العمليات على عرض الأعداد المركبة. عرض تقديمي حول موضوع الأعداد المركبة. بيان الأعداد المركبة في الرياضيات

لوكتيونوفا جي.إن.

مدرس رياضيات

غابو "كلية النقل بالمركبات"

"الأعداد والإجراءات المعقدة

فوقهم"

• بعد دراسة الموضوع يجب على الطلاب: يعرف:الأشكال الجبرية والهندسية والمثلثية للأعداد المركبة. يكون قادرا على:إجراء عمليات الجمع، الضرب، الطرح، القسمة، الأس، واستخراج جذر عدد مركب على أعداد مركبة؛ تحويل الأعداد المركبة من الأشكال الجبرية إلى الأشكال الهندسية والمثلثية؛ استخدام التفسير الهندسي للأعداد المركبة؛ في أبسط الحالات، ابحث عن الجذور المعقدة للمعادلات ذات المعاملات الحقيقية.

• مرجع تاريخي
• مفاهيم أساسية
• التمثيل الهندسي للأعداد المركبة
• نماذج كتابة الأعداد المركبة
• العمليات على الأعداد المركبة

• جوساك، أ.أ. الرياضيات العليا: كتاب مدرسي لطلاب الجامعة: في مجلدين. T.1. /أ.أ. المغفل. – الطبعة الخامسة. – مينسك: تيترا سيستمز، 2004. – 544 ص.
• كاناتنيكوف، أ.ن. الجبر الخطي. / أ.ن. كاناتنيكوف، أ.ب. كريشينكو. - م: دار النشر MSTU im. ن. بومان، 2001 – 336 ص.
• كوروش، أ.ج. دورة الجبر العالي. / اي جي. كوروش. - م: العلوم، 1971-432.
• مكتوب د.ت. ملاحظات محاضرة في الرياضيات العليا. 1 جزء. – الطبعة الثانية، مراجعة. – م: مطبعة القزحية، 2003. – 288 ص.
• سيكورسكايا، ج.أ. دورة محاضرات في الجبر والهندسة: كتاب مدرسي لطلاب كلية النقل / ج.أ. سيكورسكايا. - أورينبورغ: IPK GOU OSU، 2007. – 374 ص.

ص.1 الخلفية التاريخية

نشأ مفهوم العدد المركب من ممارسة ونظرية حل المعادلات الجبرية.

واجه علماء الرياضيات الأعداد المركبة لأول مرة عند حل المعادلات التربيعية. حتى القرن السادس عشر، لم يجد علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم تفسيرًا مقبولًا للجذور المعقدة التي نشأت عند حل المعادلات التربيعية، وأعلنوا أنها خاطئة ولم يأخذوها في الاعتبار.

كان كاردانو، الذي عمل على حل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة، من أوائل علماء الرياضيات الذين تعاملوا رسميًا مع الأعداد المركبة، على الرغم من أن معناها ظل غير واضح إلى حد كبير بالنسبة له.

تم شرح معنى الأعداد المركبة من قبل عالم رياضيات إيطالي آخر ر. بومبيلي. في كتابه الجبر (1572)، وضع أولاً قواعد تشغيل الأعداد المركبة في صورتها الحديثة.

ومع ذلك، حتى القرن الثامن عشر، كانت الأعداد المركبة تعتبر "خيالية" وعديمة الفائدة. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه حتى عالم الرياضيات المتميز مثل ديكارت، الذي حدد الأعداد الحقيقية بأجزاء من خط الأعداد، يعتقد أنه لا يمكن أن يكون هناك تفسير حقيقي للأعداد المعقدة، وأنها ستبقى خيالية إلى الأبد. وكان لعالمي الرياضيات العظيمين نيوتن ولايبنتز وجهات نظر مماثلة.

فقط في القرن الثامن عشر، تطلبت العديد من مشاكل التحليل الرياضي والهندسة والميكانيكا الاستخدام الواسع النطاق للعمليات على الأعداد المركبة، مما خلق الظروف الملائمة لتطوير تفسيرها الهندسي.

في الأعمال التطبيقية لدالمبرت وأولر في منتصف القرن الثامن عشر، يمثل المؤلفون كميات خيالية اعتباطية في الشكل ض=أ+يب، والذي يسمح بتمثيل هذه الكميات بنقاط المستوى الإحداثي. كان هذا التفسير هو الذي استخدمه غاوس في عمله المخصص لدراسة حلول المعادلات الجبرية.

وفقط في بداية القرن التاسع عشر، عندما تم بالفعل توضيح دور الأعداد المركبة في مختلف مجالات الرياضيات، تم تطوير تفسير هندسي بسيط وطبيعي لها، مما جعل من الممكن فهم المعنى الهندسي للعمليات على العمليات المعقدة أعداد.

ص. 2 مفاهيم أساسية

عدد مركب ضيسمى تعبيرا عن النموذج ض=أ+يب، أين أو ب– الأعداد الحقيقية أنا – وحدة خيالية، والتي تحددها العلاقة:

في هذه الحالة الرقم أمُسَمًّى الجزء الحقيقيأعداد ض

(أ = يكرر ض)، أ ب - الجزء الخيالي (ب = ايم ض).

لو أ = إعادة ض =0 , هذا الرقم ضسوف خيالية بحتة، لو ب = ايم ض =0 ، ثم الرقم ضسوف صالح .

أعداد ض=أ+يبويتم استدعاؤهم المكورات معقدة .

رقمين معقدين ض 1 =أ 1 +ib 1 و ض 2 =أ 2 +ib 2 وتسمى متساويإذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية على التوالي:

أ 1 =أ 2 ; ب 1 = ب 2

العدد المركب يساوي صفرًا إذا كانت الأجزاء الحقيقية والتخيلية تساوي صفرًا على التوالي.

يمكن أيضًا كتابة الأعداد المركبة، على سبيل المثال، في النموذج ض=س+أنا , ض=ش+رابعا .

ص. 3 التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

أي عدد مركب ض=س+أنايمكن تمثيلها بنقطة م (س؛ ص)طائرة xOyمثل ذلك X = إعادة ض ، ذ = ايم ض. وعلى العكس من ذلك، كل نقطة م (س؛ ص)يمكن اعتبار المستوى الإحداثي صورة لعدد مركب ض=س+أنا(الصورة 1).

الصورة 1

يسمى المستوى الذي تظهر عليه الأعداد المركبة طائرة معقدة .

يسمى محور الإحداثي المحور الحقيقيلأنه يحتوي على أرقام حقيقية ض=س+0i=س .

يسمى المحور الإحداثي محور وهمي، أنه يحتوي على أرقام مركبة وهمية ض=0+يي=يي .

في كثير من الأحيان، بدلا من النقاط على متن الطائرة، يتم أخذها ناقلات نصف القطر

أولئك. المتجهات التي تبدأ بنقطة يا(0;0)، نهاية م (س؛ ص) .

طول المتجه الذي يمثل عددًا مركبًا ض , مُسَمًّى وحدةتم تعيين هذا الرقم | ض|أو ص .

يسمى مقدار الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي والمتجه الذي يمثل عددًا مركبًا دعوىيشار إلى هذا العدد المركب أرج ضأو φ .

حجة العدد المركب ض=0غير محدد.

حجة العدد المركب ض ≠ 0 - الكمية متعددة القيم ويتم تحديدها بدقة للمجموع 2 π ك (ك=0،-1،1،-2،2،..) :

أرج ض=arg ض+2 π ك،

أين الارجنتين ض - المعنى الرئيسي للحجة ، انتهى في هذه الأثناء (- π , π ] .

ص.4 أشكال كتابة الأعداد المركبة

كتابة رقم في النموذج ض=س+أنامُسَمًّى شكل جبريعدد مركب.

ومن الشكل 1 يتضح ذلك x=rcos φ , y=rsin φ , وبالتالي معقدة ض=س+أنايمكن كتابة الرقم على النحو التالي:

ويسمى هذا النوع من التسجيل التدوين المثلثيعدد مركب.

وحدة ص=|ض|يتم تحديده بشكل فريد بواسطة الصيغة

دعوى φ تحدد من الصيغ

عند الانتقال من الشكل الجبري لعدد مركب إلى الشكل المثلثي، يكفي تحديد القيمة الرئيسية لوسيطة الرقم المركب فقط، أي. عدد φ =arg ض .

منذ من الصيغة نحصل على ذلك

للنقاط الداخلية أنا , رابعاأرباع.

للنقاط الداخلية ثانياأرباع.

للنقاط الداخلية ثالثاأرباع.

مثال 1.تمثيل الأعداد المركبة في الصورة المثلثية.

حل. عدد مركب ض=س+أنافي شكل مثلثي له الشكل z=r(cos φ +isin φ ) ، أين

1) ض 1 = 1 +أنا(رقم ض 1 ينتمي أناأرباع)، س=1، ص=1.

هكذا،

2) (رقم ض 2 ينتمي ثانياأرباع)

منذ ذلك الحين

لذلك،

إجابة:

النظر في الدالة الأسية ث = ه ض، أين ض=س+أنا- عدد مركب.

يمكن أن تظهر أن الوظيفة ثيمكن كتابتها على النحو التالي:

وتسمى هذه المساواة معادلة أويلر.

بالنسبة للأعداد المركبة تكون الخصائص التالية صحيحة:

أين م- عدد صحيح.

إذا كان الأس في معادلة أويلر يعتبر رقمًا وهميًا بحتًا ( س = 0)، فنحصل على:

بالنسبة للرقم المرافق المركب نحصل على:

ومن هاتين المعادلتين نحصل على:

تستخدم هذه الصيغ لإيجاد قيم قوى الدوال المثلثية من خلال دوال متعددة الزوايا.

إذا كنت تمثل عددًا مركبًا في شكل مثلثي

z=r(cos φ +isin φ )

واستخدم صيغة أويلر ه أنا φ =cos φ +isin φ , ثم يمكن كتابة العدد المركب هكذا

ض = ص ه أنا φ

وتسمى المساواة الناتجة الشكل الأسيعدد مركب.

ص. 5 العمليات على الأعداد المركبة

1) الإجراءات على الأعداد المركبة الواردة في شكل جبري

أ) جمع الأعداد المركبة

كميةرقمين معقدين ض 1 =س 1 +ص 1 أناو ض 2 =س 2 +ص 2 أنا

ض 1 +ض 2 =(س 1 +س 2 )+أنا(ذ 1 +ص 2 ).

خصائص عملية الجمع:

1. ض 1 +ض 2 = ض 2 +ض 1 ,

2. (ز 1 +ض 2 )+ض 3 =z 1 +(ض 2 +ض 3 ) ,

3. ض+0=ض .

ب) طرح الأعداد المركبة

يتم تعريف الطرح على أنه معكوس الجمع.

بالفارقرقمين معقدين ض 1 =س 1 +ص 1 أناو ض 2 =س 2 +ص 2 أنايسمى هذا العدد المركب ض، والتي عند إضافتها إلى ض 2 ، يعطي الرقم ض 1 ويتم تعريفها بالمساواة

ض=ض 1 - ض 2 =(س 1 –x 2 )+أنا(ذ 1 -y 2 ).

ج) ضرب الأعداد المركبة

العملارقام مركبة ض 1 =س 1 +ص 1 أناو ض 2 =س 2 +ص 2 أنا، محددة بالمساواة

ض=ض 1 ض 2 =(س 1 س 2 –ذ 1 ذ 2 )+i(x 1 ذ 2 –x 2 ذ 1 ).

ومن هنا، على وجه الخصوص، تتبع العلاقة الأكثر أهمية

أنا 2 = – 1.

خصائص عملية الضرب:

1. ض 1 ض 2 = ض 2 ض 1 ,

2. (ز 1 ض 2 )ض 3 =z 1 (ز 2 ض 3 ) ,

3. ض 1 ( ض 2 +ض 3 ) =z 1 ض 2 +ض 1 ض 3 ,

4 . ض ∙ 1 =z .

د) تقسيم الأعداد المركبة

يتم تعريف القسمة على أنها معكوس الضرب.

حاصل قسمة عددين مركبين ض 1 و ض 2 ≠ 0 يسمى عددا مركبا ض، والتي عند ضربها ض 2 ، يعطي الرقم ض 1 ، أي. لو ض 2 ض = ض 1 .

إذا وضعت ض 1 =س 1 +ص 1 أنا , ض 2 =س 2 +ص 2 أنا ≠ 0, ض=س+يي , ثم من المساواة (س+يي)(x 2 +iy 2 )= س 1 +ص 1 أنا،يجب

حل النظام، نجد القيم سو ذ :

هكذا،

في الممارسة العملية، بدلا من الصيغة الناتجة، يتم استخدام التقنية التالية: يتم ضرب البسط والمقام للكسر بالرقم المرتبط بالمقام ("التخلص من التخيل في المقام").

مثال 2.نظرا للأعداد المركبة 10+8ط , 1+ط.دعونا نجد مجموعها، والفرق، وحاصل الضرب والحاصل.

حل.

أ) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

ب) (10+8ط)–(1+ط) =(10–1)+(8–1)ط= 9 + 7 أنا؛

الخامس) (10+8ط)(1+ط) = 10+10 أنا +8 أنا +8 أنا 2 =2+18i;

ه) بناء عدد مركب معطى في الصورة الجبرية ن الدرجة العاشرة

دعونا نكتب القوى الصحيحة للوحدة التخيلية:

وبشكل عام يمكن كتابة النتيجة على النحو التالي:

مثال 3.احسب أنا 2 092 .

حل.

• دعونا نمثل الأس في النموذج ن = 4K + لواستخدام خاصية الدرجة ذات الأس العقلاني ض 4K+1 =(ض 4 ) ك ∙ ض ل .

لدينا: 2092=4 ∙ 523 .

هكذا، أنا 2 092 = أنا 4 ∙ 523 =(ط 4 ) 523 ، لكن منذ أنا 4 = 1 ، ثم وصلنا أخيرًا أنا 2 092 = 1 .

إجابة: أنا 2 092 = 1 .

عند بناء عدد مركب أ + ثنائيةإلى القوى الثانية والثالثة، استخدم صيغة المربع والمكعب لمجموع رقمين، وعند الرفع إلى قوة ن (ن- عدد طبيعي، ن ≥ 4 ) – صيغة نيوتن ذات الحدين :

للعثور على المعاملات في هذه الصيغة، من المناسب استخدام مثلث باسكال.

ه) استخراج الجذر التربيعي لعدد مركب

الجذر التربيعيمن العدد المركب يسمى رقم مركب مربعه يساوي العدد المعطى.

دعونا نشير إلى الجذر التربيعي لعدد مركب س+ييخلال ش + السادس، ثم بالتعريف

صيغ لإيجاد شو الخامسيبدو مثل

علامات شو الخامسيتم اختيارها بحيث الناتجة شو الخامسالمساواة راضية 2uv=y .

0، إذن u وv عبارة عن عدد مركب واحد من العلامات المتطابقة.) الإجابة: content" width="640"

مثال 4.إيجاد الجذر التربيعي لعدد مركب ض=5+12ط .

حل.

دعونا نشير إلى الجذر التربيعي للرقم ضخلال ش + السادس، ثم (ش + السادس) 2 =5+12ط .

لأنه في هذه الحالة س = 5 , ص=12ثم باستخدام الصيغة (1) نحصل على:

ش 2 =9؛ ش 1 =3؛ ش 2 = - 3؛ الخامس 2 =4; الخامس 1 =2; الخامس 2 = – 2.

وبذلك تم العثور على قيمتين للجذر التربيعي: ش 1 +الخام 1 ط=3+2ط , ش 2 +الخام 2 ط= –3 –2ط، . (تم اختيار العلامات على أساس المساواة 2uv=y، أي. بسبب ال ص = 120، الذي - التي شو الخامسعدد مركب واحد من العلامات المتطابقة.)

إجابة:

2) العمليات على الأعداد المركبة المعطاة في الصورة المثلثية

النظر في رقمين معقدين ض 1 و ض 2 ، معطى في شكل مثلثي

أ) منتج الأعداد المركبة

القيام بضرب الأرقام ض 1 و ض 2 ، نحن نحصل

ب) حاصل قسمة عددين مركبين

دع الأعداد المركبة تعطى ض 1 و ض 2 ≠ 0 .

دعونا نفكر في الحاصل الذي لدينا

مثال 5. نظرا لعددين معقدين

حل.

1) استخدام الصيغة. نحن نحصل

لذلك،

2) استخدام الصيغة. نحن نحصل

لذلك،

إجابة:

الخامس) بناء عدد مركب معطى على الصورة المثلثية ن الدرجة العاشرة

ومن عملية ضرب الأعداد المركبة يترتب على ذلك

في الحالة العامة نحصل على:

أين ن – عدد صحيح موجب.

لذلك ، عند رفع عدد مركب إلى قوة ما، يتم رفع المعامل إلى نفس القوة، ويتم ضرب الوسيطة في الأس .

يسمى التعبير (2). صيغة موافر .

أبراهام دي موافر (1667 - 1754) - عالم رياضيات إنجليزي من أصل فرنسي.

مزايا Moivre:

• اكتشف (1707) صيغة موافر للأس (واستخراج الجذور) للأعداد المركبة المعطاة في شكل مثلثي؛
• بدأ الأول في استخدام أسس المتسلسلات اللانهائية؛
• قدم مساهمة كبيرة في نظرية الاحتمالات: فقد أثبت حالة خاصة من نظرية لابلاس، وأجرى دراسة احتمالية للمقامرة وعددًا من البيانات الإحصائية عن السكان.

يمكن استخدام صيغة Moivre للعثور على الدوال المثلثية المزدوجة والثلاثية وما إلى ذلك. زوايا

مثال 6.البحث عن الصيغ خطيئة 2  و كوس 2  .

حل.

النظر في بعض الأعداد المركبة

ثم من ناحية

وفقًا لصيغة Moivre:

معادلة، نحصل على

لأن العددان المركبان متساويان إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية

لقد حصلنا على صيغ الزاوية المزدوجة المعروفة.

د) استخراج الجذر ص

جذر ص -القوة رقم مركب ضيسمى عددا مركبا ث، تلبية المساواة ث ن =z، أي. لو ث ن =z .

إذا وضعنا ثم تعريف الجذر وصيغة Moivre، فسنحصل على ذلك

من هنا لدينا

لذلك تأخذ المساواة الشكل

حيث (أي من 0 إلى ن-1).

هكذا، استخراج الجذر ن -القوة رقم مركب ض هو ممكن دائما ويعطي ن معان مختلفة. جميع المعاني الجذرية ن الدرجة الرابعة تقع على دائرة نصف القطر مع مركز عند الصفر وتقسيم هذه الدائرة على ن اجزاء متساوية.

مثال 7.البحث عن كافة القيم

حل.

أولًا، دعونا نمثل العدد بالشكل المثلثي.

في هذه الحالة س = 1 , ، هكذا،

لذلك،

باستخدام الصيغة

أين ك=0,1,2,…,(ن-1),لدينا:

دعنا نكتب كل القيم:

إجابة:

أسئلة للتحكم في النفس

1 . صياغة تعريف العدد المركب.

2. ما هو العدد المركب الذي يسمى بالعدد التخيلي البحت؟

3. ما العددان المركبان اللذان يطلق عليهما اسم المترافقين؟

4. اشرح ما يعنيه جمع الأعداد المركبة المعطاة في صورة جبرية؛ ضرب عدد مركب في عدد حقيقي.

5. شرح مبدأ قسمة الأعداد المركبة المعطاة على الصورة الجبرية.

6. اكتب بعبارات عامة القوى الصحيحة للوحدة التخيلية.

7. ماذا يعني رفع عدد مركب معطى بواسطة صيغة جبرية إلى قوة (n عدد طبيعي)؟

8. أخبرنا كيف يتم تصوير الأعداد المركبة على المستوى.

9 . ما هو شكل التدوين الذي يسمى الشكل المثلثي للأعداد المركبة؟

10. صياغة تعريف المعامل والوسيطة للعدد المركب.

11. صياغة قاعدة ضرب الأعداد المركبة المكتوبة على الصورة المثلثية.

12. قم بصياغة قاعدة لإيجاد حاصل قسمة عددين مركبين معطاين في الصورة المثلثية.

13. صياغة قاعدة رفع الأعداد المركبة المعطاة بالشكل المثلثي للقوى.

14. قم بصياغة قاعدة لاستخراج الجذر النوني لعدد مركب معطى على الصورة المثلثية.

15. حدثنا عن معنى الجذر النوني للواحدة ونطاق تطبيقه.

الشريحة 2

1. تطوير مفهوم العدد

اعتبر علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أن الأعداد الطبيعية فقط هي "حقيقية". جنبا إلى جنب مع الأعداد الطبيعية، تم استخدام الكسور - أرقام تتكون من عدد صحيح من كسور الوحدة.

الشريحة 3

إدخال الأرقام السالبة - تم ذلك من قبل علماء الرياضيات الصينيين قبل قرنين من الميلاد. ه. بالفعل في القرن الثامن، ثبت أن الجذر التربيعي للرقم الموجب له معنيان - إيجابي وسالب، ولا يمكن أخذ الجذر التربيعي من الأرقام السالبة.

الشريحة 4

2. في الطريق إلى الأعداد المركبة

في القرن السادس عشر، فيما يتعلق بدراسة المعادلات التكعيبية، أصبح من الضروري استخراج الجذور التربيعية من الأعداد السالبة.

الشريحة 5

في صيغة حل المعادلات التكعيبية من النموذج:

الشريحة 6

الجذور التربيعية والتكعيبية:

الشريحة 7

تعمل هذه الصيغة بشكل لا تشوبه شائبة في الحالة التي يكون فيها للمعادلة جذر حقيقي واحد، وإذا كان لها ثلاثة جذور حقيقية، فسيظهر رقم سالب تحت علامة الجذر التربيعي. وتبين أن الطريق إلى هذه الجذور يمر عبر العملية المستحيلة المتمثلة في استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب.

الشريحة 8

الشريحة 9

بجانب x=1، هناك جذران آخران

الشريحة 10

اقترح عالم الجبر الإيطالي ج. كاردانو في عام 1545 إدخال أرقام ذات طبيعة جديدة. وأظهر أن نظام المعادلات

الشريحة 11

التي ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية، لها حلول في الشكل

الشريحة 12

كل ما عليك فعله هو الموافقة على التعامل مع هذه التعبيرات وفقًا لقواعد الجبر العادي وافتراض ذلك

الشريحة 13

3. بيان الأعداد المركبة في الرياضيات

ووصف كاردانو مثل هذه الكميات بأنها "سلبية بحتة" وحتى "سلبية سفسطائية"، واعتبرها عديمة الفائدة وحاول عدم استخدامها. ولكن بالفعل في عام 1572، تم نشر كتاب من تأليف الجبر الإيطالي ر. بومبيلي، حيث تم إنشاء القواعد الأولى للعمليات الحسابية على هذه الأرقام، حتى استخراج الجذور المكعبة منها.

الشريحة 14

تم تقديم اسم "الأرقام الخيالية" في عام 1637 من قبل عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي ر. ديكارت. في عام 1777، اقترح ل. أويلر، أحد أعظم علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر، استخدام الحرف الأول من الكلمة الفرنسية imaginaire (وهمي) للإشارة إلى رقم (وحدة خيالية). دخل هذا الرمز حيز الاستخدام العام بفضل K. Gauss. تم تقديم مصطلح "الأعداد المركبة" أيضًا بواسطة غاوس في عام 1831.

الشريحة 15

كلمة مجمع (من المجمع اللاتيني) تعني الاتصال والجمع ومجموعة من المفاهيم والأشياء والظواهر وما إلى ذلك التي تشكل كلاً واحدًا.

الشريحة 16

اشتق L. Euler صيغة رائعة في عام 1748

الشريحة 17

التي ربطت الدالة الأسية مع الدالة المثلثية. باستخدام صيغة L. Euler، كان من الممكن رفع الرقم e إلى أي قوة معقدة.

الشريحة 18

في نهاية القرن الثامن عشر، تمكن عالم الرياضيات الفرنسي ج. لاغرانج من القول إن التحليل الرياضي لم يعد معقدًا بالكميات التخيلية.

الشريحة 19

بعد إنشاء نظرية الأعداد المركبة، نشأ السؤال حول وجود أرقام "معقدة للغاية" - أرقام ذات وحدات "خيالية" متعددة. تم إنشاء مثل هذا النظام في عام 1843 من قبل عالم الرياضيات الأيرلندي دبليو هاملتون، الذي أطلق عليها اسم "الكواتيرنيونات".

الشريحة 20

الشريحة 21

4. التمثيل الهندسي لعدد مركب

الشريحة 22

مثل هذه الطائرة تسمى معقدة. الأعداد الحقيقية الموجودة عليها تحتل المحور الأفقي، والوحدة التخيلية مصورة كواحدة على المحور الرأسي؛ ولهذا السبب يسمى المحوران الأفقي والرأسي بالمحورين الحقيقي والتخيلي على التوالي.

الشريحة 23

5. الشكل المثلثي للرقم المركب.

يتم التعبير عن الإحداثي a والإحداثي b للعدد المركب a + bi بدلالة المعامل r والوسيطة q. الصيغ a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r هو طول المتجه (a+bi)، q هي الزاوية التي يشكلها مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثي السيني

الشريحة 24

الأعداد المركبة، على الرغم من "زيفها" وبطلانها، لها تطبيق واسع جدًا. إنهم يلعبون دورا هاما ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضا في علوم مثل الفيزياء والكيمياء. حاليًا، تُستخدم الأعداد المركبة بنشاط في الصناعات الكهروميكانيكية والكمبيوتر والفضاء

الشريحة 25

لذلك، يمكن تمثيل أي عدد مركب في النموذج r(cos q + i sin q)، حيث r > 0 أي. z=a+bi أو z=r*cos q + r*sin q يُسمى هذا التعبير بالشكل المثلثي العادي، أو باختصار، الشكل المثلثي للعدد المركب.

الشريحة 26

شكرا لاهتمامكم!

عرض كافة الشرائح

الأعداد المركبة الأعداد المركبة والعمليات عليها.

النظام العددي العمليات الجبرية المسموح بها العمليات الجبرية المسموح بها جزئيا. الأعداد الطبيعية، N الجمع، الضرب، الطرح، القسمة، استخلاص الجذور. لكن من ناحية أخرى، المعادلة ليس لها جذور في الأعداد الصحيحة N، الجمع Z، الطرح، الضرب. التقسيم، استخراج الجذر. ولكن من ناحية أخرى، فإن المعادلة ليس لها جذور في الأعداد النسبية Z، والجمع Q، والطرح، والضرب، والقسمة. استخراج الجذور من الأعداد غير السالبة لكن من ناحية أخرى، المعادلة ليس لها جذور في أرقام Q الحقيقية، R الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، أخذ جذور الأعداد غير السالبة. استخراج الجذور من الأعداد العشوائية لكن من ناحية أخرى، المعادلة ليس لها جذور في R الأعداد المركبة، C جميع العمليات

الشروط التي يجب أن تستوفيها الأعداد المركبة... 1. يوجد عدد مركب مربعه -1 2. مجموعة الأعداد المركبة تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية. 3. إن عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد المركبة تتوافق مع القانون المعتاد للعمليات الحسابية (التجميعية، الإبدالية، التوزيعية)

نوع العدد المركب بشكل عام، قواعد العمليات الحسابية ذات الأعداد التخيلية البحتة هي كما يلي: ai+bi =(a+b) i ; منظمة العفو الدولية -bi=(أ-ب) أنا ; أ(ثنائية)=(أب) أنا ; (ai)(bi)=abi²=- ab (a وb عددان حقيقيان) i²= -1، i - وحدة خيالية

تعريفات تعريف رقم 1 العدد المركب هو مجموع عدد حقيقي وعدد خيالي بحت. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – وحدة خيالية. في الترميز z = a+bi، يسمى الرقم a الجزء الحقيقي من الرقم المركب z، ويسمى الرقم b الجزء التخيلي من الرقم المركب z. التعريف رقم 2 يسمى عددان مركبان متساويين إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية متساوية وأجزاؤهما التخيلية متساوية. أ+ثنائية = ج+دي ↔ أ=ج، ب=د.

التعريف رقم 3 إذا احتفظت بالجزء الحقيقي من عدد مركب وغيرت إشارة الجزء التخيلي، فستحصل على عدد مركب مرافق للرقم المعطى. Z=X+YI X - يي

الصيغ مجموع الأعداد المركبة: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) الفرق بين الأعداد المركبة : z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) حاصل ضرب الأعداد المركبة: (a+bi)(c+di)= i (ac- bd )+( bc+ad) صيغة حاصل قسمة عددين مركبين: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 خصائص الخاصية 1 إذا كانت z = x + yi، فإن z*z = x ² + y ² z 1 يجب ضرب كل من بسط ومقام الكسر بالرقم المرافق للمقام. الخاصية 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 أي الرقم المرافق لمجموع رقمين مركبين يساوي مجموع مرافقات هذه الأرقام. الخاصية 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2، أي. مرافق الفرق بين رقمين مركبين يساوي الفرق بين مرافقي هذه الأرقام.

الخاصية 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 أي أن العدد المرافق لمنتج عددين مركبين يساوي منتج مرافقات هذه الأرقام. ومن ناحية أخرى، Z 1= a-bi, c-di، مما يعني Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) الخاصية 5 الخاصية 6

التفسير الهندسي لعدد مركب. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

جمع وضرب الأعداد المركبة. الشكل الجبري الشكل الهندسي المنتج Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 · Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1) + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] المنتج (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Sum (A+iB) + (C+iD) )= (أ+ج)+(ب+د)ط

صيغة Moivre لأي Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 وأي عدد طبيعي n

نظرية غاوس: كل معادلة جبرية لها جذر واحد على الأقل في مجموعة الأعداد المركبة، وكل معادلة جبرية من الدرجة n لها بالضبط جذر n في مجموعة الأعداد المركبة. تحدد صيغة Moivre الثانية جميع جذور معادلة ذات الحدين من الدرجة n

شكرًا لكم على اهتمامكم! تم تقديم العرض من قبل طالبة في الصف العاشر "أ" من MOAU "صالة الألعاب الرياضية رقم 7" في أورينبورغ إليموفا ماريا.

بعد دراسة موضوع الأعداد المركبة
يجب على الطلاب:
يعرف:
الأشكال الجبرية والهندسية والمثلثية
عدد مركب.
يكون قادرا على:
إجراء عمليات الجمع على الأعداد المركبة،
الضرب، الطرح، القسمة، الأسي، الاستخراج
جذر عدد مركب
تحويل الأعداد المركبة من الصورة الجبرية إلى
هندسية ومثلثية.
استخدام التفسير الهندسي للأعداد المركبة؛
في أبسط الحالات، ابحث عن الجذور المعقدة للمعادلات باستخدام
معاملات حقيقية.

ما هي مجموعات الأرقام التي تعرفها؟

I. التحضير لدراسة مواد جديدة
ما هي مجموعات الأرقام التي تعرفها؟
ن
ز
س
ن ز س ر
ر

النظام العددي
طبيعي
أرقام، ن
الأعداد الصحيحة، ز
الأعداد النسبية، س
الأعداد الحقيقية،
ر
معقد
أرقام، ج
مقبول
جبري
عمليات
إضافة،
عمليه الضرب
علاوة على ذلك الطرح،
عمليه الضرب
علاوة على ذلك الطرح،
الضرب والقسمة
علاوة على ذلك الطرح،
الضرب والقسمة,
تأصيل
أرقام غير سلبية
جميع العمليات
جزئيا
مقبول
جبري
عمليات
الطرح والقسمة,
استخراج الجذر
قسم،
استخراج الجذر
استخراج الجذور من
غير سلبي
أعداد
استخراج الجذر
من التعسفي
أعداد

الحد الأدنى من الشروط التي يجب الوفاء بها
ارقام مركبة:
ج1) يوجد جذر تربيعي لـ، أي. موجود
عدد مركب مربعه يساوي .
ج2) مجموعة الأعداد المركبة تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية
أعداد.
ج3) عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة
الأعداد المركبة تلبي القوانين المعتادة
العمليات الحسابية (التجميعية، الإبدالية،
توزيع).
إن استيفاء هذه الشروط الدنيا يسمح لنا بتحديد ذلك
المجموعة الكاملة C من الأعداد المركبة.

أرقام خيالية

ط = -1، ط – وحدة وهمية
i، 2i، -0.3i - أرقام خيالية بحتة
العمليات الحسابية على الأعداد الخيالية البحتة
يتم استيفاؤها وفقًا للشرط C3.
3ط 13ط 3 13ط 16ط
3ط 13ط 3 13 ط 39ط 2 39
ط 7 ط 2 ط
3
بشكل عام، قواعد العمليات الحسابية مع وهمية بحتة
الأرقام هي:
أ ب ط؛
ثنائية أب أنا؛
منظمة العفو الدولية ثنائية
منظمة العفو الدولية بي أ ب أنا؛
منظمة العفو الدولية أبي أبي أ
حيث a وb أعداد حقيقية.
2

ارقام مركبة

التعريف 1. الرقم المركب هو المجموع
عدد حقيقي وعدد خيالي بحت.
ض أ ثنائية ج أ ر، ب ر،
أنا الوحدة التخيلية
أ إعادة ض , ب ايم ض
التعريف 2. يتم استدعاء رقمين معقدين
متساوية إذا كانت أجزاؤها الحقيقية متساوية ومتساوية
أجزائها الخيالية:
أ ثنائية ج دي أ ج، ب د .

تصنيف الأعداد المركبة

ارقام مركبة
أ + ثنائية
أرقام حقيقية
ب=س
عاقِل
أعداد
غير منطقي
أعداد
أرقام خيالية
ب≠س
أرقام خيالية مع
غير صفرية
صالح
جزء
أ ≠ 0، ب ≠ 0.
بحتة
خيالي
أعداد
أ = 0، ب ≠ 0.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

(أ + ثنائية) + (ج + دي) = (أ + ج) + (ب + د)أنا
(أ + ثنائية) - (ج + دي) = (أ - ج) + (ب - د)أنا
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
إعلان ثنائي (أ ثنائي) (ج دي) أس دينار بحريني قبل الميلاد
2
2
أنا
2
2
ج دي (ج دي)(ج دي) ج د
ج د

ربط الأعداد المركبة

التعريف: إذا تم الاحتفاظ بعدد مركب
الجزء الحقيقي وتغيير إشارة الجزء التخيلي إذن
والنتيجة هي عدد مركب مترافق مع العدد المعطى.
إذا تم الإشارة إلى عدد مركب معين بالحرف z، إذن
يُشار إلى الرقم المرافق بالرمز z:
ض س يي ض س يي
من بين جميع الأعداد المركبة، الأعداد الحقيقية (وهي فقط)
تساوي أعدادها المترافقة.
تسمى الأرقام a + bi و a - bi مترافقة بشكل متبادل
ارقام مركبة.

خصائص الأعداد المترافقة

1. مجموع ومنتج رقمين مترافقين هو رقم
حقيقي.
ض ض (أ ثنائية) (أ ثنائية) 2 أ
ض ض (أ ثنائية)(أ ثنائية) أ 2 (ثنائية) 2 أ 2 ب 2
2. العدد المرافق لمجموع رقمين مركبين يساوي
مجموع الأعداد المترافقة.
z1 z2 z1 z2
3. العدد المرافق للفرق بين رقمين مركبين يساوي
الفرق بين مرافقات الأرقام المعطاة.
z1 z2 z1 z2
4. العدد المرافق لمنتج رقمين مركبين يساوي
نتاج مرافقات الأرقام المعطاة.
z1z2 z1 z2

خصائص الأعداد المترافقة

5. الرقم المرافق للقوة n للرقم المركب z،
يساوي القوة n للرقم المرافق للرقم z، أي.
ض ن (ض)ن ، ن ن
6. العدد المرافق لعددين مركبين من
المقسوم عليه غير الصفر يساوي حاصل القسمة
الأرقام المترافقة، أي
ثنائية ثنائية
ج دي ج دي

قوى الوحدة التخيلية

بحكم التعريف، القوة الأولى لـ i هي
1
بحد ذاتها
الرقم i، والقوة الثانية هي الرقم -1:
i1 = أنا، i2 = -1
.
تم العثور على القوى العليا لـ i على النحو التالي
1
طريق:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1، إلخ.
من الواضح أنه لأي عدد طبيعي n
i4n = 1;
ط4ن +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - أنا.

استخراج الجذور التربيعية للأعداد المركبة في الصورة الجبرية.

تعريف. الرقم w يسمى الجذر التربيعي لـ
2
العدد المركب z إذا كان مربعه يساوي z: w z
نظرية. دع z=a+bi يكون عددًا مركبًا غير الصفر.
ثم هناك نوعان من المجمعات المتضادة
الأرقام التي مربعاتها تساوي z. إذا كان b≠0، فهذان الرقمان
يعبر عنها بالصيغة:
ث
أ2 ب2 أ
أنا أسجل
2
أ 2 ب 2 أ
، أين
2
1 إذا ب 0
علامة 1 إذا ب 0
0 إذا ب 0
بالنسبة لـ b 0، a 0 لدينا: w a، بالنسبة لـ b 0، a 0 لدينا: w i a .

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة.

العدد المركب z على المستوى الإحداثي
يتوافق مع النقطة M (أ، ب).
في كثير من الأحيان، بدلا من النقاط على متن الطائرة، يتم أخذها
ناقلات نصف القطر
أوم
التعريف: معامل العدد المركب z = a + bi
اتصل برقم غير سالبأ 2 ب2
,
تساوي المسافة من النقطة M إلى البداية
ض أ 2 ب2
الإحداثيات
كوس
ذ
م (أ، ب)
ب
φ
يا
أ
س
أ
والخطيئة
ب
أ2 ب2
أ2 ب2
حجة الرقم المركب
;

الشكل المثلثي لعدد مركب

ض ص كوس أنا الخطيئة
حيث φ هي وسيطة العدد المركب،
ص =
أ 2 ب2 - وحدة من عدد مركب،
كوس
أ
أ2 ب2
والخطيئة
ب
أ2 ب2

ضرب وقسمة الأعداد المركبة المعطاة على الصورة المثلثية

نظرية
لو
1.
ض1 0، ض2 0
و
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 ثم:
أ)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
ب)
z1 r1
كوس 1 2 أنا الخطيئة 1 2
z2 r2
النظرية 2 (صيغة موافر).
دع z يكون أي غير الصفر
عدد مركب، ن - أي عدد صحيح.
ثم
z r cos i sin r n cosn i sin n .
ن
ن

استخراج جذر عدد مركب

نظرية. لأي عدد طبيعي n و
العدد المركب غير الصفري z موجود
n قيم مختلفة للجذر n.
لو
ض ص كوس أنا الخطيئة ،
ثم يتم التعبير عن هذه القيم بالصيغة
2 كيلو
2 كيلو
WK ص كوس
في داخل
,
ن
ن
حيث ك 0,1,..., (ن 1)

1. تاريخ تطور الأرقام.

مكبر الصوت:هل تعلم أنه في العصور القديمة كنت أنا وأنت على الأرجح سحرة؟ في العصور القديمة، كان الشخص الذي يستطيع العد يعتبر ساحرا. ليس كل المتعلمين يمتلكون مثل هذه "السحر". كان الكتبة هم الذين يعرفون كيفية العد بشكل أساسي، وكذلك التجار بالطبع.

يظهر التجار.
التجار.يمكن إتقان عملية الجمع، وهي أبسط عملية حسابية، بقدر معين من الخيال. كل ما عليك فعله هو أن تتخيل العصي والحصى والأصداف المتطابقة.

مكبر الصوت:هذه تقريبًا هي الطريقة التي تعلمنا بها العد في الصف الأول. في الصف الخامس تعلمنا اسم هذه الأرقام. ماذا يطلق عليهم ويعينون؟ ? (طبيعي " ن » - طبيعي , الشريحة رقم 1)ما هي العمليات المسموح بها على مجموعة الأعداد الطبيعية؟ (الجمع والضرب)
لكن المشاكل بدأت بالفعل بالطرح. لم يكن من الممكن دائمًا طرح رقم من رقم آخر. في بعض الأحيان تأخذ بعيدًا، ثم تأخذ بعيدًا، وها هو لا يتبقى شيء. لا شيء أكثر ليأخذ بعيدا! لذلك كان الطرح يعتبر إجراءً صعبًا ولم يكن من الممكن دائمًا تنفيذه.
ولكن بعد ذلك جاء التجار للإنقاذ.

"لنفترض أن العصوين الأسودين هما خروفان عليك أن تتنازل عنهما، لكنك لم تتخلى عنهما بعد. هذا واجب!

مكبر الصوت:بشكل عام، تحتاج البشرية إلى تفسير الأعداد السالبة، وفي نفس الوقت تحديد مفهوم الأعداد الصحيحة ز -« صفر » استغرق الأمر أكثر من ألف سنة. لكن العمليات أصبحت حلالا...( الجمع والطرح والضرب).

بشكل عام، ظهرت مشاكل مشابهة لتلك الموصوفة أعلاه مع الأرقام السالبة مع جميع العمليات الحسابية "العكسية". يمكن ضرب عددين صحيحين للحصول على عدد صحيح. لكن نتيجة قسمة عددين صحيحين على عدد صحيح لم تكن دائمًا عددًا صحيحًا. وهذا أدى أيضا إلى الارتباك.

التجار:مشهد مشاركة الشوكولاتة. انظر، لقد حصلنا على بعض الحلويات. دعنا نتشارك!!!

ولكن كما؟ إنها وحيدة، ونحن اثنان، وضيوف أيضًا... لقد توصلت إلى أجزاء منها إلى أجزاء...

مكبر الصوت:وهذا يعني أنه لكي تكون نتيجة القسمة موجودة دائمًا، كان من الضروري إدخال وإتقان وفهم، إذا جاز التعبير، "المعنى المادي" للأرقام الكسرية. هذه هي الطريقة التي تلعب بها الأرقام العقلانية - Q - "حاصل القسمة" - "النسبة".

أصبحت العديد من العمليات مسموحة في نظام الأعداد العقلانية. ولكن ما لم ينجح دائما ؟ (كان استخراج الجذور من الأعداد غير السالبة مسموحًا به جزئيًا. على سبيل المثال، "جذر 81" و"جذر 2.")

أدت هذه الحاجة إلى إدخال مجموعة الأعداد الحقيقية (R – real)، والتي كان استخراج الجذور من الأعداد غير السالبة فيها عملية جبرية مقبولة. ومع ذلك كان هناك عيب واحد - هذا...؟ ( أخذ جذر الأعداد السالبة.)

2. مادة جديدة.

في القرن الثامن عشر، توصل علماء الرياضيات إلى أرقام خاصة لإجراء عملية "عكسية" أخرى، بأخذ الجذر التربيعي للأعداد السالبة. هذه هي ما يسمى بالأرقام "المعقدة" (C-complex). من الصعب تخيلهم، ولكن من الممكن التعود عليهم. ويعتقد أن جميع العمليات الجبرية مسموحة على مجموعة الأعداد المركبة. وفوائد استخدام الأعداد المركبة عظيمة. إن وجود هذه الأرقام "الغريبة" سهّل إلى حد كبير حساب الدوائر الكهربائية المعقدة للتيار المتردد، كما جعل من الممكن حساب المظهر الجانبي لجناح الطائرة. دعونا نتعرف عليهم بشكل أفضل.

دعونا ندرج الحد الأدنى من الشروط التي يجب أن تلبيها الأعداد المركبة:

• C1: يوجد عدد مركب مربعه -1

C2 مجموعة الأعداد المركبة تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية.

C3 عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة تستوفي قوانين العمليات الحسابية (التجميع، الإبدال، التوزيع)

يسمى الرقم الذي مربعه -1 وحدة خياليةويتم تعيينه أنا -خيالي - خيالي، خيالي..تم اقتراح هذا التدوين من قبل ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر. هكذا:

ط 2 = -1، وحدة وهمية

التعريف 1:

تسمى الأرقام ذات الشكل bi، حيث i هي الوحدة التخيلية، أرقامًا خيالية بحتة.

على سبيل المثال 2i، -3i، 0.5i

التعريف 2:

العدد المركب هو مجموع عدد حقيقي وعدد خيالي بحت.

يتم كتابة العدد المركب بالشكل z = a + bi.

رقم a يسمى الجزء الحقيقي من الرقم z،

رقم bi هو الجزء التخيلي من الرقم z.

يتم تحديدها وفقًا لذلك: a = Re z، b = Im z.

عمليات حسابية:

مقارنة

a + bi = c + di تعني أن a = c و b = d (عددان مركبان متساويان إذا وفقط إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية)

إضافة

(أ + ثنائية) + (ج + دي) = (أ + ج) + (ب + د)أنا

الطرح

(أ + ثنائية) − (ج + دي) = (أ − ج) + (ب − د)أنا

عمليه الضرب

(أ + ثنائية)× (ج + دي) = أس + بي سي آي + آدي + بي دي 2 = (AC - دينار بحريني) + (قبل الميلاد + إعلان)أنا

قسم

3. الممارسة.

الكتاب المدرسي موردكوفيتش أ. مستوى الملف الشخصي. الصف 11. دعونا نلقي نظرة على أبسط الأمثلة للعمل على مجموعة الأعداد المركبة.

خذ بعين الاعتبار المثال رقم 1،2 - طريقتان. (ص 245).

العمل مع الكتاب المدرسي. رقم 32.7، 32.10، 32.12

4. اختبار(طلب)

د/ز رقم 32.5، 32.8، 32.11 أ، ب