da će cijeli interval zadovoljiti nejednakost s modulima.

4) Za vrijednosti x>4 sve funkcije imaju pozitivne predznake. Kod proširenja modula ne mijenjamo im predznak.

Nađeni uvjet u sjecištu s intervalom daje sljedeći skup rješenja

Budući da je nejednadžba riješena na svim intervalima, ostaje pronaći zajedničku vrijednost svih pronađenih vrijednosti x. Rješenje će biti dva intervala

Ovo zaključuje primjer.

Primjer 3. Pronađite rješenje nejednadžbe
||x-1|-5|>3-2x

Riješenje:
Imamo nejednakost s modulom iz modula. Takve se nejednakosti otkrivaju kako se moduli ugniježđuju, počevši od onih koji se nalaze dublje.

Submodularna funkcija x-1 se pretvara u nulu na x=1. Za manje vrijednosti iznad 1 negativan je i pozitivan za x>1. Na temelju toga proširujemo interni modul i razmatramo nejednakost na svakom od intervala.

Prvo, razmotrite interval od minus beskonačnosti do jedan

Submodularna funkcija je nula pri x=-4 . Pri manjim vrijednostima je pozitivan, pri većim negativan. Proširimo modul za x<-4:

Na raskrižju s područjem koje razmatramo dobivamo skup rješenja

Sljedeći korak je proširenje modula na interval (-4;1)

Uzimajući u obzir područje proširenja modula, dobivamo interval rješenja

ZAPAMTITE: ako u takvim nepravilnostima s modulima dobijete dva intervala koja graniče sa zajedničkom točkom, onda je to u pravilu također rješenje.

Da biste to učinili, samo trebate provjeriti.

U ovom slučaju, zamijenimo točku x=-4.

Dakle, x=-4 je rješenje.
Proširimo interni modul za x>1

Submodularna funkcija negativna za x<6.
Proširujući modul dobivamo

Ovaj uvjet u odsječku s intervalom (1;6) daje prazan skup rješenja.

Za x>6 dobivamo nejednakost

Također rješavajući dobili smo prazan skup.
Uzimajući u obzir sve navedeno, jedino rješenje nejednakosti s modulima bit će sljedeći interval.

Nejednadžbe s modulima koji sadrže kvadratne jednadžbe

Primjer 4. Pronađite rješenje nejednadžbe
|x^2+3x|>=2-x^2

Riješenje:
Submodularna funkcija nestaje u točkama x=0, x=-3. Jednostavna zamjena minus jedan

utvrđujemo da je manji od nule u intervalu (-3;0) i pozitivan izvan njega.
Proširimo modul u područjima gdje je submodularna funkcija pozitivna

Preostaje odrediti područja u kojima je kvadratna funkcija pozitivna. Da bismo to učinili, odredimo korijene kvadratne jednadžbe

Radi praktičnosti, zamjenjujemo točku x=0, koja pripada intervalu (-2;1/2). Funkcija je negativna u ovom intervalu, što znači da će rješenje biti sljedeći skupovi x

Ovdje su rubovi područja s rješenjima označeni zagradama; to je učinjeno namjerno, uzimajući u obzir sljedeće pravilo.

ZAPAMTITE: Ako je nejednadžba s modulima, ili jednostavna nejednadžba stroga, tada rubovi pronađenih površina nisu rješenja, ali ako nejednadžbe nisu stroge (), onda su bridovi rješenja (označeni uglatim zagradama).

Ovo pravilo koriste mnogi učitelji: ako je zadana stroga nejednakost, a tijekom izračuna upišete uglatu zagradu ([,]) u rješenje, oni će to automatski smatrati netočnim odgovorom. Također, prilikom testiranja, ako je dana nestriktna nejednakost s modulima, potražite područja s uglatim zagradama među rješenjima.

Na intervalu (-3;0), proširujući modul, mijenjamo predznak funkcije u suprotan

Uzimajući u obzir područje otkrivanja nejednakosti, rješenje će imati oblik

Zajedno s prethodnim područjem ovo će dati dva poluintervala

Primjer 5. Pronađite rješenje nejednadžbe
9x^2-|x-3|>=9x-2

Riješenje:
Zadana je nestroga nejednadžba čija je submodularna funkcija jednaka nuli u točki x=3. Za manje vrijednosti je negativan, za veće vrijednosti je pozitivan. Proširite modul na interval x<3.

Određivanje diskriminante jednadžbe

i korijenje

Zamjenom nulte točke, saznajemo da je na intervalu [-1/9;1] kvadratna funkcija negativna, stoga je interval rješenje. Zatim širimo modul na x>3

rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji riješenje gotovo svaka dana nejednakost na liniji. Matematički nejednakosti online rješavati matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji. Web stranica www.site omogućuje vam pronalaženje riješenje gotovo svaki dan algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna nejednakost online. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije točan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućuje. Zahvaljujući stranici www.site rješavanje nejednakosti online trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site pri rješavanju matematičkih nejednakosti online- ovo je brzina i točnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koji algebarske nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, transcendentalne nejednakosti online, i nejednakosti s nepoznatim parametrima u modu na liniji. Nejednakosti služe kao snažan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu djelovati zbunjujuće i složeno. Nepoznate količine nejednakosti može se pronaći formuliranjem problema u matematički jezik u obliku nejednakosti I odlučiti primljen zadatak u načinu rada na liniji na web stranici www.site. Bilo koje algebarska nejednakost, trigonometrijska nejednakost ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno značajke koje možete jednostavno odlučiti online i dobiti točan odgovor. Studirajući prirodne znanosti, neizbježno se susrećete s potrebom rješenja nejednadžbi. U tom slučaju odgovor mora biti točan i mora se dobiti odmah u načinu rada na liniji. Stoga za rješavati matematičke nejednakosti online preporučamo stranicu www.site koja će postati vaš nezaobilazan kalkulator za online rješavanje algebarskih nejednakosti, trigonometrijske nejednakosti online, i transcendentalne nejednakosti online ili nejednakosti s nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja online rješenja za razne matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor pomoću online rješavanje nejednakosti na web stranici www.site. Morate pravilno napisati nejednakost i odmah dobiti online rješenje, nakon čega preostaje samo usporediti odgovor sa svojim rješenjem nejednadžbe. Provjera odgovora neće trajati više od minute, dovoljno je rješavanje nejednakosti online i usporedite odgovore. To će vam pomoći da izbjegnete pogreške u odluka i ispraviti odgovor na vrijeme kada rješavanje nejednakosti online ili algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili nejednakost s nepoznatim parametrima.

Modul brojeva naziva se sam ovaj broj ako je nenegativan, ili isti broj sa suprotnim predznakom ako je negativan.

Na primjer, modul broja 6 je 6, a modul broja -6 također je 6.

To jest, modul broja se shvaća kao apsolutna vrijednost, apsolutna vrijednost ovog broja bez uzimanja u obzir njegovog znaka.

Označava se na sljedeći način: |6|, | x|, |A| itd.

(Više detalja u odjeljku “Modul brojeva”).

Jednadžbe s modulom.

Primjer 1 . Riješite jednadžbu|10 x - 5| = 15.

Riješenje.

Prema pravilu, jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Mi odlučujemo:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Odgovor: x 1 = 2, x 2 = -1.

Primjer 2 . Riješite jednadžbu|2 x + 1| = x + 2.

Riješenje.

Budući da je modul nenegativan broj, onda x+ 2 ≥ 0. Prema tome:

x ≥ -2.

Napravimo dvije jednadžbe:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Mi odlučujemo:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Oba broja su veća od -2. Dakle, oboje su korijeni jednadžbe.

Odgovor: x 1 = -1, x 2 = 1.

Primjer 3 . Riješite jednadžbu

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Riješenje.

Jednadžba ima smisla ako nazivnik nije nula - to znači ako x≠ 1. Uzmimo ovaj uvjet u obzir. Naša prva radnja je jednostavna - ne samo da se rješavamo razlomka, već ga transformiramo tako da dobijemo modul u njegovom čistom obliku:

|x+ 3| - 1 = 4 · ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Sada imamo samo izraz ispod modula na lijevoj strani jednadžbe. Samo naprijed.
Modul broja je nenegativan broj - to jest, mora biti veći od nule ili jednak nuli. Prema tome rješavamo nejednadžbu:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Dakle, imamo drugi uvjet: korijen jednadžbe mora biti najmanje 3/4.

U skladu s pravilom sastavljamo skup od dvije jednadžbe i rješavamo ih:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Dobili smo dva odgovora. Provjerimo jesu li oni korijeni izvorne jednadžbe.

Imali smo dva uvjeta: korijen jednadžbe ne može biti jednak 1, a mora biti najmanje 3/4. To je x ≠ 1, x≥ 3/4. Oba ova uvjeta odgovaraju samo jednom od dva dobivena odgovora - broju 2. To znači da je samo to korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = 2.

Nejednadžbe s modulom.

Primjer 1 . Riješite nejednadžbu| x - 3| < 4

Riješenje.

Pravilo modula kaže:

|A| = A, Ako A ≥ 0.

|A| = -A, Ako A < 0.

Modul može imati i nenegativne i negativne brojeve. Stoga moramo razmotriti oba slučaja: x- 3 ≥ 0 i x - 3 < 0.

1) Kada x- 3 ≥ 0 naša izvorna nejednadžba ostaje kakva jest, samo bez znaka modula:
x - 3 < 4.

2) Kada x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Otvaranjem zagrada dobivamo:

-x + 3 < 4.

Dakle, iz ova dva uvjeta došli smo do objedinjavanja dva sustava nejednakosti:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Riješimo ih:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Dakle, naš odgovor je unija dva skupa:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Odredite najmanju i najveću vrijednost. To su -1 i 7. Štoviše x veći od -1 ali manji od 7.
Osim, x≥ 3. To znači da je rješenje nejednadžbe cijeli niz brojeva od -1 do 7, isključujući ove ekstremne brojeve.

Odgovor: -1 < x < 7.

Ili: x ∈ (-1; 7).

Dodaci.

1) Postoji jednostavniji i kraći način rješavanja naše nejednakosti - grafički. Da biste to učinili, morate nacrtati vodoravnu os (slika 1).

Izraz | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x do točke 3 je manje od četiri jedinice. Na osi označimo broj 3 i lijevo i desno od nje odbrojimo 4 podjela. S lijeve strane ćemo doći do točke -1, s desne strane - do točke 7. Dakle, točke x samo smo ih vidjeli bez da smo ih izračunali.

Štoviše, prema uvjetu nejednakosti, sami -1 i 7 nisu uključeni u skup rješenja. Dakle, dobivamo odgovor:

1 < x < 7.

2) Ali postoji još jedno rješenje koje je jednostavnije čak i od grafičke metode. Da bismo to učinili, naša nejednakost mora biti predstavljena u sljedećem obliku:

4 < x - 3 < 4.

Uostalom, tako je to po pravilu modula. Nenegativan broj 4 i njemu sličan negativni broj -4 su granice za rješavanje nejednadžbe.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Primjer 2 . Riješite nejednadžbu| x - 2| ≥ 5

Riješenje.

Ovaj primjer bitno se razlikuje od prethodnog. Lijeva strana je veća od 5 ili jednaka 5. S geometrijskog gledišta, rješenje nejednadžbe su svi brojevi koji su od točke 2 udaljeni 5 jedinica ili više (slika 2). Grafikon pokazuje da su to sve brojevi manji ili jednaki -3 i veći ili jednaki 7. To znači da smo odgovor već dobili.

Odgovor: -3 ≥ x ≥ 7.

Usput rješavamo istu nejednadžbu preuređivanjem slobodnog člana lijevo i desno sa suprotnim predznakom:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Odgovor je isti: -3 ≥ x ≥ 7.

Ili: x ∈ [-3; 7]

Primjer je riješen.

Primjer 3 . Riješite nejednadžbu 6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Riješenje.

Broj x može biti pozitivan broj, negativan broj ili nula. Stoga trebamo uzeti u obzir sve tri okolnosti. Kao što znate, oni se uzimaju u obzir u dvije nejednakosti: x≥ 0 i x < 0. При x≥ 0 jednostavno prepisujemo našu izvornu nejednakost kakva jest, samo bez znaka modula:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Sada o drugom slučaju: ako x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Proširivanje zagrada:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Tako smo dobili dva sustava jednadžbi:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Moramo riješiti nejednadžbe u sustavima - a to znači da moramo pronaći korijene dviju kvadratnih jednadžbi. Da bismo to učinili, izjednačavamo lijeve strane nejednakosti s nulom.

Počnimo s prvim:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kako riješiti kvadratnu jednadžbu - pogledajte odjeljak “Kvadratna jednadžba”. Odgovor ćemo odmah navesti:

x 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Iz prvog sustava nejednadžbi proizlazi da je rješenje izvorne nejednadžbe cijeli skup brojeva od -1/2 do 2/3. Pišemo uniju rješenja na x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Sada riješimo drugu kvadratnu jednadžbu:

6x 2 + x - 2 = 0.

Njegovi korijeni:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Zaključak: kada x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Kombinirajmo dva odgovora i dobijemo konačni odgovor: rješenje je cijeli niz brojeva od -2/3 do 2/3, uključujući ove ekstremne brojeve.

Odgovor: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Ili: x ∈ [-2/3; 2/3].