Общата повърхност на половин цилиндър. Как да намерите площта на цилиндър

При изучаването на стереометрията една от основните теми е „Цилиндър“. Площта на страничната повърхност се счита, ако не за основна, то за важна формула при решаване на геометрични проблеми. Въпреки това е важно да запомните дефинициите, които ще ви помогнат да се ориентирате в примерите и при доказване на различни теореми.

Концепция на цилиндър

Първо трябва да разгледаме няколко дефиниции. Само след като ги изучим, можем да започнем да разглеждаме въпроса за формулата за площта на страничната повърхност на цилиндъра. Въз основа на този запис могат да се изчислят други изрази.

• Цилиндричната повърхност се разбира като равнина, описана от образуваща, която се движи и остава успоредна на дадена посока, плъзгайки се по съществуваща крива.
• Има и второ определение: цилиндрична повърхност се образува от набор от успоредни линии, пресичащи дадена крива.
• Генератриксът условно се нарича височина на цилиндъра. При движение около ос, минаваща през центъра на основата, се получава посоченото геометрично тяло.
• Под ос разбираме права линия, минаваща през двете основи на фигурата.
• Цилиндърът е стереометрично тяло, ограничено от пресичаща се странична повърхност и две успоредни равнини.

Има разновидности на тази обемна фигура:

1. Под кръгъл имаме предвид цилиндър, чийто водач е кръг. Основните му компоненти са радиусът на основата и образуващата. Последната е равна на височината на фигурата.
2. Има прав цилиндър. Той получи името си поради перпендикулярността на формиращата фигура към основите.
3. Третият тип е скосен цилиндър. В учебниците можете да намерите друго име за него: „кръгъл цилиндър със скосена основа“. Тази цифра се определя от радиуса на основата, минималната и максималната височина.
4. Под равностранен цилиндър се разбира тяло с еднаква височина и диаметър на кръгова равнина.

Легенда

Традиционно основните „компоненти“ на цилиндъра се наричат, както следва:

• Радиусът на основата е R (той също замества подобна стойност на стереометричната фигура).
• Генератор - Л.
• Височина - H.
• Площта на основата е S база (с други думи, необходимо е да се намери посоченият параметър на кръга).
• Височините на скосения цилиндър са h 1 , h 2 (минимум и максимум).
• Площта на страничната повърхност е S страна (ако я разгънете, ще получите нещо като правоъгълник).
• Обемът на стереометрична фигура е V.
• Обща площ - S.

„Компоненти” на стереометрична фигура

При изследване на цилиндър важна роля играе страничната повърхност. Това се дължи на факта, че тази формула е включена в няколко други, по-сложни. Следователно е необходимо да сте добре запознати с теорията.

Основните компоненти на фигурата са:

1. Странична повърхност. Както е известно, тя се получава поради движението на генератора по дадена крива.
2. Пълната повърхност включва съществуващите основи и страничната равнина.
3. Напречното сечение на цилиндъра, като правило, е правоъгълник, разположен успоредно на оста на фигурата. В противен случай се нарича самолет. Оказва се, че дължината и ширината също са компоненти на други фигури. Така че, условно, дължините на участъка са генераторите. Ширина - успоредни хорди на стереометрична фигура.
4. Под аксиално сечение разбираме разположението на равнината през центъра на тялото.
5. И накрая, окончателно определение. Допирателната е равнина, минаваща през генератора на цилиндъра и разположена под прав ъгъл спрямо аксиалното сечение. В този случай трябва да бъде изпълнено едно условие. Посочената образуваща трябва да бъде включена в равнината на аксиалното сечение.

Основни формули за работа с цилиндър

За да се отговори на въпроса как да се намери повърхността на цилиндър, е необходимо да се изучат основните „компоненти“ на стереометрична фигура и формулите за намирането им.

Тези формули се различават по това, че първите изрази са дадени за скосен цилиндър, а след това за прав.

Примери с разглобено решение

Необходимо е да се установи площта на страничната повърхност на цилиндъра. Даден е диагоналът на сечението AC = 8 cm (и той е осов). При контакт с генератора се оказва< ACD = 30°

Решение. Тъй като стойностите на диагонала и ъгъла са известни, тогава в този случай:

• CD = AC*cos 30°.

Коментар. Триъгълникът ACD в конкретния пример е правоъгълен. Това означава, че частното на CD и AC е косинус от съществуващия ъгъл. Значението на тригонометричните функции може да се намери в специална таблица.

По същия начин можете да намерите стойността на AD:

• AD = AC*sin 30°

Сега трябва да изчислите желания резултат, като използвате следната формула: площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на два пъти резултата от умножаването на "pi", радиуса на фигурата и нейната височина. Трябва да се използва друга формула: площта на основата на цилиндъра. Равен е на резултата от умножаването на „pi“ по квадрата на радиуса. И накрая, последната формула: обща повърхност. Тя е равна на сумата от предишните две области.

Дават се цилиндри. Техният обем = 128*p cm³. Кой цилиндър има най-малка обща повърхност?

Решение. Първо трябва да използвате формулите за намиране на обема на фигура и нейната височина.

Тъй като общата повърхност на цилиндъра е известна от теорията, е необходимо да се приложи неговата формула.

Ако разгледаме получената формула като функция от площта на цилиндъра, тогава минималният „индикатор“ ще бъде достигнат в екстремалната точка. За да получите последната стойност, трябва да използвате диференциация.

Формулите могат да се видят в специална таблица за намиране на производни. Впоследствие намереният резултат се приравнява на нула и се намира решение на уравнението.

Отговор: S min ще бъде постигнато при h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Дадена е стереометрична фигура - цилиндър и сечение. Последният се извършва по такъв начин, че да е разположен успоредно на оста на стереометричното тяло. Цилиндърът има следните параметри: VK = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо е да се намери разстоянието между секцията и оста.

Тъй като напречното сечение на цилиндъра се разбира като VSKM, т.е. правоъгълник, тогава неговата страна BM = h. VMC трябва да се има предвид. Триъгълникът е правоъгълен триъгълник. Въз основа на това твърдение можем да изведем правилното предположение, че MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

От това можем да заключим, че MK = BC = 8 cm.

Следващата стъпка е да начертаете разрез през основата на фигурата. Необходимо е да се вземе предвид получената равнина.

AD е диаметърът на стереометрична фигура. Той е успореден на участъка, споменат в описанието на проблема.

BC е права линия, разположена в равнината на съществуващия правоъгълник.

ABCD - трапец. В този конкретен случай той се счита за равнобедрен, тъй като около него е описан кръг.

Ако намерите височината на получения трапец, можете да получите отговора, даден в началото на задачата. А именно: намиране на разстоянието между оста и начертаното сечение.

За да направите това, трябва да намерите стойностите на AD и OS.

Отговор: сечението се намира на 3 см от оста.

Задачи за консолидиране на материала

Като се има предвид цилиндър. Площта на страничната повърхност се използва в последващото решение. Други параметри са известни. Основната площ е Q, площта на аксиалното сечение е M. Необходимо е да се намери S. С други думи, общата площ на цилиндъра.

Като се има предвид цилиндър. Площта на страничната повърхност трябва да бъде намерена в една от стъпките за решаване на проблема. Известно е, че височина = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо е да се намери общата площ на стереометричната фигура.

Площта на всяка основа на цилиндъра е π r 2, площта на двете основи ще бъде 2π r 2 (фиг.).

Площта на страничната повърхност на цилиндър е равна на площта на правоъгълник, чиято основа е 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра ч, т.е. 2π rh.

Общата повърхност на цилиндъра ще бъде: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ ч).

Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема за зона за почистванестраничната му повърхност.

Следователно площта на страничната повърхност на десен кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) И се изчислява по формулата

S пр.н.е. = 2πRH, (1)

Ако добавим площта на двете му основи към площта на страничната повърхност на цилиндъра, получаваме общата повърхност на цилиндъра

S пълен =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Обем на прав цилиндър

Теорема. Обемът на прав цилиндър е равен на произведението от площта на основата му и височината му , т.е.

където Q е площта на основата, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като площта на основата на цилиндъра е Q, тогава има последователности от описани и вписани многоъгълници с области Q ни Q' нтакова, че

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) В н= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ н= Q.

Нека построим последователност от призми, чиито основи са описаните и вписани многоъгълници, разгледани по-горе, и чиито странични ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за дадения цилиндър. Техните обеми се намират по формулите

V н= Q н H и V' н= Q' нз.

следователно

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q н H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ н H = QH.

Последица.
Обемът на прав кръгов цилиндър се изчислява по формулата

V = π R 2 H

където R е радиусът на основата, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като основата на кръгъл цилиндър е кръг с радиус R, тогава Q = π R 2 и следователно

Цилиндърът е фигура, състояща се от цилиндрична повърхност и два кръга, разположени успоредно. Изчисляването на площта на цилиндър е проблем в геометричния клон на математиката, който може да бъде решен доста просто. Има няколко метода за решаването му, които в крайна сметка винаги се свеждат до една формула.

Как да намерите площта на цилиндър - правила за изчисление

• За да разберете площта на цилиндъра, трябва да добавите двете области на основата с площта на страничната повърхност: S = Sside + 2Sbase. В по-подробна версия тази формула изглежда така: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Площта на страничната повърхност на дадено геометрично тяло може да се изчисли, ако са известни неговата височина и радиусът на окръжността, лежаща в основата му. IN в такъв случайможе да се изрази радиуса от обиколката на кръг, ако е даден. Височината може да се намери, ако стойността на генератора е посочена в условието. В този случай образуващата ще бъде равна на височината. Формулата за страничната повърхност на това тяло изглежда така: S= 2 π rh.
• Площта на основата се изчислява по формулата за намиране на площта на кръг: S osn= π r 2 . В някои задачи радиусът може да не е даден, но обиколката може да бъде дадена. С тази формула радиусът се изразява доста лесно. С=2π r, r= С/2π. Трябва също да запомните, че радиусът е половината от диаметъра.
• При извършване на всички тези изчисления числото π обикновено не се превежда в 3,14159... То просто трябва да се добави до числената стойност, получена в резултат на изчисленията.
• След това просто трябва да умножите намерената площ на основата по 2 и да добавите към полученото число изчислената площ на страничната повърхност на фигурата.
• Ако проблемът показва, че цилиндърът има аксиално сечение и че е правоъгълник, тогава решението ще бъде малко по-различно. В този случай ширината на правоъгълника ще бъде диаметърът на кръга, лежащ в основата на тялото. Дължината на фигурата ще бъде равна на образуващата или височината на цилиндъра. Необходимо е да се изчислят необходимите стойности и да се заменят във вече известната формула. В този случай ширината на правоъгълника трябва да бъде разделена на две, за да се намери площта на основата. За да се намери страничната повърхност, дължината се умножава по два радиуса и числото π.
• Можете да изчислите площта на дадено геометрично тяло чрез неговия обем. За да направите това, трябва да извлечете липсващата стойност от формулата V=π r 2 h.
• Няма нищо сложно при изчисляването на площта на цилиндъра. Просто трябва да знаете формулите и да можете да извлечете от тях количествата, необходими за извършване на изчисления.

Площ на повърхността на цилиндър. В тази статия ще разгледаме задачи, свързани с повърхността. В блога вече са разгледани задачи с тяло на въртене като конус. Цилиндърът също принадлежи към телата на въртене. Какво се изисква и трябва да се знае за площта на един цилиндър? Нека да разгледаме развитието на цилиндъра:

Горната и долната основа са два равни кръга:

Страничната повърхност е правоъгълник. Освен това едната страна на този правоъгълник е равна на височината на цилиндъра, а другата е равна на обиколката на основата. Нека ви напомня, че обиколката на кръг е:

И така, формулата за повърхността на цилиндър е:

* Няма нужда да научавате тази формула! Достатъчно е да знаете формулите за площта на кръга и дължината на неговата обиколка, след което винаги можете да запишете посочената формула. Разбирането е важно! Нека разгледаме задачите:

Обиколката на основата на цилиндъра е 3. Страничната повърхност е 6. Намерете височината и повърхността на цилиндъра (приемете, че Pi е 3,14 и закръглете резултата до най-близката десета).

Обща повърхност на цилиндъра:

Дадени са обиколката на основата и страничната повърхност на цилиндъра. Тоест, дадена ни е площта на правоъгълник и една от неговите страни, трябва да намерим другата страна (това е височината на цилиндъра):

Изисква се радиус и тогава можем да намерим посочената площ.

Обиколката на основата е равна на три, тогава пишем:

По този начин

Закръглявайки до най-близката десета, получаваме 7,4.

Отговор: h = 2; S = 7,4

Страничната повърхност на цилиндъра е 72Pi, а диаметърът на основата е 9. Намерете височината на цилиндъра.

Средства

Отговор: 8

Площта на страничната повърхност на цилиндъра е 64Pi, а височината е 8. Намерете диаметъра на основата.

Площта на страничната повърхност на цилиндъра се намира по формулата:

Диаметърът е равен на два радиуса, което означава:

Отговор: 8

27058. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, а височината е 3. Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на Pi.

27133. Обиколката на основата на цилиндъра е 3, височината е 2. Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Представлява геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнини и цилиндрична повърхност.

Цилиндърът се състои от странична повърхност и две основи. Формулата за повърхността на цилиндъра включва отделно изчисляване на площта на основата и страничната повърхност. Тъй като основите в цилиндъра са равни, общата му площ ще се изчисли по формулата:

Ще разгледаме пример за изчисляване на площта на цилиндър, след като знаем всички необходими формули. Първо се нуждаем от формулата за площта на основата на цилиндър. Тъй като основата на цилиндъра е кръг, ще трябва да приложим:
Спомняме си, че в тези изчисления се използва постоянното число Π = 3.1415926, което се изчислява като съотношение на обиколката на кръг към неговия диаметър. Това число е математическа константа. Също така ще разгледаме пример за изчисляване на площта на основата на цилиндър малко по-късно.

Площ на страничната повърхност на цилиндъра

Формулата за площта на страничната повърхност на цилиндъра е произведението на дължината на основата и нейната височина:

Сега нека да разгледаме задача, в която трябва да изчислим общата площ на цилиндър. На дадената фигура височината е h = 4 см, r = 2 см. Нека намерим общата площ на цилиндъра.
Първо, нека изчислим площта на основите:
Сега нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на цилиндър. Когато се разгъне, представлява правоъгълник. Площта му се изчислява по горната формула. Нека заместим всички данни в него:
Общата площ на кръг е сумата от удвоената площ на основата и страната:

По този начин, използвайки формулите за площта на основите и страничната повърхност на фигурата, успяхме да намерим общата повърхност на цилиндъра.
Аксиалното сечение на цилиндъра е правоъгълник, в който страните са равни на височината и диаметъра на цилиндъра.

Формулата за площта на аксиалното напречно сечение на цилиндъра се извлича от формулата за изчисление: