ما هو المنشور الصحيح؟ تعريف المنشور وعناصره وأنواعه. الخصائص الأساسية لهذا الرقم

تعريف. نشور زجاجيهو متعدد السطوح، تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين، وفي نفس المستويين يوجد وجهان للمنشور، وهما مضلعان متساويان مع جوانب متوازية مقابلة، وجميع الحواف التي لا تقع في هذه المستويات متوازية.

يتم استدعاء وجهين متساويين قواعد المنشور(ABCDE، أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1).

يتم استدعاء جميع الوجوه الأخرى للمنشور وجوه جانبية(AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C، CC 1 D 1 D، DD 1 E 1 E، EE 1 A 1 A).

تتشكل جميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور .

جميع الوجوه الجانبية للمنشور متوازية الأضلاع .

تسمى الحواف التي لا تقع عند القواعد بالحواف الجانبية للمنشور ( أأ 1, ب 1, سي سي 1, دي دي 1, إي 1).

المنشور قطري هو قطعة طرفاها رأسان لمنشور لا يقعان على وجه واحد (م 1).

يسمى طول القطعة التي تصل بين قاعدتي المنشور والمتعامدة مع القاعدتين في نفس الوقت ارتفاع المنشور .

تعيين:ABCDE أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1. (أولاً، في ترتيب الاجتياز، تتم الإشارة إلى رؤوس قاعدة واحدة، وبعد ذلك، بنفس الترتيب، يتم تحديد رؤوس قاعدة أخرى؛ ويتم تحديد نهايات كل حافة جانبية بنفس الحروف، ويتم تحديد القمم الموجودة في قاعدة واحدة فقط بالحروف بدون فهرس وفي الآخر - بفهرس)

يرتبط اسم المنشور بعدد زوايا الشكل الواقع عند قاعدته، على سبيل المثال، في الشكل 1 يوجد خماسي عند القاعدة، لذلك يسمى المنشور المنشور الخماسي. ولكن مثل هذا المنشور له 7 وجوه، ثم سباعي السطوح(2 وجهين - قواعد المنشور، 5 أوجه - متوازيات الأضلاع، - وجوهه الجانبية)

من بين المنشورات المستقيمة، يبرز نوع معين: المنشورات العادية.

يسمى المنشور المستقيم صحيح،إذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.

متوازي الأضلاع

مستطيلة متوازية- متوازي سطوح قائم قاعدته مستطيلة.

الخصائص والنظريات:

,

حيث d هو قطري المربع؛
أ هو جانب المربع.

يتم إعطاء فكرة المنشور بواسطة:

• الهياكل المعمارية المختلفة.
• ألعاب أطفال؛
• صناديق التعبئة والتغليف؛
• عناصر المصمم، الخ.

مساحة السطح الكلي والجانبي للمنشور

S كامل = جانب S + 2S رئيسي,

أين س كامل- المساحة الإجمالية، الجانب S-مساحة السطح الجانبية، قاعدة S- منطقة قاعدة

مساحة السطح الجانبية للمنشور المستقيم تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.

الجانب S= ف الأساسية * ح،

أين الجانب S-مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم،

P الرئيسية - محيط قاعدة المنشور المستقيم،

h هو ارتفاع المنشور المستقيم، ويساوي الحافة الجانبية.

حجم المنشور

حجم المنشور يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

التعريف 1. السطح المنشوري
النظرية 1. على المقاطع المتوازية للسطح المنشوري
التعريف 2. المقطع العمودي للسطح المنشوري
التعريف 3. المنشور
التعريف 4. ارتفاع المنشور
التعريف 5. المنشور الصحيح
النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور

متوازي الأضلاع:
التعريف 6. متوازي الأضلاع
النظرية 3. عند تقاطع أقطار متوازي السطوح
التعريف 7. متوازي السطوح الأيمن
التعريف 8. متوازي مستطيل
التعريف 9. قياسات متوازي السطوح
التعريف 10. المكعب
التعريف 11. معيني الشكل
النظرية 4. على أقطار متوازي مستطيلات
النظرية 5. حجم المنشور
النظرية 6. حجم المنشور المستقيم
النظرية 7. حجم متوازي السطوح المستطيل

نشور زجاجيهو متعدد السطوح يقع وجهاه (قاعدتاه) في مستويات متوازية، وتكون الحواف التي لا تقع في هذه الوجوه متوازية مع بعضها البعض.
وتسمى وجوه غير القواعد جانبي.
تسمى جوانب الوجوه الجانبية والقواعد أضلاع المنشور، تسمى نهايات الحواف رؤوس المنشور. الأضلاع الجانبيةتسمى الحواف التي لا تنتمي إلى القواعد. يسمى اتحاد الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور، ويسمى اتحاد جميع الوجوه كامل سطح المنشور. ارتفاع المنشورويسمى العمودي المسقط من نقطة القاعدة العليا إلى مستوى القاعدة السفلية أو طول هذا العمود. المنشور المباشريسمى المنشور الذي تكون أضلاعه الجانبية متعامدة مع مستويات قاعدتيه. صحيحيسمى المنشور المستقيم (الشكل 3)، والذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.

التسميات:
ل - الضلع الجانبي.
ف - محيط القاعدة؛
S o - منطقة القاعدة؛
ح - الارتفاع
P^ - محيط القسم العمودي؛
S ب - مساحة السطح الجانبية؛
الخامس - الحجم؛
S p هي مساحة السطح الكلي للمنشور.

التعريف 2 . المقطع العمودي لسطح منشوري هو جزء من هذا السطح بمستوى عمودي على حوافه. استنادا إلى النظرية السابقة، فإن جميع المقاطع المتعامدة لنفس السطح المنشوري ستكون مضلعات متساوية.

التعريف 3 . المنشور هو متعدد السطوح يحده سطح منشوري ومستويان متوازيان مع بعضهما البعض (لكن ليسا متوازيين مع حواف السطح المنشوري)
يتم استدعاء الوجوه الموجودة في هذه الطائرات الأخيرة قواعد المنشور; وجوه تنتمي إلى السطح المنشوري - وجوه جانبية; حواف السطح المنشوري - الأضلاع الجانبية للمنشور. وبحكم النظرية السابقة فإن قاعدة المنشور هي مضلعات متساوية. جميع الوجوه الجانبية للمنشور - متوازي الأضلاع; جميع الأضلاع الجانبية متساوية مع بعضها البعض.
من الواضح أنه إذا تم إعطاء قاعدة المنشور ABCDE وأحد الحواف AA" من حيث الحجم والاتجاه، فمن الممكن إنشاء منشور عن طريق رسم الحواف BB"، CC"، ... متساوية وموازية للحافة AA" .

التعريف 4 . ارتفاع المنشور هو المسافة بين مستويات قاعدتيه (HH").

التعريف 5 . يسمى المنشور مستقيماً إذا كانت قاعدته مقاطع متعامدة من السطح المنشوري. في هذه الحالة، ارتفاع المنشور هو بالطبع ارتفاعه الضلع الجانبي; ستكون الحواف الجانبية المستطيلات.
يمكن تصنيف المنشورات حسب عدد الأوجه الجانبية التي تساوي عدد أضلاع المضلع الذي يشكل قاعدته. وبالتالي، يمكن أن يكون المنشور ثلاثيًا، أو رباعي الزوايا، أو خماسيًا، وما إلى ذلك.

النظرية 2 . مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج الحافة الجانبية ومحيط المقطع العمودي.
لنفترض أن ABCDEA"B"C"D"E" يكون منشورًا محددًا ويفصل قسمه المتعامد، بحيث تكون القطع ab، bc، .. متعامدة مع حوافها الجانبية. الوجه ABA"B" هو متوازي أضلاع، ومساحته يساوي ناتج القاعدة AA " إلى الارتفاع الذي يتطابق مع ab؛ مساحة الوجه ВСВ "С" تساوي حاصل ضرب القاعدة ВВ" في الارتفاع قبل الميلاد، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن السطح الجانبي (أي مجموع مساحات الأوجه الجانبية) يساوي حاصل الضرب للحافة الجانبية، وبعبارة أخرى، الطول الإجمالي للقطاعات AA"، ВВ"، ..، للمبلغ ab+bc+cd+de+ea.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

معلومات عامة عن المنشور المستقيم

يُطلق على السطح الجانبي للمنشور (أو بالأحرى مساحة السطح الجانبية). مجموعمناطق الوجوه الجانبية. إجمالي سطح المنشور يساوي مجموع الأسطح الجانبية ومساحات القواعد.

نظرية 19.1. السطح الجانبي للمنشور المستقيم يساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور، أي طول الحافة الجانبية.

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات. قواعد هذه المستطيلات هي أضلاع المضلع الواقع عند قاعدة المنشور، وارتفاعاتها تساوي طول أحرفها الجانبية. ويترتب على ذلك أن السطح الجانبي للمنشور يساوي

S = أ 1 ل + أ 2 ل + ... + أ ن ل = رر،

حيث a 1 و n هما طولا حواف القاعدة، وp هو محيط قاعدة المنشور، وI هو طول الحواف الجانبية. لقد تم إثبات النظرية.

مهمة عملية

مشكلة (22) . في المنشور المائل يتم تنفيذه قسم، عمودي على الأضلاع الجانبية ويتقاطع مع جميع الأضلاع الجانبية. أوجد السطح الجانبي للمنشور إذا كان محيط المقطع يساوي p والحواف الجانبية تساوي l.

حل. يقسم مستوى القسم المرسوم المنشور إلى قسمين (الشكل 411). دعونا نخضع إحداها للترجمة المتوازية، من خلال الجمع بين قواعد المنشور. في هذه الحالة نحصل على منشور مستقيم، قاعدته هي المقطع العرضي للمنشور الأصلي، وحوافه الجانبية تساوي l. هذا المنشور له نفس السطح الجانبي للمنشور الأصلي. وبالتالي، فإن السطح الجانبي للمنشور الأصلي يساوي رر.

ملخص الموضوع المطروح

والآن دعونا نحاول تلخيص الموضوع الذي تناولناه حول المنشور ونتذكر خصائص المنشور.

خصائص المنشور

أولًا، المنشور له جميع قواعده على شكل مضلعات متساوية؛
ثانيًا، في المنشور، جميع وجوهه الجانبية متوازية الأضلاع؛
ثالثا، في مثل هذا الشكل متعدد الأوجه، مثل المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية؛

ويجب أن نتذكر أيضًا أن متعددات الوجوه مثل المنشور يمكن أن تكون مستقيمة أو مائلة.

ما المنشور الذي يسمى المنشور المستقيم؟

إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيمًا.

لن يكون من غير الضروري أن نتذكر أن الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات.

ما هو نوع المنشور الذي يسمى المائل؟

لكن إذا لم تكن الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فيمكننا أن نقول بأمان أنه منشور مائل.

أي منشور يسمى صحيح؟

إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، فإن هذا المنشور يكون منتظمًا.

الآن دعونا نتذكر الخصائص التي يتمتع بها المنشور العادي.

خصائص المنشور العادي

أولاً، تعمل المضلعات المنتظمة دائمًا بمثابة قواعد لمنشور منتظم؛
ثانيًا، إذا نظرنا إلى الأوجه الجانبية لمنشور منتظم، فسنجد أنها دائمًا مستطيلات متساوية؛
ثالثا، إذا قارنت أحجام الأضلاع الجانبية، فهي دائما متساوية في المنشور العادي.
رابعا، المنشور الصحيح يكون دائما مستقيما؛
خامسا، إذا كانت الوجوه الجانبية في المنشور العادي لها شكل مربعات، فإن هذا الشكل يسمى عادة مضلع شبه منتظم.

المقطع العرضي المنشور

الآن دعونا نلقي نظرة على المقطع العرضي للمنشور:

العمل في المنزل

الآن دعونا نحاول دمج الموضوع الذي تعلمناه من خلال حل المشكلات.

لنرسم منشورا مثلثيا مائلا، المسافة بين حوافه تساوي: 3 سم، 4 سم، 5 سم، والسطح الجانبي لهذا المنشور يساوي 60 سم2. بوجود هذه المعلمات، ابحث عن الحافة الجانبية لهذا المنشور.

هل تعلم أن الأشكال الهندسية تحيط بنا باستمرار، ليس فقط في دروس الهندسة، ولكن أيضًا في الحياة اليومية هناك أشياء تشبه شكلاً هندسيًا أو آخر.

يوجد في كل منزل أو مدرسة أو عمل جهاز كمبيوتر تكون وحدة نظامه على شكل منشور مستقيم.

إذا التقطت قلم رصاص بسيط، سترى أن الجزء الرئيسي من قلم الرصاص هو المنشور.

أثناء السير على طول الشارع المركزي للمدينة، نرى أنه يوجد تحت أقدامنا بلاطة على شكل منشور سداسي.

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

القياس المجسم هو فرع من فروع الهندسة يدرس الأشكال التي لا تقع في نفس المستوى. أحد أهداف دراسة القياس المجسم هو المنشور. سنحدد في هذه المقالة المنشور من وجهة نظر هندسية، وسندرج أيضًا بإيجاز الخصائص التي تميزه.

الشكل الهندسي

تعريف المنشور في الهندسة هو كما يلي: إنه شكل مكاني يتكون من اثنين من n-gons متطابقين يقعان في مستويات متوازية، متصلين ببعضهما البعض بواسطة رؤوسهما.

الحصول على المنشور ليس بالأمر الصعب. لنتخيل أن هناك رقمين متطابقين، حيث n هو عدد الأضلاع أو الرءوس. لنضعها بحيث تكون متوازية مع بعضها البعض. بعد ذلك، يجب أن تكون رؤوس أحد المضلعات متصلة بالرؤوس المقابلة للمضلع الآخر. سيتكون الشكل الناتج من جانبين متوازيين n، يُطلق عليهما القواعد، وجوانب رباعية الزوايا، وهي بشكل عام متوازيات أضلاع. تشكل مجموعة متوازيات الأضلاع السطح الجانبي للشكل.

هناك طريقة أخرى للحصول على الشكل المعني هندسيًا. لذا، إذا أخذنا n-gon ونقلناه إلى مستوى آخر باستخدام أجزاء متوازية متساوية الطول، فسنحصل في المستوى الجديد على المضلع الأصلي. يشكل كل من المضلعات وجميع القطاعات المتوازية المرسومة من رؤوسها منشورًا.

والصورة أعلاه توضح ذلك، وسمي كذلك لأن قواعده مثلثات.

العناصر التي تشكل الشكل

أعلاه، تم تقديم تعريف المنشور، والذي يتضح منه أن العناصر الرئيسية للشخصية هي حوافه أو جوانبه، والتي تحد جميع النقاط الداخلية للمنشور من الفضاء الخارجي. أي وجه من وجوه الشكل المعني ينتمي إلى أحد النوعين:

• جانبي.
• أسباب.

هناك عدد n من القطع الجانبية، وهي متوازيات أضلاع أو أنواعها الخاصة (المستطيلات والمربعات). وبشكل عام تختلف الوجوه الجانبية عن بعضها البعض. هناك وجهان فقط للقاعدة، وهما n-gons ومتساويان مع بعضهما البعض. وبالتالي، فإن كل منشور له جوانب n+2.

بالإضافة إلى الجوانب، يتميز الشكل بقممه. إنها تمثل نقاطًا تتلامس فيها ثلاثة وجوه في وقت واحد. علاوة على ذلك، فإن وجهين من الوجوه الثلاثة ينتمي دائمًا إلى السطح الجانبي، وواحد إلى القاعدة. وبالتالي، في المنشور، لا يوجد قمة واحدة مخصصة، على سبيل المثال، في الهرم، كلها متساوية. عدد رؤوس الشكل هو 2*n (n قطعة لكل قاعدة).

وأخيرًا، العنصر الثالث المهم في المنشور هو أضلاعه. هذه أجزاء ذات طول معين تتشكل نتيجة تقاطع جوانب الشكل. مثل الوجوه، للحواف أيضًا نوعان مختلفان:

• أو تتكون فقط من الجوانب؛
• أو تنشأ عند تقاطع متوازي الأضلاع وجانب القاعدة n.

وبالتالي فإن عدد الحواف يساوي 3*n، و2*n منها تنتمي إلى النوع الثاني من الأنواع المذكورة.

أنواع المنشور

هناك عدة طرق لتصنيف المنشورات. ومع ذلك، فهي جميعها تعتمد على سمتين لهذا الشكل:

• على نوع قاعدة الكربون ن.
• على نوع الجانب.

أولاً، دعونا ننتقل إلى الميزة الثانية ونعطي تعريفاً للخط المستقيم. إذا كان أحد الجوانب على الأقل متوازي أضلاع عام، فإن الشكل يسمى مائلًا أو مائلًا. إذا كانت جميع متوازيات الأضلاع مستطيلة أو مربعة، فسيكون المنشور مستقيمًا.

يمكن أيضًا إعطاء التعريف بشكل مختلف قليلاً: الشكل المستقيم هو منشور تكون حوافه الجانبية وأوجهه متعامدة مع قاعدته. يوضح الشكل شكلين رباعي الزوايا. اليسرى مستقيمة، واليمنى مائلة.

الآن دعنا ننتقل إلى التصنيف حسب نوع n-gon الموجود في القواعد. وقد يكون لها نفس الجوانب والزوايا أو مختلفة. في الحالة الأولى، يسمى المضلع منتظمًا. إذا كان الشكل المعني يحتوي في قاعدته على مضلع متساوي الأضلاع والزوايا ومستقيم، فإنه يسمى منتظمًا. وفقًا لهذا التعريف، يمكن أن يحتوي المنشور المنتظم في قاعدته على مثلث متساوي الأضلاع، أو مربع، أو خماسي منتظم أو مسدس، وما إلى ذلك. الأرقام العادية المذكورة معروضة في الشكل.

المعلمات الخطية للمنشورات

لوصف أحجام الأشكال المعنية، يتم استخدام المعلمات التالية:

• ارتفاع؛
• جوانب القاعدة
• طول الأضلاع الجانبية.
• الأقطار الحجمية
• أقطار الجوانب والقواعد.

بالنسبة للمنشورات العادية، كل هذه الكميات مرتبطة ببعضها البعض. على سبيل المثال، أطوال الأضلاع الجانبية هي نفسها وتساوي الارتفاع. بالنسبة إلى شكل منتظم ذو شكل n، هناك صيغ تسمح لك بتحديد جميع الأشكال الأخرى باستخدام أي معلمتين خطيتين.

سطح الشكل

إذا أشرنا إلى تعريف المنشور المذكور أعلاه، فلن يكون من الصعب فهم ما يمثله سطح الشكل. السطح هو مساحة كل الوجوه. بالنسبة للمنشور المستقيم يتم حسابه بواسطة الصيغة:

S = 2*S o + P o *h

حيث S o هي مساحة القاعدة، P o هو محيط n-gon عند القاعدة، h هو الارتفاع (المسافة بين القاعدتين).

حجم الشكل

جنبا إلى جنب مع السطح للتدريب، من المهم معرفة حجم المنشور. ويمكن تحديده باستخدام الصيغة التالية:

ينطبق هذا التعبير على أي نوع من المنشورات، بما في ذلك المنشورات المائلة والمكونة من مضلعات غير منتظمة.

بالنسبة للأرقام الصحيحة، فهي دالة لطول جانب القاعدة وارتفاع الشكل. بالنسبة لمنشور n-gonal المقابل، فإن صيغة V لها شكل محدد.