Конспект урока сложная функция производная сложной функции. Производная сложной функции. г) Устная работа

Тип урока: комбинированный

образовательная:

– формирование понятия сложной функции;

Формирование умения находить по правилу производную сложной функции;

Отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

Развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

Развивать наглядно-действенное творческое воображение;

Развивать познавательный интерес.

воспитательная:

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

Формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

Воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Студент должен знать:

понятие сложной функции, правило нахождения ее производной.

Студент должен уметь:

находить по правилу производную сложной функции, использовать это правило при решении примеров.

Межпредметные связи: физика, геометрия, экономика.

Оснащение урока: мультимедиа-проектор, магнитная доска, классная доска, мел, раздаточный материал к уроку.

План урока:

Сообщение цели, задач урока и мотивации учебной деятельности – 3 мин.

1. Проверка выполнения домашнего задания – 5 мин (фронтальная проверка, самоконтроль).
2. Всесторонняя проверка знаний – 10 мин (фронтальная работа, взаимоконтроль).
3. Подготовка к усвоению (изучению) нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний – 5 мин (проблемная ситуация).
4. Усвоение новых знаний – 15 мин (фронтальная работа под руководством преподавателя).
5. Первичное осмысление и понимание нового материала - 20 мин (фронтальная работа: один студент показывает решение примера на доске, остальные решают в тетрадях).
6. Закрепление новых знаний – 15 мин (самостоятельная работа – тест в двух вариантах, с дифференцированными заданиями).
7. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении – 2 мин.
8. Подведение итогов урока, рефлексия – 5 мин.

I. Ход урока: Сообщение цели, задач и плана урока, мотивации учебной деятельности:

Проверить подготовленность аудитории и готовность студентов к уроку, отметить отсутствующих.

Отметить, что на данном уроке продолжается работа по теме “Производная функции”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом заданы примеры на нахождение производной функции:

5) в точке х=0.

Ответы спроецированы на мультимедиапроектор.

Студенты индивидуально проверяют свои ответы и ставят себе (самоконтроль) оценку в лист контроля. У каждого студента имеется лист контроля, критерий оценки за домашнюю работу и образец листа контроля в раздаточном материале к уроку

Лист контроля

Вызвать к доске студента показать оформление решения примера № 5 с комментарием выполненных действий.

Обратить внимание на правильное решение и правильное оформление решения домашнего примера №5.

III. Всесторонняя проверка знаний.

Игра “Математическое лото” - проверка знаний правил дифференцирования, таблицы производных.

В специальном конверте каждой паре студентов предлагается набор карточек (всего 10 карточек). Это - карточки-формулы. Имеется другой набор карточек. Это - карточки-ответы, которых больше, так как среди ответов есть ложные ответы. Студент находит ответ на задание, и этой карточкой (ответом) накрывает соответствующий номер в специальной карте. Студенты работают в паре, поэтому оценивают друг друга, выставляют оценки в лист контроля согласно критерия: “5” - знает 9-10 формул; “4” - знает 7-8 формул; “3” - знает 5-6 формул; “2” - знает меньше 5 формул.

Идет проверка и оценка знаний формул на магнитной доске. В случае правильных ответов на магнитной доске обратные стороны карточек-ответов составляют большую картину, которую видит вся группа. Номера в специальной карте совпадают с номерами карточек-формул. Если раскрыть на магнитной доске ответы с обратной стороны, то все карточки в целом образуют картину.

IV. Подготовка к (усвоению) изучению нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Постановка проблемной ситуации: найти производную функции ;

На прошлых уроках мы научились находить производные элементарных функций. Функции сложные. Умеем ли мы находить производные сложных функций?

Значит, с чем мы должны сегодня познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Студенты сами формулируют тему и задачи урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

Историческая справка, связь с будущей профессиональной деятельностью.

V. Усвоение новых знаний.

Показать на доске нахождение производных функций: ;

Решите примеры:

3)

VI. Первичное осмысление и понимание нового материала.

Повторить алгоритм нахождения производной сложной функции;

Решить примеры:

2)

3)

4) ;

VII. Закрепление новых знаний с помощью теста по вариантам.

Задания с тестами дифференцированные: примеры с № 1-3 оцениваются на “3”, до № 4 – на “4”, все пять примеров – на “5”.

Студенты решают в тетради и проверяют ответы друг у друга с помощью мультимедиа и ставят оценку друг другу (взаимоконтроль) в лист контроля.

Вариант 1.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

1
2
3
4
5
4
5

АЛГЕБРА

10 класс

«Производная сложной функции»

Тема : Производная сложной функции.

Цель урока: ознакомление с формулой производной сложной функции; применение формулы при решении задач.

Задачи: способствовать формированию знаний по нахождению производной различных функций;

Развивать умения находить производные функций;способствовать развитию познавательных интересов учащихся, быстрого счета;

Воспитывать аккуратность при решении, целеустремленность, внимательность.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы : коллективная, индивидуальная

Методы : беседа, исследование, самостоятельная работа.

Ход урока.

Организационный момент.

Здравствуйте. Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с формулой нахождения производной сложной функции.

Слайд №2

Урок будет проходит по этапам олимпиадной программы.

Слайд №3

1.Отборочный тур.

2.Заявка.

3.Допуск к состязаниям.

4. Тренировочные сборы.

5. Состязания.

6.Награждение.

Устная работа

Каждая олимпиада начинается с отборочного тура, где необходимо ответить на вопросы и выполнить задания

Слайд №4

Отборочный тур.

1. Что такое функция?

2. Что такое область определение функции?

3. Какая функция называется непрерывной на промежутке?

4. Определите является ли функция непрерывной в точке х0

5. Является ли функция непрерывной в точках х1,х2,х3

Слайд № 5

6. Что такое производная функции?

7. Что такое приращение функции?

8. Что такое приращение аргумента?

9. Сформулируйте определение касательной к графику функции.

10. Вычислите производную:

Отборочный тур пройден.

Все темы знаете, но для дальнейшей работы необходимо заполнить заявочный лист.

Индивидуальная работа.

Вам необходимо заполнить лист, ответив на вопросы используя свой пин - код

1. В чём состоит физический смысл производной?

2. В чём состоит геометрический смысл производной?

3. Запишите уравнение касательной для функции у = ах 2 + вх +с

в точке х 0 =d

Следующий этап: Допуск к состязаниям.

Решите задания:

Составьте сложную функцию и вычислите производную:

а) f=x 2 +3 g=7x-2 y=f(g)

б) f= sin x g=2x y=f(g)

в)f=3x 5 -2x 4 +3x g=x+6 y=f(g)

Первые два задания затруднений не вызывают, а третье требует дополнительных знаний.

Мы воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции.

Y = f(g(x)) Y / =f / (g).g / (x)

Используя формулу проверим примеры под буквами а) и б) , сравним с ответами полученными ранее.

а) f(g)= (7x-2) 2 +3

б) f(g)=sin2x

Результаты получили одни и те же. Следовательно формулу можно применить и для третьего примера: f=3x 5 -2x 4 +3x g=x+6 y=f(g)

f (g ) =3(x+6) 5 -2(x+6) 4 +3(x+6)

Систематизация знаний.

Следующий шаг: состязания.

Каждый из вас попробует свои силы по решению сложных производных по формуле.

Выполняем задания из сборника ЕГЭ (2 часть) повышая уровень сложности.

№ 336,355,359,377,379

Рефлексия

Каждое достижение необходимо оценивать.

Вам предлагается оценить свои знания и умения по теме «Производная сложной функции» на сколько вы поняли тему, определив место на пьедестале почета.

Подведение итогов.

Что нового узнали?

На сколько понятно изложение?

Как работали на уроке?

Справитесь ли дома?

Запишите задание на дом: 380 - 410.

СПАСИБО ЗА УРОК!

Данный урок является уроком изучения новой темы. Представленная разработка урока раскрывает методические подходы к введению понятия сложной функции, алгоритма вычисления её производной. Разработка предназначена для проведения уроков среди обучающихся 1 курса учреждений уровня профессионального образования.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Производная сложной функции

Цели: 1) образовательная – сформировать понятие сложной функции, изучить алгоритм вычисления производной сложной функции, показать его применение при вычислении производных.

2) развивающая – продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции.

3) воспитательная – воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, продолжить формирование самооценки при осуществлении дифференцированного обучения, повышать интерес к математике.

Оборудование: таблица производных, презентация к уроку.

Схема урока:

I. АЗ.

1. Мобилизующее начало (постановка цели работы на уроке).

2. Устная работа с целью актуализации опорных знаний.

3. Проверка домашнего задания с целью мотивации изучения нового материала.

4. Подведение итогов I этапа и постановка задач следующего.

II. ФНЗ и СД.

1. Эвристическая беседа с целью введения понятия сложной функции.
2. Устная фронтальная работа с целью закрепления определения сложной функции.
3. Сообщение учителем алгоритма вычисления производной сложной функции.
4. Первичное закрепление алгоритма вычисления производной сложной функции фронтально.
5. Подведение итогов II этапа и постановка задач на следующий.

III. ФУН.

1. Решение задачи с опорой на алгоритм вычисления производной сложной функции фронтально у доски учеником.

2. Дифференцированная работа по решению задач с последующей проверкой фронтально у доски.

3. Подведение итогов урока

4. Выдача домашнего задания.

Ход урока.

I АЗ

1. Выдающий русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) однажды заметил, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». С одним из таких инструментов мы с вами познакомились – это производная. Сегодня на уроке мы продолжаем изучать тему «Производная» и наша задача рассмотреть новый вопрос «Производная сложной функции», т.е. мы выясним, что такое сложное функция и как вычисляется её производная.

2. Теперь давайте вспомним, как вычисляется производная различных функций. Для этого вы должны выполнить 7 заданий. К каждому заданию предложены варианты ответов, зашифрованные буквами. Правильное решение каждого задания позволяет открыть нужную букву фамилии ученого, который ввел обозначение y " , f " (x).

Найти производную функции.

1) y = 5 y " = 0 Л

Y " = 5x Н

Y " = 1 Б

2) y = -x y " = 1 В

Y " = -1 А

Y " = x 2 И

3) y = 2x+3 y " = 3 У

Y " = x И

Y " = 2 Г

4) y = - 12 y " = Р

Y " = 1 Т

Y " = -12 Г

5) y=x 4 y " = П

Y " = 4x 3 А

y " = x 3 С

6) y=-5x 3 y " = -15x 2 Н

Y " = -5x 2 О

y " = 5x 2 Р

7) y=x-x 3 y " = 1-x 2 Д

Y " = 1-3x 2 Ж

Y " = x-3x 2 А

(Задания на слайдах 2 – 3).

Итак, фамилия ученого Лагранж, а мы тем самым повторили вычисление производных различных функций.

3. Один из учащихся заполняет таблицу: (слайд 4).

f(x)	f(1)	f " (x)	f " (1)
1) 4-x
2) 2x 5		10x 4
5) (4-x) 5

Какие есть вопросы? В результате беседы приходим к выводу, что не знаем, как вычислить ()"; ((4-x) 3 ) "

4. Как называется функция 1), 2), 3), 4).

1) – линейная, 2) степенная, 3) степенная, 4) -?, 5) -?

Сейчас мы выясним, как называются такие функции, как вычисляются их производные.

II. ФНЗ и СД.

1. Для того, чтобы это сделать рассмотрим функцию Z = f(x) =

Какова последовательность вычисления значений функции?

А) g = 4-x

Б) h =

Как называется зависимость между g и h ?

Функцией

Значит g и h могут быть представлены в виде:

G = g(x) = 4-x

H = h(g) =

В результате последовательного выполнения функций g и h по заданному значению x будет вычислено значение какой функции?

F(x)

Z = f(x) = h(g) = h(g(x))

Таким образом, f(x) = h(g(x)).

Говорят, что f есть сложная функция, составленная из g и h. Функция

g – внутренняя, h – внешняя.

В нашем примере 4-x внутренняя функция, а √ - внешняя.

G(x) = 4-x

H(g) =

2. Какие из следующих функций являются сложными? В случае сложной функции назовите внутреннюю и внешнюю (на слайде 8 написаны следующие функции:

а) f(x) = 5x+1; б) f(x) = (3-5x) 5 ; в) f(x) = cos3x.

3. Итак, мы выяснили, что такое сложная функция. Как же считать её производную?

Алгоритм вычисления производной сложной функции f(x) = h(g(x)).

1. определить внутреннюю функцию g(x).
2. найти производную внутренней функции g"(x)
3. определить внешнюю функцию h(g)
4. найти производную внешней функции h"(g)
5. найти произведение производной внутренней на производную внешней функции g"(x) ∙ h"(g)

Каждому дается памятника с алгоритмом.

4. Учитель у доски: f(x) = (3-5x) 5

1. g(x) = 3-5x
2. g"(x) = -5
3. h(g) = g 5
4. h"(g)=5g 4
5. f "(x) = g"(x) ∙ h"(g) = -5 ∙ 5g 4 = -5 ∙ 5(3-5x) 4 = -25(3-5x) 4

5. Итак, мы выяснили, что такое сложная функция и как вычисляется её производная.

III. ФУН.

1. Теперь давайте поучимся находить производные различных сложных функций. Выполняется учащимся с продвинутым уровнем обучения.

Найти производную функции f(x) =

1) g(x) = 4-x

2) g"(x) = -1

3) h(g) =

4) h"(g) =

5) f "(x) = g"(x) ∙ h"(g) = -1 ∙ = -

2. Найти производную функции:

«3» f(x) = (1 – 2x) 4

«4» f(x) = (x 2 – 6x + 5) 7

«5» f(x) = - (1 – x) 3

3. Подведение итогов.

4. Д/З: выучить алгоритм. Найти производную.

«3» - f(x) = (2+4x) 9

«4» - f(x) =

«5» - f(x) =

Используемая л итература:

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.

2. Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл. М.: Просвещение - 2006.

3. Дорофеев Г.В. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы» - М.: Дрофа, 2007.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. 2-е изд. – М.: 1992.- 351с.

Тема: “Производная

сложной функции”.

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока: применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

• научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
• развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.
• воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

I. Организационный момент (0.5 мин.).

II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

1. Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.
2. Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
3. Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

III. Актуализация опорных знаний

(5 мин.).

1. Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x 2 + xі ;

б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

г) f(x) = 1/2x 2 ;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных.

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

IV. Программированный контроль

(5 мин.).

Найти производную.
Вариант 1.		Вариант 2.
у = tg x + ctg x.		у = tg x – ctg x.
У = х 2 +7х + 5		У = 2х 2 – 5х + 7
Варианты ответов.
1/cos 2 x + 1/sin 2 x	1/cos 2 x – 1/sin 2 x	1/sin 2 x – 1/cos 2 x
1,6х 0,6 + 2,5х 1,5	2,6х 0,6 + 1,5х 1,5	1,5х 0,5 + 4х 3	2,5х 0,5 + 4х 3

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

V. Новый материал

(5 мин.).

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v , и пишут:

f(x) = g(v(x)) .

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, вычисляемую по формуле

x = y" u u" x .

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u , умноженной на производную u по x .

Формулу записывают ещё так:

f" (x) = g" (u) v" (x).

Доказательство.

В точке х

Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что , так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при .

При условии, что

Проверка.

VIII. Индивидуальные задания

(7 мин.).

На рабочем столе компьютера.

Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Индивидуальные задания”.

1. y = 2x + 3,6 sin 5 (p - x);
2. y = sin (2x 2 – 3).
3. y = (1 + sin3x) cos3x;
4. y = tg x (tg x – 1).

IX. Итог урока

(1 мин.).

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Какова область определения сложной функции?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции.

X. Задание на дом

(0.5 мин.).

§4. п16. № 224. Индивидуальные задания на дискетах.

Тема: “Производная сложной функции ”.

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока : применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

Цели:

научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;

развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.

воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

I. Организационный момент (1 мин.).

II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.

Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.

Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

III. Актуализация опорных знаний (5 мин.).

Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x 2 + xі ;

б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

в) f(x) = ;

г) f(x) = 1/2x 2 ;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных .

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

IV. Программированный контроль (5 мин.).

Найти производную.

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

V. Изучение нового материала (5 мин.).

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v , и пишут:

f(x) = g(v(x)) .

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

ТЕОРЕМА.

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, вычисляемую по формуле

y" x = y" u u" x .

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u , умноженной на производную u по x .

Формулу записывают ещё так:

f" (x) = g" (u) v" (x).

Доказательство.

В точке х Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение  y. Надо учесть, что , так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при . у = (1+х 2 ) 100 .

Решение.

Пример 2 и Пример 3 из учебника (устно разобрать решение).

Решение примеров № 304, № 305, № 306 с последующей проверкой по компьютеру.

VII. Примеры для самостоятельного решения (8 мин.).

На рабочем столе компьютера. 5 (p - x);

y = sin (2x 2 – 3).

y = (1 + sin3x) cos3x;

y = tg x (tg x – 1).

IX. Итог урока (1 мин.).

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Какова область определения сложной функции?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции.

X. Задание на дом (0.5 мин.).

§4. п16. № 224. Индивидуальные задания на карточках.